Nulové ostré - Zero sharp

V matematické disciplíně teorie množin, 0# (nula ostrá, taky 0#) je množina true vzorce o nerozluční a nerozlučné objednávky v Gödelův konstruovatelný vesmír. Často se kóduje jako podmnožina celých čísel (pomocí Gödelovo číslování ), nebo jako podmnožina dědičně konečné množiny, nebo jako reálné číslo. Jeho existence je neprokázatelná v ZFC, standardní forma axiomatická teorie množin, ale vyplývá z vhodného velký kardinál axiom. Poprvé byl představen jako sada vzorců v Stříbro 1966 práce, později publikována jako Stříbro (1971), kde to bylo označeno Σ a znovu objeveno Solovay (1967, s. 52), který ji považoval za podmnožinu přirozených čísel a zavedl notaci O# (s velkým písmenem O; toto se později změnilo na číslici „0“).

Zhruba řečeno, pokud 0# potom existuje vesmír PROTI množin je mnohem větší než vesmír L konstruovatelných množin, zatímco pokud neexistuje, pak je vesmír všech množin úzce aproximován konstruktivními množinami.

Definice

Nulový ostrý byl definován Silverem a Solovay jak následuje. Zvažte jazyk teorie množin s extra konstantními symboly C1, C2, ... pro každé kladné celé číslo. Pak 0# je definována jako sada Gödelova čísla pravdivých vět o konstrukčním vesmíru, s Ci interpretován jako nespočetný kardinál ℵi. (Tady ℵi znamená ℵi v celém vesmíru, ne ve konstruovatelném vesmíru.)

V této definici je jemnost: podle Tarskiho věta o nedefinovatelnosti obecně není možné definovat pravdivost vzorce teorie množin v jazyce teorie množin. Aby to vyřešili, Silver a Solovay předpokládali existenci vhodného velkého kardinála, jako je a Ramsey kardinál, a ukázal, že s tímto zvláštním předpokladem je možné definovat pravdivost tvrzení o konstruovatelném vesmíru. Obecněji definice 0# funguje za předpokladu, že pro některé existuje nespočetná sada nerozlučných Lαa fráze „0# existuje “se používá jako zkratkový způsob, jak to říct.

Existuje několik menších variací definice 0#, které významně nezmění jeho vlastnosti. Existuje mnoho různých možností číslování podle Gödela a 0# záleží na této volbě. Místo toho, abychom byli považováni za podmnožinu přirozených čísel, je také možné kódovat 0# jako podmnožina vzorců jazyka, nebo jako podmnožina dědičně konečných množin, nebo jako reálné číslo.

Prohlášení naznačující existenci

Podmínka o existenci Ramseyho kardinála znamenající, že 0# existuje může být oslabena. Existence ω1-Erdős kardinálové znamená existenci 0#. To se blíží tomu, že je to nejlepší možné, protože existence 0# znamená, že v konstruovatelném vesmíru existuje α-Erdősův kardinál pro všechny spočítatelné α, takže takové kardinály nelze použít k prokázání existence 0#.

Changova domněnka znamená existenci 0#.

Prohlášení rovnocenná existenci

Kunen ukázal, že 0# existuje tehdy a jen tehdy, pokud existuje netriviální elementární vložení pro Gödelův konstruovatelný vesmír L do sebe.

Donald A. Martin a Leo Harrington ukázaly, že existence 0# je ekvivalentní determinovanosti lightface analytické hry. Strategie univerzální analytické hry lightface má ve skutečnosti totéž Turingův stupeň jako 0#.

Vyplývá to z Jensenova krycí věta že existence 0# je ekvivalentní ωω být řádný kardinál ve konstruovatelném vesmíru L.

Silver ukázal, že existence nespočetné množiny nerozporných ve konstruktivním vesmíru je ekvivalentní existenci 0#.

Důsledky existence a neexistence

Jeho existence znamená, že každý nespočet kardinál v teoreticko-teoretickém vesmíru PROTI je nerozeznatelný v L a uspokojí všechny velký kardinál axiomy, které jsou realizovány v L (například být naprosto nepopsatelné ). Z toho vyplývá, že existence 0# odporuje axiom konstruovatelnosti: PROTI = L.

Pokud 0# existuje, pak je to příklad nekonstruovatelného Δ1
3 sada celých čísel. To je v jistém smyslu nejjednodušší možnost pro nekonstruovatelnou množinu, protože vše Σ1
2 a Π1
2 množiny celých čísel jsou konstruovatelné.

Na druhou stranu, pokud 0# neexistuje, pak konstruovatelný vesmír L je základní model - tj. kanonický vnitřní model, který přibližuje velkou hlavní strukturu uvažovaného vesmíru. V tom případě, Jensenovo krycí lemma drží:

Pro každou nespočetnou sadu X ordinálů existuje konstruktivní y takhle X ⊂ y a y má to samé mohutnost tak jako X.

Tento hluboký výsledek je způsoben Ronald Jensen. Použitím nutit je snadno vidět, že podmínka, že X is uncountable nelze odstranit. Zvažte například Namba nutit, který zachovává a zhroutí se na ordinál z spolufinancování . Nechat být -sekvence konečný na a obecný přes L. Pak se nepřihlásil L z L- velikost menší než (což je nepočítatelné v PROTI, od té doby je zachována) může pokrýt , od té doby je řádný kardinál.

Ostatní ostré předměty

Li X je tedy libovolná množina X# je definován analogicky k 0# kromě toho, že jeden používá L [X] místo L. Viz část o relativní konstruovatelnosti v konstruovatelný vesmír.

Viz také

Reference

  • Drake, F. R. (1974). Teorie množin: Úvod do velkých kardinálů (Studie logiky a základy matematiky; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN  0-444-10535-2.
  • Harrington, Leo (1978), „Analytic determinacy and 0#", The Journal of Symbolic Logic, 43 (4): 685–693, doi:10.2307/2273508, ISSN  0022-4812, JSTOR  2273508, PAN  0518675
  • Jech, Thomas (2003). Teorie množin. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.
  • Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.). Springer. ISBN  3-540-00384-3.
  • Martin, Donald A. (1970), „Měřitelné kardinály a analytické hry“, Polska Akademia Nauk. Fundamenta Mathematicae, 66: 287–291, ISSN  0016-2736, PAN  0258637
  • Silver, Jack H. (1971) [1966], „Některé aplikace teorie modelů v teorii množin“, Annals of Pure and Applied Logic, 3 (1): 45–110, doi:10.1016/0003-4843(71)90010-6, ISSN  0168-0072, PAN  0409188
  • Solovay, Robert M. (1967), „Nonconstructible Δ1
    3     sada celých čísel ", Transakce Americké matematické společnosti, 127: 50–75, doi:10.2307/1994631, ISSN  0002-9947, JSTOR  1994631, PAN  0211873