Newtonova dynamika - Newtonian dynamics

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Newtonova dynamika"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Ve fyzice je Newtonova dynamika se chápe jako dynamika částice nebo malého tělesa podle Newtonovy zákony pohybu.

Matematické zobecnění

Typicky Newtonova dynamika se vyskytuje v trojrozměrném Euklidovský prostor, který je plochý. Avšak v matematice Newtonovy zákony pohybu lze zobecnit na vícerozměrné a zakřivený mezery. Často termín Newtonova dynamika je zúžen na Newtonův druhý zákon ${ displaystyle displaystyle m , mathbf {a} = mathbf {F}}$.

Newtonův druhý zákon ve vícerozměrném prostoru

Zvážit ${ displaystyle displaystyle N}$ částice s hmotami ${ displaystyle displaystyle m_ {1}, , ldots, , m_ {N}}$ v pravidelném trojrozměrném Euklidovský prostor. Nechat ${ displaystyle displaystyle mathbf {r} _ {1}, , ldots, , mathbf {r} _ {N}}$ být jejich rádius-vektory v některých setrvačný souřadnicový systém. Poté se pohyb těchto částic řídí druhým Newtonovým zákonem aplikovaným na každou z nich

${ displaystyle { frac {d mathbf {r} _ {i}} {dt}} = mathbf {v} _ {i}, qquad { frac {d mathbf {v} _ {i}} {dt}} = { frac { mathbf {F} _ {i} ( mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N}, mathbf {v} _ {1 }, ldots, mathbf {v} _ {N}, t)} {m_ {i}}}, quad i = 1, ldots, N.}$

(1)

Trojrozměrné vektory poloměru ${ displaystyle displaystyle mathbf {r} _ {1}, , ldots, , mathbf {r} _ {N}}$ lze zabudovat do jednoho ${ displaystyle displaystyle n = 3N}$-dimenzionální poloměr-vektor. Podobně trojrozměrné vektory rychlosti ${ displaystyle displaystyle mathbf {v} _ {1}, , ldots, , mathbf {v} _ {N}}$ lze zabudovat do jednoho ${ displaystyle displaystyle n = 3N}$-dimenzionální rychlostní vektor:

${ displaystyle mathbf {r} = { begin {Vmatrix} mathbf {r} _ {1} vdots mathbf {r} _ {N} end {Vmatrix}}, qquad qquad mathbf {v} = { begin {Vmatrix} mathbf {v} _ {1} vdots mathbf {v} _ {N} end {Vmatrix}}.}$

(2)

Pokud jde o vícerozměrné vektory (2) rovnice (1) jsou psány jako

${ displaystyle { frac {d mathbf {r}} {dt}} = mathbf {v}, qquad { frac {d mathbf {v}} {dt}} = mathbf {F} ( mathbf {r}, mathbf {v}, t),}$

(3)

tj. mají podobu druhého Newtonova zákona aplikovaného na jedinou částici s jednotkovou hmotou ${ displaystyle displaystyle m = 1}$.

Definice. Rovnice (3) se nazývají rovnice a Newtonian dynamický systém v plochém vícerozměrném Euklidovský prostor, kterému se říká konfigurační prostor tohoto systému. Jeho body jsou označeny vektorem poloměru ${ displaystyle displaystyle mathbf {r}}$. Prostor, jehož body jsou označeny dvojicí vektorů ${ displaystyle displaystyle ( mathbf {r}, mathbf {v})}$ se nazývá fázový prostor dynamického systému (3).

Euklidovská struktura

Konfigurační prostor a fázový prostor dynamického systému (3) oba jsou euklidovské prostory, tj. E. jsou vybaveny a Euklidovská struktura. Jejich euklidovská struktura je definována tak, že Kinetická energie jedné vícerozměrné částice s jednotkovou hmotou ${ displaystyle displaystyle m = 1}$ se rovná součtu kinetických energií trojrozměrných částic s hmotami ${ displaystyle displaystyle m_ {1}, , ldots, , m_ {N}}$:

${ displaystyle T = { frac { Vert mathbf {v} Vert ^ {2}} {2}} = sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} , { frac { Vert mathbf {v} _ {i} Vert ^ {2}} {2}}}$.

