Věta o Dirichletově jednotce - Dirichlets unit theorem - Wikipedia
v matematika, Dirichletova věta o jednotce je základní výsledek v algebraická teorie čísel kvůli Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[1] Určuje hodnost z skupina jednotek v prsten ÓK. z algebraická celá čísla a pole s číslem K.. The regulátor je kladné reálné číslo, které určuje, jak „husté“ jsou jednotky.
Prohlášení je, že skupina jednotek je definitivně generována a má hodnost (maximální počet multiplikativně nezávislých prvků) roven
- r = r1 + r2 − 1
kde r1 je počet skutečných vložení a r2 the počet konjugovaných párů komplexních vložení z K.. Tato charakteristika r1 a r2 je založen na myšlence, že bude tolik způsobů vložení K. v komplexní číslo pole jako stupeň n = [K. : ℚ]; ty budou buď do reálná čísla nebo páry vložení související s komplexní konjugace, aby
- n = r1 + 2r2.
Všimněte si, že pokud K. je Galois u konce ℚ pak buď r1= 0 nebo r2=0.
Jiné způsoby stanovení r1 a r2 jsou
- použijte primitivní prvek věta psát K. = ℚ (α), a pak r1 je počet konjugáty z α to je skutečné, 2r2 počet, který je komplexní; jinými slovy, pokud F je minimální polynom z α přes ℚ, pak r1 je počet skutečných kořenů a 2r2 je počet nerealistických komplexních kořenů F (které přicházejí ve složitých konjugovaných párech);
- napsat tenzorový součin polí K. ⊗ℚ ℝ jako produkt polí r1 kopie ℝ a r2 kopie ℂ.
Jako příklad, pokud K. je kvadratické pole, pozice je 1, pokud se jedná o skutečné kvadratické pole, a 0, pokud jde o imaginární kvadratické pole. Teorie pro reálná kvadratická pole je v podstatě teorií Pellova rovnice.
Hodnocení je kromě všech číselných polí pozitivní ℚ a imaginární kvadratická pole, která mají pořadí 0. „Velikost“ jednotek se měří obecně pomocí a určující zavolal regulátor. V zásadě lze základ jednotek efektivně vypočítat; v praxi jsou výpočty docela zapojeny, když n je velký.
Torze ve skupině jednotek je souborem všech kořenů jednoty K., které tvoří konečnou cyklická skupina. U číselného pole s alespoň jedním skutečným vložením musí být tedy torze pouze {1,−1}. Existuje pole s čísly, například většina imaginární kvadratická pole, které nemají žádné skutečné vložení, které také mají {1,−1} za kroucení jeho skupiny jednotek.
Zcela reálná pole jsou zvláštní vzhledem k jednotkám. Li L/K. je konečné rozšíření číselných polí se stupněm větším než 1 a skupiny jednotek pro celá čísla L a K. mít potom stejnou hodnost K. je naprosto skutečný a L je naprosto složité kvadratické rozšíření. Konverzace také platí. (Příklad je K. rovná se racionálním a L rovná se imaginárnímu kvadratickému poli; oba mají jednotkovou hodnost 0.)
Věta se nevztahuje pouze na maximální pořadí ÓK. ale na jakoukoli objednávku Ó ⊂ ÓK..[2]
Existuje zobecnění věty o jednotkách Helmut Hasse (a později Claude Chevalley ) k popisu struktury skupiny S-Jednotky, určující hodnost skupiny jednotek v lokalizace prstenů celých čísel. Také Galoisův modul struktura ℚ ⊕ ÓK.,S ⊗ℤ ℚ bylo stanoveno.[3]
Regulátor
Předpokládejme to u1,...,ur jsou sada generátorů pro kořeny jednoty skupiny jednotek modulo. Li u je algebraické číslo, napište u1, ..., ur + 1 pro různé vložení do ℝ nebo ℂa nastavit Nj na 1 nebo 2, pokud je příslušné vložení skutečné nebo složité. Pak r × (r + 1) matice, jejíž položky jsou Nj přihlásit |u j
i|, i = 1, ..., r, j = 1, ..., r + 1, má vlastnost, že součet libovolného řádku je nula (protože všechny jednotky mají normu 1 a protokol normy je součtem položek v řádku). To znamená, že absolutní hodnota R determinantu submatice vytvořené odstraněním jednoho sloupce je nezávislý na sloupci. Číslo R se nazývá regulátor pole algebraického čísla (nezávisí to na výběru generátorů ui). Měří „hustotu“ jednotek: pokud je regulátor malý, znamená to, že existuje „spousta“ jednotek.
