Kubické pole - Cubic field
v matematika, konkrétně oblast algebraická teorie čísel, a kubické pole je algebraické číslo pole z stupeň tři.
Definice
Li K. je rozšíření pole racionálních čísel Q z stupeň [K.:Q] = 3, tedy K. se nazývá a kubické pole. Každé takové pole je izomorfní s polem formuláře
kde F je neredukovatelné krychlový polynomiální s koeficienty v Q. Li F má tři nemovitý kořeny, pak K. se nazývá a zcela skutečné kubické pole a je to příklad a úplně skutečné pole. Pokud na druhou stranu F má tedy nerealistický kořen K. se nazývá a komplexní kubické pole.
Krychlové pole K. se nazývá a cyklické kubické pole, pokud obsahuje všechny tři kořeny generujícího polynomu F. Ekvivalentně K. je cyklické kubické pole, pokud je a Galoisovo rozšíření z Q, v tom případě jeho Galoisova skupina přes Q je cyklický z objednat tři. To se může stát pouze tehdy, když K. je naprosto skutečný. Jedná se o vzácný výskyt v tom smyslu, že pokud je množina kubických polí uspořádána podle diskriminující, pak se podíl kubických polí, která jsou cyklická, blíží nule, zatímco hranice na diskriminačním se blíží k nekonečnu.[1]
Kubické pole se nazývá a čisté kubické pole, pokud jej lze získat připojením ke skutečnému kořenu krychle kladného celého čísla bez krychle n do pole racionálního čísla Q. Taková pole jsou vždy složitá kubická pole, protože každé kladné číslo má dva složité kořeny nerealistické krychle.
Příklady
- Spojením skutečné kořenové krychle 2 s racionálními čísly získáte kubické pole . Toto je příklad čistého kubického pole, a tedy komplexního kubického pole. Ve skutečnosti má ze všech čistých kubických polí nejmenší diskriminační (v absolutní hodnota ), konkrétně −108.[2]
- Složité kubické pole získané přilehlým k Q kořen X3 + X2 − 1 není čistý. Má nejmenší diskriminační (v absolutní hodnotě) ze všech kubických polí, jmenovitě −23.[3]
- Sousedící s kořenem X3 + X2 − 2X − 1 na Q získá cyklické kubické pole, a tedy zcela skutečné kubické pole. Má nejmenší diskriminátor ze všech zcela reálných kubických polí, jmenovitě 49.[4]
- Pole získané sousedením s Q kořen X3 + X2 − 3X − 1 je příklad zcela reálného kubického pole, které není cyklické. Jeho diskriminátor je 148, nejmenší diskriminátor necyklického zcela reálného kubického pole.[5]
- Ne cyklotomická pole jsou kubické, protože stupeň cyklotomického pole se rovná φ (n), kde φ je Eulerova totientová funkce, který přebírá pouze sudé hodnoty (kromě φ (1) = φ (2) = 1).
Galois uzavření
Cyklické kubické pole K. je jeho vlastní Galois uzavření s Galoisovou skupinou Gal (K./Q) izomorfní s cyklickou skupinou řádu tři. Jakékoli jiné kubické pole K. je non-galois rozšíření Q a má rozšíření pole N stupně dva jako jeho Galoisův uzávěr. Galoisova skupina Gal (N/Q) je izomorfní s symetrická skupina S3 na tři písmena.
Přidružené kvadratické pole
Diskriminující kubické pole K. lze psát jednoznačně jako df2 kde d je základní diskriminující. Pak, K. je cyklické, pokud a pouze tehdy, d = 1, v takovém případě jediné podpole z K. je Q sám. Li d ≠ 1, pak uzávěr Galois N z K. obsahuje jedinečný kvadratické pole k jehož diskriminační je d (v případě d = 1, podpole Q je někdy považováno za „zdegenerované“ kvadratické pole diskriminačního 1). The dirigent z N přes k je F, a F2 je relativní diskriminující z N přes K.. Diskriminační z N je d3F4.[6][7]
Pole K. je čisté kubické pole tehdy a jen tehdy, d = -3. To je případ, pro který kvadratické pole obsažené v Galoisově uzávěru K. je cyklotomické pole krychlových kořenů jednoty.[7]
Diskriminační
Od znamení diskriminující číselného pole K. je (-1)r2, kde r2 je počet konjugovaných párů komplexních vložení K. do C, diskriminátor kubického pole bude kladný přesně, když je pole zcela reálné, a záporný, pokud se jedná o složité kubické pole.
