v komutativní algebra, norma ideálu je zobecněním a norma prvku v rozšíření pole. To je zvláště důležité v teorie čísel protože měří velikost ideál komplikované číselný prsten ve smyslu ideál v méně komplikovaném prsten. Když se za méně komplikovaný číselný kruh považuje kruh celých čísel, Z, pak norma nenulového ideálu Já číselného vyzvánění R je prostě velikost konečné kvocientový kroužek R/Já.
Relativní norma
Nechat A být Dedekind doména s pole zlomků K. a integrální uzávěr z B v konečném oddělitelný nástavec L z K.. (z toho vyplývá, že B je také doménou Dedekind.) Let a být ideální skupiny z A a B, respektive (tj. množiny nenulových částečné ideály.) Podle techniky vyvinuté Jean-Pierre Serre, mapa norem
je jedinečný skupinový homomorfismus to uspokojuje
pro všechny nenulové hlavní ideály z B, kde je hlavní ideál z A ležící dole .
Alternativně pro všechny lze rovnocenně definovat být zlomkový ideál z A generované sadou z polní normy prvků B.[1]
Pro , jeden má , kde .
Ideální norma a hlavní ideál je tedy kompatibilní s polní normou prvku:
- [2]
Nechat být Galoisovo rozšíření z počet polí s celá čísla .
Pak platí předchozí s a pro všechny my máme
což je prvek .
Zápis se někdy zkracuje na , an zneužití notace který je kompatibilní také s psaním pro polní normu, jak je uvedeno výše.
V případě , je rozumné používat pozitivní racionální čísla jako rozsah pro od té doby má triviální ideální třídní skupina a skupina jednotek , tedy každý nenulový zlomkový ideál z je generován jednoznačně určeným pozitivem racionální číslo Podle této konvence relativní norma z dolů se shoduje s absolutní norma definováno níže.
Absolutní norma
Nechat být pole s číslem s kruh celých čísel , a nenulový (integrální) ideál z .
Absolutní norma je
Podle konvence se norma nulového ideálu považuje za nulovou.
Li je hlavní ideál, pak
- .[3]
Norma je zcela multiplikativní: pokud a jsou ideály , pak
- .[3]
Absolutní norma se tedy jednoznačně rozšiřuje na a skupinový homomorfismus
definované pro všechny nenulové částečné ideály z .
Norma ideál lze použít k určení horní meze polní normy nejmenšího nenulového prvku, který obsahuje:
vždy existuje nenulová hodnota pro který
kde
- je diskriminující z a
- je počet párů (nereálného) komplexu vložení z L do (počet složitých míst L).[4]
Viz také
Reference
- ^ Janusz, Gerald J. (1996), Algebraická číselná pole, Postgraduální studium matematiky, 7 (druhé vydání), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, Proposition I.8.2, ISBN 0-8218-0429-4, PAN 1362545
- ^ Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole, Postgraduální texty z matematiky, 67, přeloženo Greenberg, Marvin Jay, New York: Springer-Verlag, 1.5, Proposition 14, ISBN 0-387-90424-7, PAN 0554237
- ^ A b Marcus, Daniel A. (1977), Číselná pole, Universitext, New York: Springer-Verlag, Věta 22c, ISBN 0-387-90279-1, PAN 0457396
- ^ Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie čísel, Berlín: Springer-Verlag, Lemma 6.2, doi:10.1007/978-3-662-03983-0, ISBN 3-540-65399-6, PAN 1697859