Vektorový tok - Vector flow - Wikipedia

v matematika, vektorový tok odkazuje na soubor úzce souvisejících pojmů tok určeno a vektorové pole. Ty se objevují v řadě různých kontextů, včetně diferenciální topologie, Riemannova geometrie a Lež skupina teorie. Tyto související koncepty jsou prozkoumány v řadě článků:

Vektorový tok v diferenciální topologii

Relevantní koncepty: (tok, infinitezimální generátor, integrální křivka, úplné vektorové pole)

Nechat PROTI být plynulým vektorovým polem na hladkém potrubí M. Existuje jedinečné maximum tok D → M jehož nekonečně malý generátor je PROTI. Tady D ⊆ R × M je tok domény. Pro každého p ∈ M mapa Dp → M je jedinečné maximum integrální křivka z PROTI začínající na p.

A globální tok je ten, jehož toková doména je celá R × M. Globální toky definují hladké akce R na M. Vektorové pole je kompletní pokud generuje globální tok. Každé hladké vektorové pole na kompaktním potrubí bez ohraničení je kompletní.

Vektorový tok v Riemannově geometrii

Relevantní koncepty: (geodetická, exponenciální mapa, poloměr injektivity)

The exponenciální mapa

exp: TpM → M

je definován jako exp (X) = γ (1) kde γ: Já → M je jedinečná geodetická procházející p v 0 a jehož tečný vektor v 0 je X. Tady Já je maximální otevřený interval R pro které je definována geodetika.

Nechat M být pseudo-Riemannovo potrubí (nebo jakékoli potrubí s afinní spojení ) a nechte p být bodem v M. Pak pro každého PROTI v TpM existuje jedinečná geodetická γ: Já → M pro které γ (0) = p a Nechat Dp být podmnožinou TpM pro které leží 1 Já.

Tok vektorů v teorii Lieových grup

Relevantní koncepty: (exponenciální mapa, infinitezimální generátor, skupina s jedním parametrem)

Každé levé invariantní vektorové pole ve skupině Lie je kompletní. The integrální křivka počínaje identitou je a podskupina s jedním parametrem z G. Existují osobní korespondence

{jednoparametrových podskupin G} ⇔ {levá invariantní vektorová pole zapnuta G} ⇔ G = TEG.

Nechat G být ležovou skupinou a G jeho Lieova algebra. The exponenciální mapa je mapa exp: G → G dané exp (X) = γ (1), kde γ je integrální křivka začínající identitou v G generováno uživatelem X.

  • Exponenciální mapa je plynulá.
  • Pro pevné X, mapa t ↦ exp (tX) je podskupina s jedním parametrem G generováno uživatelem X.
  • Exponenciální mapa omezuje na difeomorfismus z nějakého sousedství 0 palců G do sousedství E v G.
  • Obraz exponenciální mapy vždy spočívá v připojené složce identity v G.

Viz také