Jiný ideál - Different ideal - Wikipedia

v algebraická teorie čísel, jiný ideál (někdy jednoduše odlišný) je definován pro měření (možného) nedostatku duality v kruh celých čísel z algebraické číslo pole K., s respektem k trasování pole. Poté kóduje rozvětvení údaje pro hlavní ideály kruhu celých čísel. To bylo představeno Richard Dedekind v roce 1882.[1][2]

Definice

Li ÓK. je kruh celých čísel K., a tr označuje trasování pole z K. do pole racionálního čísla Q, pak

je integrální kvadratická forma na ÓK.. Své diskriminující protože kvadratická forma nemusí být +1 (ve skutečnosti se to stane pouze pro případ K. = Q). Definujte inverzní jiný nebo codifferent[3][4] nebo Dedekindův doplňkový modul[5] jako soubor Já z X ∈ K. takový, že tr (xy) je celé číslo pro všechny y v ÓK., pak Já je zlomkový ideál z K. obsahující ÓK.. Podle definice je jiný ideál δK. je inverzní zlomkový ideál Já−1: je to ideál ÓK..

The ideální norma z δK. se rovná ideálu Z generované polní diskriminátor DK. zK..

The jiný prvek α z K. s minimálním polynomem F je definováno jako δ (α) = F′ (Α), pokud α generuje pole K. (a jinak nula):[6] můžeme psát

kde α(i) přejet všechny kořeny charakteristického polynomu α kromě samotného α.[7] Různý ideál je generován diferenciály všech celých čísel α v ÓK..[6][8] Toto je Dedekindova původní definice.[9]

Odlišné je také definováno pro a konečný stupeň rozšíření z místní pole. Hraje základní roli v Pontryaginova dualita pro p-adická pole.

Relativně jiné

The relativní odlišné δL / K. je definován podobným způsobem pro rozšíření číselných polí L / K.. The relativní norma relativního rozdílu se potom rovná relativnímu diskriminačnímu ΔL / K..[10] V věž polí L / K. / F relativní rozdíly se vztahují k δL / F = 8L / K.δK. / F.[5][11]

Relativní rozdíl se rovná zničení relativního Kählerův diferenciál modul :[10][12]

The ideální třída relativního odlišného δL / K. je vždy čtverec v skupina tříd z ÓL, kruh celých čísel L.[13] Vzhledem k tomu, že relativní diskriminátor je normou relativního rozdílu, je to čtverec třídy ve skupině tříd ÓK.:[14] ve skutečnosti je to čtverec Steinitzova třída pro ÓL jako ÓK.-modul.[15]

Rozvětvení

Relativní rozdíl kóduje rozvětvení údaje o rozšíření pole L / K.. Nejlepší ideál str z K. rozvětvuje se L pokud je faktorizace str v L obsahuje prvočíslo L na výkon vyšší než 1: k tomu dochází tehdy a jen tehdy, když str dělí relativní diskriminační ΔL / K.. Přesněji řečeno, pokud

str = P1E(1) ... PkE(k)

je faktorizace str do hlavních ideálů L pak Pi rozdělí relativní rozdíl δL / K. kdyby a jen kdyby Pi je rozvětvené, to znamená, že a pouze tehdy, pokud je index rozvětvení E(i) je větší než 1.[11][16] Přesný exponent, kterému rozvětvený prime P dělí δ se nazývá diferenciální exponent z P a rovná se E - 1 pokud P je krotce rozvětvený: tedy kdy P nerozděluje E.[17] V případě, kdy P je divoce rozvětvený diferenciální exponent leží v rozsahu E na E + EνPe) - 1.[16][18][19] Diferenciální exponent lze vypočítat z objednávek skupiny s větším rozvětvením pro rozšíření Galois:[20]

Místní výpočet

Odlišné mohou být definovány pro rozšíření místních polí L / K.. V tomto případě můžeme rozšíření považovat za jednoduchý, generovaný primitivním prvkem α, který také generuje a výkonový integrální základ. Li F je minimální polynom pro α, pak je jiný generovánF'(α).

Poznámky

  1. ^ Dedekind 1882
  2. ^ Bourbaki 1994, str. 102
  3. ^ Serre 1979, str. 50
  4. ^ Fröhlich & Taylor 1991, str. 125
  5. ^ A b Neukirch 1999, str. 195
  6. ^ A b Narkiewicz 1990, str. 160
  7. ^ Hecke 1981, str. 116
  8. ^ Hecke 1981, str. 121
  9. ^ Neukirch 1999, str. 197–198
  10. ^ A b Neukirch 1999, str. 201
  11. ^ A b Fröhlich & Taylor 1991, str. 126
  12. ^ Serre 1979, str. 59
  13. ^ Hecke 1981, str. 234–236
  14. ^ Narkiewicz 1990, str. 304
  15. ^ Narkiewicz 1990, str. 401
  16. ^ A b Neukirch 1999, str. 199
  17. ^ Narkiewicz 1990, str. 166
  18. ^ Weiss 1976, str. 114
  19. ^ Narkiewicz 1990, str. 194 270
  20. ^ Weiss 1976, str. 115

Reference

  • Bourbaki, Nicolasi (1994). Základy dějin matematiky. Přeložil Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64767-6. PAN  1290116.
  • Dedekind, Richarde (1882), „Über die Discriminanten endlicher Körper“, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 29 (2): 1–56. Vyvolány 5 August 2009
  • Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1991), Algebraická teorie čísel, Cambridge studia pokročilé matematiky, 27, Cambridge University Press, ISBN  0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
  • Hecke, Erich (1981), Přednášky z teorie algebraických čísel, Postgraduální texty z matematiky, 77, překládal George U. Brauer; Jay R. Goldman; s pomocí R. Kotzena, New York – Heidelberg – Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-90595-2, Zbl  0504.12001
  • Narkiewicz, Władysław (1990), Základní a analytická teorie algebraických čísel (2., podstatně přepracované a rozšířené vydání), Springer-Verlag; PWN - polští vědečtí vydavatelé, ISBN  3-540-51250-0, Zbl  0717.11045
  • Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole, Postgraduální texty z matematiky, 67, přeloženo Greenberg, Marvin Jay, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90424-7, Zbl  0423.12016
  • Weiss, Edwin (1976), Algebraická teorie čísel (2. nezměněné vydání), Nakladatelství Chelsea, ISBN  0-8284-0293-0, Zbl  0348.12101