Newtonova věta o oválech - Newtons theorem about ovals - Wikipedia

V matematice Newtonova věta o oválech uvádí, že oblast odříznutá a sekán hladkého konvexní ovál není algebraická funkce sekanta.

Isaac Newton uvedl to jako lemma 28 části VI knihy 1 Newtonovy Principia, a použil ji k ukázání, že poloha planety pohybující se na oběžné dráze není algebraickou funkcí času. Tam byl nějaký spor o tom, zda je tato věta je správná, protože Newton neuváděl přesně to, co měl na mysli ovál, a pro některé výklady slova oválná věta je správná, zatímco pro jiné je nepravdivá. Pokud „ovál“ znamená „spojitá konvexní křivka“, pak existují protiklady, například trojúhelníky nebo jeden z laloků Huygens lemniscate y2 = X2 − X4, zatímco Arnold (1989) poukázal na to, že pokud „ovál“ znamená „nekonečně diferencovatelná konvexní křivka“, pak je Newtonovo tvrzení správné a jeho argument má zásadní kroky přísného důkazu.

Vassiliev (2002) zobecnil Newtonovu větu na vyšší dimenze.

Prohlášení

Lemniscate Gerono nebo Huygens; oblast odříznutá sečenkou je algebraická, ale lemniscate není u počátku hladký

Anglický překlad Newtonovo původní prohlášení (Newton 1966, lemma 28 oddíl 6 kniha I) je:

„Neexistuje žádná oválná postava, jejíž plochu, rozříznutou pravými čarami pro potěšení, lze univerzálně najít pomocí rovnic libovolného počtu konečných členů a rozměrů.“

V moderním matematickém jazyce Newton v podstatě dokázal následující větu:

Neexistuje žádná konvexní hladká (tj. Nekonečně diferencovatelná) křivka, která by oblast ořízla úsečkou sekera + podle = C je algebraická funkce A, b, aC.

Jinými slovy, „ovál“ v Newtonově prohlášení by měl znamenat „konvexní hladkou křivku“. Je nutná nekonečná diferencovatelnost ve všech bodech: Pro jakékoli kladné celé číslo n existují algebraické křivky, které jsou hladké ve všech bodech kromě jednoho a jsou diferencovatelné n krát ve zbývajícím bodě, pro který je oblast odříznutá sečenkou algebraická.

Newton poznamenal, že podobný argument ukazuje, že arclength (hladkého konvexního) oválu mezi dvěma body není dána algebraickou funkcí bodů.

Newtonův důkaz

Pokud je ovál kruh ve středu počátku, pak Newtonova spirála je an Archimédova spirála.

Newton vzal původ P uvnitř oválu a považována za spirálu bodů (r, θ) v polárních souřadnicích, jejichž vzdálenost r z P je oblast odříznutá čarami od P s úhly 0 aθ. Poté si všiml, že tato spirála nemůže být algebraická, protože má nekonečné množství křižovatek s přímkou P, takže oblast odříznutá sečenkou nemůže být algebraickou funkcí sečnance.

Tento důkaz vyžaduje, aby ovál, a tedy i spirála, byly hladké; jinak by spirála mohla být nekonečným spojením kousků různých algebraických křivek. To se děje v různých „protikladech“ Newtonovy věty o nehladkých oválech.

Reference

  • Arnold, V. I. (1989), „Topologický důkaz transcendence abelianských integrálů v Newtonově Principii“, Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya (31): 7–17, ISSN  0136-0949, PAN  0993175
  • Arnold, V. I.; Vasilev, V. A. (1989), „Newton's Principia read 300 years later“, Oznámení Americké matematické společnosti, 36 (9): 1148–1154, ISSN  0002-9920, PAN  1024727
  • Newton, I. (1966), Principia sv. Pohyb těl, přeložil Andrew Motte (1729), revidováno Florian Cajori (1934) (na základě 2. vydání Newtona (1713) ed.), Berkeley, CA: University of California Press, ISBN  978-0-520-00928-8 Alternativní překlad dřívějšího (2.) vydání Newtona Principia.
  • Pesic, Peter (2001), „The platnosti of Newton's Lemma 28“, Historia Mathematica, 28 (3): 215–219, doi:10.1006 / hmat.2001.2321, ISSN  0315-0860, PAN  1849799
  • Pourciau, Bruce (2001), „Integrovatelnost oválu: Newtonovo lemma 28 a jeho protiklady“, Archiv pro historii přesných věd, 55 (5): 479–499, doi:10,1007 / s004070000034, ISSN  0003-9519, PAN  1827869
  • Vassiliev, V. A. (2002), Aplikovaná teorie Picard-Lefschetz Matematické průzkumy a monografie 97„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, doi:10.1090 / přežít / 097, ISBN  978-0-8218-2948-6, PAN  1930577