Vzhledem k reálnému číslu N > 0 existuje pouze konečně mnoho kubických polí K. jehož diskriminující DK. vyhovuje |DK.| ≤ N.[9] Jsou známy vzorce, které počítají primární rozklad DK., a tak to lze výslovně vypočítat.[10]
Na rozdíl od kvadratických polí několik neizomorfních kubických polí K.1, ..., K.m může sdílet stejný diskriminátor D. Číslo m těchto polí se nazývá multiplicita[11] diskriminujícího D. Některé malé příklady jsou m = 2 pro D = −1836, 3969, m = 3 pro D = −1228, 22356, m = 4 pro D = −3299, 32009 a m = 6 pro D = −70956, 3054132.
Libovolné kubické pole K. bude ve formě K. = Q(θ) pro nějaké číslo θ, které je kořenem neredukovatelného polynomu
s A a b obě jsou celá čísla. The diskriminující z F je Δ = 4A3 − 27b2. Označujeme diskriminační z K. podle D, index i(θ) z θ je pak definováno jako Δ =i(θ)2D.
V případě necyklického kubického pole K. tento indexový vzorec lze kombinovat s vodivým vzorcem D = F2d získat rozklad polynomiálního diskriminačního Δ = i(θ)2F2d do čtverce produktu i(θ)F a diskriminující d kvadratického pole k spojené s kubickým polem K., kde d je bez čtverce až do možného faktoru 22 nebo 23. Georgy Voronoy dal způsob oddělení i(θ) a F ve čtvercové části Δ.[12]
Aktuální oblastí výzkumu je studium počtu kubických polí, jejichž diskriminační je menší než daná hranice. Nechat N+(X) (v uvedeném pořadí) N−(X)) označuje počet zcela reálných (respektive komplexních) kubických polí, jejichž diskriminátor je omezen X v absolutní hodnotě. Na začátku 70. let Harold Davenport a Hans Heilbronn určil první člen asymptotického chování N±(X) (tj. jako X jde do nekonečna).[13][14] Prostřednictvím analýzy zbytek z Funkce Shintani zeta, v kombinaci se studiem tabulek kubických polí sestavených Karimem Belabasem (Belabas 1997 ) a nějaký heuristika, David P. Roberts předpokládal přesnější asymptotický vzorec:[15]
kde A± = 1 nebo 3, B± = 1 nebo , podle zcela reálného nebo složitého případu, ζ (s) je Funkce Riemann zeta, a Γ (s) je Funkce gama. Důkazy o tomto vzorci byly publikovány Bhargava, Shankar a Tsimerman (2013) pomocí metod založených na dřívější práci Bhargavy a také Taniguchi & Thorne (2013) na základě funkce Shintani zeta.
Skupina jednotek
Podle Dirichletova věta o jednotce, pozice jednotky bez zkroucení r algebraického číselného pole K. s r1 skutečné vložení a r2 páry vložených konjugovaných komplexů jsou určeny vzorcem r = r1 + r2 - 1. Proto tedy zcela skutečné kubické pole K. s r1 = 3, r2 = 0 má dvě nezávislé jednotky ε1, ε2 a komplexní kubické pole K. s r1 = r2 = 1 má jedinou základní jednotku ε1. Tyto základní systémy jednotek lze vypočítat pomocí zobecněných algoritmů pokračujících zlomků pomocí Voronoi,[16] které byly geometricky interpretovány Delone a Faddeev.[17]
Poznámky
- ^ Harvey Cohn vypočítal asymptotický počet cyklických kubických polí (Cohn 1954 ), zatímco Harold Davenport a Hans Heilbronn vypočítal asymptotiku pro všechna kubická pole (Davenport a Heilbronn 1971 ).
