Minimální model (teorie množin) - Minimal model (set theory)

v teorie množin, obor matematiky, minimální model je minimální standardní model z ZFC Minimální model představil Shepherdson (1951, 1952, 1953 ) a znovu objeven Cohen (1963).

Existenci minimálního modelu nelze v roce prokázat ZFC, i za předpokladu, že ZFC ano konzistentní, ale vyplývá z existence standardního modelu následovně. Pokud existuje soubor Ž v vesmír von Neumann V to je standardní model ZF a pořadové číslo[nutná disambiguation ] κ je sada řadových čísel, které se vyskytují v Ž, pak Lκ je třída konstruovatelné sady z Ž. Pokud existuje sada, která je standardním modelem ZF, pak nejmenší taková sada je Lκ. Tato sada se nazývá minimální model ZFC a také splňuje axiom konstruovatelnosti V = L. Dolů Löwenheim – Skolemova věta znamená, že minimální model (pokud existuje jako sada) je a počitatelný soubor. Přesněji řečeno, každý prvek s lze pojmenovat minimální model; jinými slovy existuje věta prvního řádu φ(X) takové, že s je jedinečný prvek minimálního modelu, pro který φ(s) je pravda.

Cohen (1963) dal další konstrukci minimálního modelu jako silně konstruovatelné množiny pomocí modifikované formy Gödelova konstruovatelného vesmíru.

Každá konzistentní teorie samozřejmě musí mít model, takže i v rámci minimálního modelu teorie množin existují množiny, které jsou modely ZFC (za předpokladu, že ZFC je konzistentní). Tyto modely sady jsou však nestandardní. Zejména nepoužívají běžný členský vztah a nejsou opodstatněné.

Pokud neexistuje žádný standardní model, minimální model nemůže existovat jako sada. V tomto případě však třída všech konstruktivních sad hraje stejnou roli jako minimální model a má podobné vlastnosti (i když nyní je to spíše správná třída než spočetná sada).

Minimální model teorie množin nemá jiné vnitřní modely než sám sebe. Zejména není možné použít metodu vnitřních modelů k prokázání toho, že jakýkoli daný výrok je pravdivý v minimálním modelu (např hypotéza kontinua ) není v ZFC prokazatelný.

Reference

  • Cohen, Paul J. (1963), „Minimální model pro teorii množin“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 69: 537–540, doi:10.1090 / S0002-9904-1963-10989-1, PAN  0150036
  • Shepherdson, J. C. (1951), „Vnitřní modely pro teorii množin. (PDF), The Journal of Symbolic Logic, Sdružení pro symbolickou logiku, 16 (3): 161–190, doi:10.2307/2266389, JSTOR  2266389, PAN  0045073
  • Shepherdson, J. C. (1952), „Vnitřní modely pro teorii množin. II“, The Journal of Symbolic Logic, Sdružení pro symbolickou logiku, 17 (4): 225–237, doi:10.2307/2266609, JSTOR  2266609, PAN  0053885
  • Shepherdson, J. C. (1953), „Vnitřní modely pro teorii množin. III“, The Journal of Symbolic Logic, Sdružení pro symbolickou logiku, 18 (2): 145–167, doi:10.2307/2268947, JSTOR  2268947, PAN  0057828