Regulátor má následující geometrickou interpretaci. Mapa s jednotkou u do vektoru s položkami Nj přihlásit |uj| má obrázek v souboru r-rozměrný podprostor ℝr + 1 skládající se ze všech vektorů, jejichž položky mají součet 0, a podle Dirichletovy věty o jednotce je obraz mřížkou v tomto podprostoru. Objem základní domény této mřížky je R√r + 1.
Regulátor algebraického číselného pole stupně většího než 2 je obvykle docela těžkopádné vypočítat, ačkoli nyní existují balíčky počítačové algebry, které to v mnoha případech dokážou. Obvykle je mnohem jednodušší vypočítat produkt hR z číslo třídy h a regulátor pomocí vzorec čísla třídy Hlavním problémem při výpočtu čísla třídy pole algebraického čísla je obvykle výpočet regulátoru.
Příklady
- Regulátor imaginární kvadratické pole, nebo racionálních celých čísel, je 1 (protože determinant matice 0 × 0 je 1).
- Regulátor a skutečné kvadratické pole je jeho logaritmus základní jednotka: například to ℚ (√5) je log √5 + 1/2. To lze vidět následovně. Základní jednotka je √5 + 1/2a jeho obrázky pod dvěma vložkami do ℝ jsou √5 + 1/2 a −√5 + 1/2. Takže r × (r + 1) matice je
- Regulátor cyklické kubické pole ℚ (α), kde α je kořenem X3 + X2 − 2X − 1, je přibližně 0,5255. Základem skupiny jednotek modulo kořeny jednoty je {ε1, ε2} kde ε1 = α2 + α − 1 a ε2 = 2 − α2.[4]
Vyšší regulátory
„Vyšší“ regulátor označuje konstrukci funkce na algebraický K.-skupina s indexem n > 1 která hraje stejnou roli jako klasický regulátor pro skupinu jednotek, což je skupina K.1. Teorie takových regulátorů byla ve vývoji s prací Armand Borel a další. Takové vyšší regulační orgány hrají roli například v EU Beilinsonovy domněnky, a očekává se, že se vyskytnou při hodnocení určitých L-funkce při celočíselných hodnotách argumentu.[5] Viz také Beilinsonův regulátor.
Stark regulátor
Formulace Starkovy dohady vedený Harold Stark definovat, co se nyní nazývá Stark regulátor, podobně jako klasický regulátor jako determinant logaritmů jednotek, připojený k libovolnému Artin zastoupení.[6][7]
p-adický regulátor
Nechat K. být pole s číslem a pro každého primární P z K. nad nějakým pevným racionálním prvočíslem p, nechť UP označte místní jednotky v P a nechte U1,P označte podskupinu hlavních jednotek v UP. Soubor
Pak nechte E1 označuje množinu globálních jednotek ε tu mapu U1 prostřednictvím úhlopříčného zabudování globálních jednotek do E.
Od té doby E1 je konečný-index podskupina globálních jednotek, to je abelianská skupina hodnosti r1 + r2 − 1. The p-adický regulátor je determinant matice tvořené p-adické logaritmy generátorů této skupiny. Leopoldtova domněnka uvádí, že tento determinant je nenulový.[8][9]
Viz také
Poznámky
- ^ Elstrodt 2007, §8.D
- ^ Stevenhagen, P. (2012). Číselné kroužky (PDF). str. 57.
- ^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, nabídka VIII.8.6.11.
- ^ Cohen 1993, Tabulka B.4
- ^ Bloch, Spencer J. (2000). Vyšší regulátory, algebraické K.-teorie a zeta funkce eliptických křivek. Série monografií CRM. 11. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001.
- ^ Prasad, Dipendra; Yogonanda, C. S. (2007-02-23). Zpráva o Artinově domněnce o holomorfii (PDF) (Zpráva).
- ^ Dasgupta, Samit (1999). Starkovy dohady (PDF) (Teze). Archivovány od originál (PDF) dne 10.05.2008.
- ^ Neukirch a kol. (2008) s. 626–627
- ^ Iwasawa, Kenkichi (1972). Přednášky na p-adic L-funkce. Annals of Mathematics Studies. 74. Princeton, NJ: Princeton University Press a University of Tokyo Press. s. 36–42. ISBN 0-691-08112-3. Zbl 0236.12001.
Reference
- Cohen, Henri (1993). Kurz výpočetní algebraické teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 138. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-55640-4. PAN 1228206. Zbl 0786.11071.
- Elstrodt, Jürgen (2007). „Život a dílo Gustava Lejeunea Dirichleta (1805–1859)“ (PDF). Clay Mathematics Proceedings. Citováno 2010-06-13.
- Lang, Serge (1994). Algebraická teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 110 (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94225-4. Zbl 0811.11001.
- Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. PAN 1697859. Zbl 0956.11021.
- Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, PAN 1737196, Zbl 0948.11001