- ^ Cohen 1993, §B.3 obsahuje tabulku komplexních kubických polí
- ^ Cohen 1993, §B.3
- ^ Cohen 1993, §B.4 obsahuje tabulku zcela reálných kubických polí a označuje, která jsou cyklická
- ^ Cohen 1993, §B.4
- ^ Hasse 1930
- ^ A b Cohen 1993, §6.4.5
- ^ A b Přesné počty vypočítal Michel Olivier a jsou k dispozici na [1]. Asymptotika prvního řádu je způsobena Harold Davenport a Hans Heilbronn (Davenport a Heilbronn 1971 ). Termín druhého řádu předpokládal David P. Roberts (Roberts 2001 ) a důkaz byl publikován Manjul Bhargava, Arul Shankar a Jacob Tsimerman (Bhargava, Shankar a Tsimerman 2013 ).
- ^ H. Minkowski, Diophantische Aproximace, kapitola 4, §5.
- ^ Llorente, P .; Nart, E. (1983). „Efektivní stanovení rozkladu racionálních prvočísel v kubickém poli“. Proceedings of the American Mathematical Society. 87 (4): 579–585. doi:10.1090 / S0002-9939-1983-0687621-6.
- ^ Mayer, D. C. (1992). „Mnohonásobnost dihedrálních diskriminátorů“. Matematika. Comp. 58 (198): 831–847 a S55 – S58. Bibcode:1992MaCom..58..831M. doi:10.1090 / S0025-5718-1992-1122071-3.
- ^ G. F. Voronoi, Pokud jde o celá algebraická čísla, která lze odvodit z kořene rovnice třetího stupně, Diplomová práce, Petrohrad, 1894 (rusky).
- ^ Davenport a Heilbronn 1971
- ^ Jejich práci lze také interpretovat jako výpočet průměrné velikosti souboru 3-torzní část skupina tříd a kvadratické pole, a představuje tak jeden z mála prokázaných případů Cohen-Lenstra domněnky: viz např. Bhargava, Manjul; Varma, Ila (2014), Průměrný počet 3 torzních prvků ve třídních skupinách a ideální skupiny kvadratických řádů, arXiv:1401.5875, Bibcode:2014arXiv1401,5875B,
Tato věta [Davenporta a Heilbronna] přináší pouze dva prokázané případy Cohen-Lenstraovy heuristiky pro třídní skupiny kvadratických polí.
- ^ Roberts 2001, Domněnka 3.1
- ^ Voronoi, G. F. (1896). Na zobecnění algoritmu pokračujících zlomků (v Rusku). Varšava: disertační práce.
- ^ Delone, B. N .; Faddeev, D. K. (1964). Teorie iracionalit třetího stupně. Překlady matematických monografií. 10. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
Reference
- Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Úvodní algebraická teorie čísel, Cambridge University Press, 2004.
- Belabas, Karim (1997), „Rychlý algoritmus pro výpočet kubických polí“, Matematika výpočtu, 66 (219): 1213–1237, doi:10.1090 / s0025-5718-97-00846-6, PAN 1415795
- Bhargava, Manjul; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), „O teorému Davenport – Heilbronn a podmínkách druhého řádu“, Inventiones Mathematicae, 193 (2): 439–499, arXiv:1005.0672, Bibcode:2013InMat.193..439B, doi:10.1007 / s00222-012-0433-0, PAN 3090184
- Cohen, Henri (1993), Kurz výpočetní algebraické teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 138, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, PAN 1228206
- Cohn, Harvey (1954), „Hustota abelianských kubických polí“, Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (3): 476–477, doi:10.2307/2031963, JSTOR 2031963, PAN 0064076
- Davenport, Harold; Heilbronn, Hans (1971), "O hustotě diskriminujících kubických polí. II", Sborník královské společnosti A, 322 (1551): 405–420, Bibcode:1971RSPSA.322..405D, doi:10.1098 / rspa.1971.0075, PAN 0491593
- Hasse, Helmute (1930), „Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage“, Mathematische Zeitschrift (v němčině), 31 (1): 565–582, doi:10.1007 / BF01246435
- Roberts, David P. (2001), „Hustota diskriminátorů kubického pole“, Matematika výpočtu, 70 (236): 1699–1705, arXiv:matematika / 9904190, doi:10.1090 / s0025-5718-00-01291-6, PAN 1836927
- Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), „Sekundární výrazy v počítacích funkcích pro kubická pole“, Duke Mathematical Journal, 162 (13): 2451–2508, arXiv:1102.2914, doi:10.1215/00127094-2371752, PAN 3127806
externí odkazy
- Média související s Kubické pole na Wikimedia Commons