Newton – Pepysův problém - Newton–Pepys problem

The Newton – Pepysův problém je pravděpodobnost problém týkající se pravděpodobnosti hodu šestkami z určitého počtu kostek.^[1]

V roce 1693 Samuel Pepys a Isaac Newton odpovídal problému, který představuje Pepys ve vztahu k a vsadit plánoval udělat. Problém byl:

Který z následujících tří návrhů má největší šanci na úspěch?

A. Šest spravedlivých kostek je hozeno nezávisle a objeví se alespoň jedna „6“.

B. Dvanáct spravedlivých kostek je hozeno nezávisle a objeví se alespoň dvě „6“.

C. Osmnáct spravedlivých kostek je hozeno nezávisle a objeví se nejméně tři „6“.^[2]

Pepys si původně myslel, že výsledek C má nejvyšší pravděpodobnost, ale Newton správně dospěl k závěru, že výsledek A má ve skutečnosti nejvyšší pravděpodobnost.

Řešení

Pravděpodobnosti výsledků A, B a C jsou:^[1]

${displaystyle P (A) = 1-levá ({frac {5} {6}} vpravo) ^ {6} = {frac {31031} {46656}} přibližně 0,6651 ,,}$

${displaystyle P (B) = 1-součet _ {x = 0} ^ {1} {jiný {12} {x}} vlevo ({frac {1} {6}} vpravo) ^ {x} vlevo ({frac {5} {6}} ight) ^ {12-x} = {frac {1346704211} {2176782336}} přibližně 0,6187 ,,}$

${displaystyle P (C) = 1-součet _ {x = 0} ^ {2} {jiný {18} {x}} vlevo ({frac {1} {6}} vpravo) ^ {x} vlevo ({frac {5} {6}} ight) ^ {18-x} = {frac {15166600495229} {25389989167104}} přibližně 0,5973,}}$

Těchto výsledků lze dosáhnout použitím binomická distribuce (ačkoli Newton je získal z prvních principů). Obecně platí, že pokud P (N) je pravděpodobnost hodu minimálně n šestky s 6n kostky, pak:

${displaystyle P (N) = 1-součet _ {x = 0} ^ {n-1} {jiný {6n} {x}} vlevo ({frac {1} {6}} vpravo) ^ {x} vlevo ( {frac {5} {6}} ight) ^ {6n-x} ,.}$

Tak jako n roste, P (N) klesá monotónně směrem k asymptotické hranici 1/2.

Příklad v R.

Řešení uvedené výše lze implementovat v R jak následuje:

pro (s v 1:3) {          # hledá s = 1, 2 nebo 3 šestky  n = 6*s                 # ... v n = 6, 12 nebo 18 kostek  q = pbinom(s-1, n, 1/6) # q = Prob (  kočka("Pravděpodobnost alespoň", s, "šest v", n, "fair kostky:", 1-q, "")}

Newtonovo vysvětlení

Ačkoli Newton správně vypočítal pravděpodobnost každé sázky, poskytl Pepysovi samostatné intuitivní vysvětlení. Představoval si, že B a C hodí své kostky ve skupinách po šesti, a řekl, že A je nejpříznivější, protože vyžaduje pouze 6 v jednom losování, zatímco B a C vyžadují 6 v každém jejich losování. Toto vysvětlení předpokládá, že skupina neprodukuje více než jednu 6, takže ve skutečnosti neodpovídá původnímu problému.^[2]

Zobecnění

Přirozené zobecnění problému je třeba zvážit n nutně spravedlivé kostky, s p pravděpodobnost, že každá kostka při hodu vybere 6 tváří (všimněte si, že ve skutečnosti je počet tváří kostky a která plocha by měla být vybrána, irelevantní). Li r je celkový počet kostek, které vyberou 6 tváří ${displaystyle P (rgeq k; n, p)}$ je pravděpodobnost, že bude mít alespoň k správný výběr při přesném házení n kostky. Pak lze původní problém Newton – Pepys zobecnit následovně:

Nechat ${displaystyle u _ {1}, u _ {2}}$ být přirozená kladná čísla s.t. ${displaystyle u _ {1} leq u _ {2}}$. Je tedy ${displaystyle P (rgeq u _ {1} k; u _ {1} n, p)}$ ne menší než ${displaystyle P (rgeq u _ {2} k; u _ {2} n, p)}$ pro všechny n, p, k?

Všimněte si, že s touto notací původní problém Newton – Pepys zní jako: je ${displaystyle P (rgeq 1; 6,1 / 6) geq P (rgeq 2; 12,1 / 6) geq P (rgeq 3; 18,1 / 6)}$?

Jak si všimli Rubin a Evans (1961), neexistují jednotné odpovědi na zobecněný problém Newton – Pepys, protože odpovědi závisí na k, n a p. Existují nicméně některé varianty předchozích otázek, které připouštějí jednotné odpovědi:

(z Chaundy and Bullard (1960)):^[3]

Li ${displaystyle k_ {1}, k_ {2}, n}$ jsou kladná přirozená čísla a ${displaystyle k_ {1}$, pak ${displaystyle P (rgeq k_ {1}; k_ {1} n, {frac {1} {n}})> P (rgeq k_ {2}; k_ {2} n, {frac {1} {n}} )}$.

Li ${displaystyle k, n_ {1}, n_ {2}}$ jsou kladná přirozená čísla a ${displaystyle n_ {1}$, pak ${displaystyle P (rgeq k; kn_ {1}, {frac {1} {n_ {1}}})> P (rgeq k; kn_ {2}, {frac {1} {n_ {2}}})}$.

(Varagnolo, Pillonetto a Schenato (2013)):^[4]

Li ${displaystyle u _ {1}, u _ {2}, n, k}$ jsou kladná přirozená čísla a ${displaystyle u _ {1} leq u _ {2}, kleq n, špendlík [0,1]}$ pak ${displaystyle P (r = u _ {1} k; u _ {1} n, p) geq P (r = u _ {2} k; u _ {2} n, p)}$.

Reference