(4)

Omezení a vnitřní souřadnice

V některých případech pohyb částic s hmotami ${ displaystyle displaystyle m_ {1}, , ldots, , m_ {N}}$ lze omezit. Typický omezení vypadat jako skalární rovnice tvaru

${ displaystyle displaystyle varphi _ {i} ( mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N}) = 0, quad i = 1, , ldots, , K}$.

(5)

Omezení formuláře (5) jsou nazývány holonomický a skleronomický. Pokud jde o poloměr vektoru ${ displaystyle displaystyle mathbf {r}}$ newtonovského dynamického systému (3) jsou psány jako

${ displaystyle displaystyle varphi _ {i} ( mathbf {r}) = 0, quad i = 1, , ldots, , K}$.

(6)

Každé takové omezení snižuje o jeden počet stupňů volnosti newtonovského dynamického systému (3). Omezený systém tedy má ${ displaystyle displaystyle n = 3 , N-K}$ stupně svobody.

Definice. Rovnice omezení (6) definovat ${ displaystyle displaystyle n}$-dimenzionální potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$ v konfiguračním prostoru newtonovského dynamického systému (3). Toto potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$ se nazývá konfigurační prostor omezeného systému. Jeho tečný svazek ${ displaystyle displaystyle TM}$ se nazývá fázový prostor omezeného systému.

Nechat ${ displaystyle displaystyle q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n}}$ být vnitřní souřadnice bodu ${ displaystyle displaystyle M}$. Jejich použití je typické pro Lagrangian mechanika. Vektor poloměru ${ displaystyle displaystyle mathbf {r}}$ je vyjádřena jako určitá určitá funkce ${ displaystyle displaystyle q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n}}$:

${ displaystyle displaystyle mathbf {r} = mathbf {r} (q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n})}$.

(7)

Vektorová funkce (7) řeší rovnice omezení (6) v tom smyslu, že při nahrazení (7) do (6) rovnice (6) jsou splněny shodně v ${ displaystyle displaystyle q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n}}$.

Interní prezentace vektoru rychlosti

Vektor rychlosti omezeného newtonovského dynamického systému je vyjádřen jako parciální derivace funkce vektoru (7):

${ displaystyle displaystyle mathbf {v} = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {i}}} , { tečka {q}} ^ {i}}$.

(8)

Množství ${ displaystyle displaystyle { dot {q}} ^ {1}, , ldots, , { dot {q}} ^ {n}}$ se nazývají vnitřní komponenty vektoru rychlosti. Někdy jsou označeny použitím samostatného symbolu

${ displaystyle displaystyle { dot {q}} ^ {i} = w ^ {i}, qquad i = 1, , ldots, , n}$

(9)

a poté s nimi zacházeno jako s nezávislými proměnnými. Množství

${ displaystyle displaystyle q ^ {1}, , ldots, , q ^ {n}, , w ^ {1}, , ldots, , w ^ {n}}$

(10)

se používají jako vnitřní souřadnice bodu fázového prostoru ${ displaystyle displaystyle TM}$ omezeného newtonovského dynamického systému.

Vkládání a indukovaná Riemannova metrika

Geometricky je vektorová funkce (7) implementuje vložení konfiguračního prostoru ${ displaystyle displaystyle M}$ omezeného newtonovského dynamického systému do ${ displaystyle displaystyle 3 , N}$-rozměrný plochý konfigurační prostor neomezeného newtonovského dynamického systému (3). Díky tomuto začlenění euklidovská struktura okolního prostoru indukuje Riemannovu metriku na potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$. Součásti metrický tenzor této indukované metriky jsou dány vzorcem

${ displaystyle displaystyle g_ {ij} = left ({ frac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {i}}}, { frac { částečné mathbf {r}} { částečné q ^ {j}}} vpravo)}$,

(11)

kde ${ displaystyle displaystyle (, )}$ je skalární součin spojený s euklidovskou strukturou (4).

Kinetická energie omezeného newtonovského dynamického systému

Protože euklidovská struktura neomezeného systému ${ displaystyle displaystyle N}$ částice se zavádějí prostřednictvím své kinetické energie, indukované Riemannovy struktury v konfiguračním prostoru ${ displaystyle displaystyle N}$ omezeného systému zachovává tento vztah k kinetické energii:

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {n} součet _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} , w ^ {i} , w ^ {j}}$.

