Vzorec čísla třídy - Class number formula
v teorie čísel, vzorec čísla třídy souvisí mnoho důležitých invarianty a pole s číslem na jeho speciální hodnotu Funkce Dedekind zeta.
Obecné vyjádření vzorce čísla třídy
Začínáme s následujícími údaji:
- K. je číselné pole.
- [K. : Q] = n = r1 + 2r2, kde r1 označuje počet skutečné vložení z K., a 2r2 je počet složitých vložení K..
- ζK.(s) je Funkce Dedekind zeta z K..
- hK. je číslo třídy, počet prvků v ideální třídní skupina z K..
- RegK. je regulátor z K..
- wK. je počet kořeny jednoty obsaženo v K..
- DK. je diskriminující z rozšíření K./Q.
Pak:
- Věta (vzorec čísla třídy). ζK.(s) absolutně konverguje pro Re(s) > 1 a rozšiřuje se na a meromorfní funkce definované pro všechny složité s pouze s jedním jednoduchá tyč na s = 1, se zbytkem
Toto je nejobecnější „vzorec čísla třídy“. V konkrétních případech, například když K. je cyklometické prodloužení z Q, existují konkrétní a propracovanější vzorce čísel tříd.
Důkaz
Myšlenku důkazu vzorce čísla třídy lze nejsnáze zjistit, když K. = Q(i). V tomto případě je kruh celých čísel dovnitř K. je Gaussova celá čísla.
Elementární manipulace ukazuje, že zbytek funkce Dedekind zeta na s = 1 je průměr koeficientů Dirichletova řada reprezentace funkce Dedekind zeta. The n-tý koeficient Dirichletovy řady je v podstatě počet reprezentací n jako součet dvou čtverců nezáporných celých čísel. Takže lze spočítat zbytek funkce Dedekind zeta na s = 1 výpočtem průměrného počtu reprezentací. Stejně jako v článku o Gaussův kruhový problém, lze to vypočítat aproximací počtu mřížových bodů uvnitř čtvrtkruhy se středem v počátečním závěru, že zbytek je jedna čtvrtina pí.
Důkaz, kdy K. je libovolné imaginární kvadratické číslo pole je velmi podobné.[1]
Obecně platí, že Dirichletova věta o jednotce, skupina jednotek v kruhu celých čísel K. je nekonečný. Lze však snížit výpočet zbytku na problém počítání mřížových bodů pomocí klasické teorie reálných a složitých vložení[2] a aproximovat počet mřížových bodů v oblasti objemem oblasti, aby se dokončil důkaz.
Dirichletův vzorec čísla třídy
Peter Gustav Lejeune Dirichlet zveřejnil důkaz vzorce čísla třídy pro kvadratická pole v roce 1839, ale bylo to uvedeno v jazyce kvadratické formy spíše než třídy ideály. Zdá se, že Gauss už tento vzorec znal v roce 1801.[3]
Tato expozice následuje Davenport.[4]
Nechat d být základní diskriminující, a piš h (d) pro počet tříd ekvivalence kvadratických forem s diskriminační d. Nechat být Symbol Kronecker. Pak je Dirichletova postava. Psát si pro Dirichlet řada L. na základě . Pro d> 0, nechť t> 0, u> 0 být řešením Pellova rovnice pro který u je nejmenší a napište
(Pak ε je buď a základní jednotka z skutečné kvadratické pole nebo čtverec základní jednotky.) Pro d <0, zápis w pro počet automorfismů kvadratických forem diskriminačních d; to je
Pak to ukázal Dirichlet
Toto je speciální případ výše uvedené Věty 1: pro a kvadratické pole K., funkce Dedekind zeta je spravedlivá a zbytek je . Dirichlet také ukázal, že L-series can be write in a finite form, which gives a finite form for the class number. Předpokládat je primitivní s prime dirigent . Pak
Galoisova rozšíření racionálů
Li K. je Galoisovo rozšíření z Q, teorie Artin L-funkce platí pro . Má jeden faktor Funkce Riemann zeta, který má pól zbytku jedna a podíl je pravidelný na s = 1. To znamená, že pravou stranu vzorce čísla třídy lze přirovnat k levé straně
- Π L(1, ρ)ztlumit ρ
s ρ běžícími přes třídy neredukovatelného netriviálního komplexu lineární reprezentace Gal (K./Q) dimenze dim (ρ). To je podle standardního rozkladu pravidelné zastoupení.
Abelian rozšíření racionální
To je případ výše uvedeného, u Gal (K./Q) an abelianská skupina, ve kterém lze všechny ρ nahradit Dirichletovy postavy (přes teorie pole ) pro nějaký modul F volal dirigent. Proto všechny L(1) Hodnoty se vyskytují pro Dirichletovy funkce L., pro které existuje klasický vzorec zahrnující logaritmy.
Podle Kroneckerova-Weberova věta, všechny hodnoty požadované pro vzorec čísla analytické třídy nastat již při zohlednění cyklotomických polí. V takovém případě je možná další formulace, jak ukazuje Kummer. The regulátor, lze vypočítat objem v „logaritmickém prostoru“ dělený logaritmy jednotek cyklotomického pole proti množstvím z L(1) rozpoznatelné jako logaritmy cyklotomické jednotky. Výsledné vzorce uvádějící, že číslo třídy je určeno indexem cyklotomických jednotek v celé skupině jednotek.
v Teorie Iwasawa, tyto myšlenky jsou dále kombinovány s Stickelbergerova věta.
Poznámky
- ^ https://www.math.umass.edu/~weston/oldpapers/cnf.pdf
- ^ http://planetmath.org/realandcomplexembeddings
- ^ „Věděl Gauss v roce 1801 Dirichletův vzorec čísla třídy?“. MathOverflow. 10. října 2012.
- ^ Davenport, Harold (2000). Montgomery, Hugh L. (vyd.). Multiplikativní teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 74 (3. vyd.). New York: Springer-Verlag. 43–53. ISBN 978-0-387-95097-6. Citováno 2009-05-26.
Reference
- W. Narkiewicz (1990). Základní a analytická teorie algebraických čísel (2. vyd.). Springer-Verlag /Polští vědečtí vydavatelé PWN. str.324–355. ISBN 3-540-51250-0.
Tento článek včlení materiál ze vzorce čísla třídy na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.