Newton – Cartanova teorie - Newton–Cartan theory
Newton – Cartanova teorie (nebo geometrizovaná Newtonova gravitace) je geometrické přepracování a zobecnění Newtonova gravitace poprvé představen Élie Cartan[1][2] a Kurt Friedrichs[3] a později vyvinutý společností Dautcourt,[4] Dixone,[5] Dombrowski a Horneffer, Ehlers, Havas,[6] Künzle,[7] Lottermoser, Trautman,[8] a další. V této nové formulaci jsou strukturální podobnosti mezi Newtonovou teorií a Albert Einstein je obecná teorie relativity jsou snadno viditelné a použil ji Cartan a Friedrichs k poskytnutí přísné formulace způsobu, jakým lze newtonovskou gravitaci považovat za specifický limit obecné relativity, a Jürgen Ehlers rozšířit tuto korespondenci na konkrétní řešení obecné relativity.
Klasické časoprostory
V Newton – Cartanově teorii se začíná plynulým čtyřrozměrným potrubím a definuje dva (degenerované) metriky. A časová metrika s podpisem , slouží k přiřazení časových délek vektorům na a a prostorová metrika s podpisem . Jeden také vyžaduje, aby tyto dvě metriky splňovaly podmínku transverzality (neboli „ortogonality“), . Jeden tedy definuje a klasický časoprostor jako objednaný čtyřnásobek , kde a jsou, jak je popsáno, je operátor kovariantního derivátu kompatibilní s metrikami; a metriky splňují podmínku ortogonality. Dalo by se říci, že klasický časoprostor je obdobou relativistického vesmírný čas , kde je hladký Lorentzianova metrika na potrubí .
Geometrická formulace Poissonovy rovnice
V Newtonově gravitační teorii Poissonova rovnice čte
kde je gravitační potenciál, je gravitační konstanta a je hustota hmoty. Slabí princip ekvivalence motivuje geometrickou verzi pohybové rovnice pro bodovou částici v potenciálu
kde je setrvačná hmotnost a gravitační hmota. Protože podle principu slabé ekvivalence , podle pohybové rovnice
již neobsahuje odkaz na hmotnost částice. V návaznosti na myšlenku, že řešení rovnice je pak vlastností zakřivení prostoru, je vytvořeno spojení tak, že geodetická rovnice
představuje pohybovou rovnici bodové částice v potenciálu . Výsledné spojení je
s a (). Spojení bylo zkonstruováno v jednom inerciálním systému, ale může být prokázáno, že je platné v jakémkoli inerciálním systému tím, že ukazuje invariance a pod transformacemi Galilei. Riemannův tenzor zakřivení v souřadnicích inerciálního systému tohoto spojení je pak dán vztahem
kde závorky znamená antisymetrickou kombinaci tenzoru . The Ricciho tenzor darováno
což vede k následující geometrické formulaci Poissonovy rovnice
Přesněji řečeno, pokud jsou římské indexy i a j rozsah přes prostorové souřadnice 1, 2, 3, pak je spojení dáno
tenzor Riemannova zakřivení o
a Ricciho tenzor a Ricciho skalární
kde všechny komponenty, které nejsou uvedeny, se rovnají nule.
Všimněte si, že tato formulace nevyžaduje zavedení konceptu metriky: samotné připojení poskytuje všechny fyzické informace.
Bargmannův výtah
Ukázalo se, že čtyřrozměrná Newton – Cartanova gravitační teorie může být přeformulována jako Snížení Kaluza – Klein pětidimenzionální Einsteinovy gravitace v nulovém směru.[9] Toto zvedání je považováno za užitečné pro nerelativistické holografické modely.[10]
Reference
- ^ Cartan, Élie (1923), „Sur les variétés àconnexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)“ (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325, doi:10,24033 / asens.751
- ^ Cartan, Élie (1924), „Sur les variétés àconnexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)“ (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1, doi:10,24033 / asens.753
- ^ Friedrichs, K. O. (1927), „Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz“, Mathematische Annalen, 98: 566–575, doi:10.1007 / bf01451608
- ^ Dautcourt, G. (1964), „Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie“, Acta Physica Polonica, 65: 637–646
- ^ Dixon, W. G. (1975), „O jedinečnosti newtonovské teorie jako geometrické gravitační teorie“, Komunikace v matematické fyzice, 45 (2): 167–182, Bibcode:1975CMaPh..45..167D, doi:10.1007 / bf01629247
- ^ Havas, P. (1964), „Čtyřrozměrné formulace newtonovské mechaniky a jejich vztah ke speciální a obecné teorii relativity“, Recenze moderní fyziky, 36 (4): 938–965, Bibcode:1964RvMP ... 36..938H, doi:10.1103 / revmodphys.36.938
- ^ Künzle, H. (1976), „Covariant Newtonian Limts of Lorentz space-times“, Obecná relativita a gravitace, 7 (5): 445–457, Bibcode:1976GReGr ... 7..445K, doi:10.1007 / bf00766139
- ^ Trautman, A. (1965), Deser, Jürgen; Ford, K. W. (eds.), Základy a současné problémy obecné relativity, 98, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, s. 1–248
- ^ Duval, C .; Burdet, G .; Künzle, H. P .; Perrin, M. (1985). „Bargmannovy struktury a Newton-Cartanova teorie“. Fyzický přehled D. 31 (8): 1841–1853. Bibcode:1985PhRvD..31.1841D. doi:10.1103 / PhysRevD.31.1841. PMID 9955910.
- ^ Goldberger, Walter D. (2009). „AdS / CFT dualita pro nerelativistickou teorii pole“. Journal of High Energy Physics. 2009 (3): 069. arXiv:0806.2867. Bibcode:2009JHEP ... 03..069G. doi:10.1088/1126-6708/2009/03/069.
Bibliografie
- Cartan, Élie (1923), „Sur les variétés àconnexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)“ (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325, doi:10,24033 / asens.751
- Cartan, Élie (1924), „Sur les variétés àconnexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)“ (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1, doi:10,24033 / asens.753
- Cartan, Élie (1955), Œuvres complètes, III / 1, Gauthier-Villars, str. 659, 799
- Renn, Jürgen; Schemmel, Matthias, eds. (2007), Genesis obecné relativity, 4, Springer, str. 1107–1129 (Anglický překlad článku Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. # 40)
- Kapitola 1 z Ehlers, Jürgen (1973), „Survey of general relativity theory“, v Izraeli, Werner (ed.), Relativita, astrofyzika a kosmologie, D. Reidel, s. 1–125, ISBN 90-277-0369-8