Gausssův princip nejmenšího omezení - Gausss principle of least constraint - Wikipedia

Karl Friedrich Gauss

The zásada nejmenšího omezení je jedna variační formulace z klasická mechanika vysvětlil Carl Friedrich Gauss v roce 1829, ekvivalent ke všem ostatním formulacím analytické mechaniky.

Prohlášení

Princip nejmenšího omezení je a nejmenší čtverce princip uvádějící, že skutečná zrychlení mechanického systému z ${ displaystyle n}$ hmotnosti je minimum z množství

{ displaystyle Z , { stackrel { mathrm {def}} {=}} součet _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} cdot left | , { ddot { mathbf { r}}} _ {j} - { frac { mathbf {F} _ {j}} {m_ {j}}} doprava | ^ {2}}

Kde jta částice má Hmotnost ${ displaystyle m_ {j}}$ , vektor polohy ${ displaystyle mathbf {r} _ {j}}$ a aplikovala neomezující sílu ${ displaystyle mathbf {F} _ {j}}$ působící na masu.

Zápis ${ displaystyle { dot { mathbf {r}}}}$ označuje časová derivace vektorové funkce ${ displaystyle mathbf {r} (t)}$ , tj. poloha. Korespondence zrychlení ${ displaystyle { ddot { mathbf {r}}} _ {j}}$ uspokojit uložená omezení, která obecně závisí na aktuálním stavu systému, ${ displaystyle { mathbf {r} _ {j} (t), { dot { mathbf {r}}} _ {j} (t) }}$ .

Připomíná se skutečnost, že kvůli aktivní ${ displaystyle mathbf {F} _ {j}}$ a reaktivní (omezení) ${ displaystyle mathbf {F_ {c}} _ {j}}$ aplikované síly s výsledkem ${ displaystyle mathbf {R} = součet _ {j = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {j} + mathbf {F_ {c}} _ {j}}$ , systém zažije zrychlení ${ displaystyle { ddot { mathbf {r}}} = součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { mathbf {F} _ {j}} {m_ {j}}} + { frac { mathbf {F_ {c}} _ {j}} {m_ {j}}} = součet _ {j = 1} ^ {n} mathbf {a} _ {j} + mathbf {a_ {c}} _ {j}}$ .

Spojení s jinými formulacemi

Gaussův princip je ekvivalentní s D'Alembertův princip.

Princip nejmenšího omezení je kvalitativně podobný Hamiltonův princip, který uvádí, že skutečná cesta, kterou se ubírá mechanický systém, je extrémem akce. Gaussův princip je však pravdivý (místní) minimální princip, zatímco druhý je extrémní zásada.

Hertzův princip nejmenšího zakřivení

Heinrich Hertz

Hertzův princip nejmenšího zakřivení je zvláštním případem Gaussova principu, který je omezen dvěma podmínkami, že neexistují žádné externě působící síly, žádné interakce (které lze obvykle vyjádřit jako potenciální energie ) a všechny masy jsou stejné. Bez ztráty obecnosti mohou být masy rovny jedné. Za těchto podmínek lze zapsat Gaussovo minimalizované množství

{ displaystyle Z = sum _ {j = 1} ^ {n} left | { ddot { mathbf {r}}} _ {j} right | ^ {2}}

The Kinetická energie ${ displaystyle T}$ je za těchto podmínek také konzervován

{ displaystyle T { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac {1} {2}} sum _ {j = 1} ^ {n} left | { dot { mathbf {r}}} _ {j} doprava | ^ {2}}

Protože prvek čáry ${ displaystyle ds ^ {2}}$ v ${ displaystyle 3N}$ je definován -rozměrný prostor souřadnic

{ displaystyle ds ^ {2} { stackrel { mathrm {def}} {=}} součet _ {j = 1} ^ {n} vlevo | d mathbf {r} _ {j} vpravo | ^ {2}}

the uchování energie mohou být také psány

{ displaystyle left ({ frac {ds} {dt}} right) ^ {2} = 2T}

Dělení ${ displaystyle Z}$ podle ${ displaystyle 2T}$ přináší další minimální množství

{ displaystyle K { stackrel { mathrm {def}} {=}} sum _ {j = 1} ^ {n} left | { frac {d ^ {2} mathbf {r} _ {j}} {ds ^ {2}}} doprava | ^ {2}}

Od té doby ${ displaystyle { sqrt {K}}}$ je místní zakřivení trajektorie v ${ displaystyle 3n}$ -rozměrný prostor souřadnic, minimalizace ${ displaystyle K}$ je ekvivalentní k nalezení trajektorie nejmenšího zakřivení (a geodetické ), což je v souladu s omezeními.

Hertzův princip je také zvláštním případem Jacobi formulace princip nejméně akce.

Viz také

Appellova pohybová rovnice

Reference

Gauss, C. F. (1829). „Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik“. Crelle's Journal. 1829 (4): 232–235. doi:10,1515 / crll.1829.4.232. S2CID 199545985.
Gauss, C. F. Werke. 5. str. 23.
Hertz, H. (1896). Principy mechaniky. Různé dokumenty. III. Macmillana.
Lanczos, Cornelius (1986). „IV §8 Gaussův princip nejmenšího omezení“. Variační principy mechaniky (Dotisk University of Toronto 1970, 4. vydání.). Courier Dover. 106–110. ISBN 978-0-486-65067-8.
Papastavridis, John G. (2014). „6.6 Princip Gauss (rozsáhlá léčba)“. Analytická mechanika: Komplexní pojednání o dynamice omezených systémů (Dotisk ed.). Singapur, Hackensack NJ, Londýn: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. str. 911–930. ISBN 978-981-4338-71-4.

externí odkazy

[1] Moderní diskuse a důkaz Gaussova principu
[2] Gaussův princip nejmenšího omezení^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
[3] Hertzův princip nejmenšího zakřivení^{[trvalý mrtvý odkaz ]}