(12)

Vzorec (12) je odvozen dosazením (8) do (4) a při zohlednění (11).

Omezovací síly

Pro omezený newtonovský dynamický systém platí omezení popsaná rovnicemi (6) jsou obvykle implementovány nějakým mechanickým rámcem. Tento rámec vytváří některé pomocné síly, včetně síly, která udržuje systém v jeho konfiguračním potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$. Taková udržovací síla je kolmá na ${ displaystyle displaystyle M}$. Říká se tomu normální síla. Síla ${ displaystyle displaystyle mathbf {F}}$ z (6) se dělí na dvě složky

${ displaystyle mathbf {F} = mathbf {F} _ { paralelní} + mathbf {F} _ { perp}}$.

(13)

První složka v (13) je tečna ke konfiguračnímu potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$. Druhá složka je kolmá na ${ displaystyle displaystyle M}$. Shoduje se s normální síla ${ displaystyle displaystyle mathbf {N}}$.
Jako vektor rychlosti (8), tečná síla ${ displaystyle displaystyle mathbf {F} _ { paralelní}}$ má svoji interní prezentaci

${ displaystyle displaystyle mathbf {F} _ { paralelní} = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečný mathbf {r}} { částečný q ^ {i}}} , F ^ {i}}$.

(14)

Množství ${ displaystyle F ^ {1}, , ldots, , F ^ {n}}$ v (14) se nazývají vnitřní komponenty vektoru síly.

Newtonův druhý zákon v zakřiveném prostoru

Newtonovský dynamický systém (3) omezeno na konfigurační potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$ omezovacími rovnicemi (6) je popsán diferenciálními rovnicemi

${ displaystyle { frac {dq ^ {s}} {dt}} = w ^ {s}, qquad { frac {dw ^ {s}} {dt}} + sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} Gamma _ {ij} ^ {s} , w ^ {i} , w ^ {j} = F ^ {s}, qquad s = 1, , ldots, , n}$,

(15)

kde ${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {s}}$ jsou Christoffel symboly z metrické připojení produkovaný Riemannovou metrikou (11).

Vztah k Lagrangeovým rovnicím

Mechanické systémy s omezeními jsou obvykle popsány v Lagrangeovy rovnice:

${ displaystyle { frac {dq ^ {s}} {dt}} = w ^ {s}, qquad { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečné T} { částečné w ^ {s}}} right) - { frac { částečné T} { částečné q ^ {s}}} = Q_ {s}, qquad s = 1, , ldots, , n}$,

(16)

kde ${ displaystyle T = T (q ^ {1}, ldots, q ^ {n}, w ^ {1}, ldots, w ^ {n})}$ je kinetická energie omezený dynamický systém daný vzorcem (12). Množství ${ displaystyle Q_ {1}, , ldots, , Q_ {n}}$ v (16) jsou vnitřní kovarianční komponenty vektoru tečné síly ${ displaystyle mathbf {F} _ { paralelní}}$ (viz (13) a (14)). Jsou vyráběny z vnitřku kontrariantní komponenty ${ displaystyle F ^ {1}, , ldots, , F ^ {n}}$ vektoru ${ displaystyle mathbf {F} _ { paralelní}}$ pomocí standardu postup snižování indexu pomocí metriky (11):

${ displaystyle Q_ {s} = součet _ {r = 1} ^ {n} g_ {sr} , F ^ {r}, qquad s = 1, , ldots, , n}$,

(17)

Rovnice (16) jsou ekvivalentní s rovnicemi (15). Metrika (11) a další geometrické rysy konfiguračního potrubí ${ displaystyle displaystyle M}$ nejsou explicitní v (16). Metrika (11) lze získat z kinetické energie ${ displaystyle displaystyle T}$ pomocí vzorce

${ displaystyle g_ {ij} = { frac { částečné ^ {2} T} { částečné w ^ {i} , částečné w ^ {j}}}}$.

(18)

Viz také

• Upravená newtonovská dynamika