Newtonův mnohoúhelník - Newton polygon
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Březen 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

v matematika, Newtonův mnohoúhelník je nástroj pro porozumění chování polynomy přes místní pole.
V původním případě bylo místním zájmovým polem pole formální série Laurent v neurčitém X, tj pole zlomků z formální mocenské řady prsten
- K.[[X]],
přes K., kde K. byl reálné číslo nebo komplexní číslo pole. To je stále velmi užitečné, pokud jde o Expanze Puiseux. Newtonův mnohoúhelník je efektivní zařízení pro pochopení hlavních pojmů
- sekerar
řešení rozšiřování výkonových řad do rovnic
- P(F(X)) = 0
kde P je polynom s koeficienty v K.[X], polynomiální kruh; to je implicitně definováno algebraické funkce. Exponenty r tady jsou jisté racionální čísla, záleží na větev zvoleno; a samotná řešení jsou výkonové řady
- K.[[Y]]
s Y = X1/d pro jmenovatele d odpovídající pobočce. Newtonův polygon poskytuje efektivní, algoritmický přístup k výpočtu d.
Po zavedení p-adic čísla, bylo prokázáno, že Newtonův polygon je stejně užitečný v otázkách rozvětvení pro místní pole, a tedy v algebraická teorie čísel. Newtonovy polygony byly také užitečné při studiu eliptické křivky.
Definice
A priori, vzhledem k polynomu nad polem, bude chování kořenů (za předpokladu, že má kořeny) neznámé. Newtonovy polygony poskytují jednu techniku pro studium chování kořenů.
Nechat být místní pole s diskrétní ocenění a nechte
s . Pak Newtonův mnohoúhelník je definována jako nižší konvexní obal množiny bodů
ignorování bodů pomocí Geometricky upraveno, všechny tyto body zakreslete Pi na xy-letadlo. Předpokládejme, že bodové indexy se zvyšují zleva doprava (P0 je bod nejvíce vlevo, Pn je pravý krajní bod). Poté, počínaje P0, Nakresli paprsek rovně dolů rovnoběžně s y-osa a otočte tento paprsek proti směru hodinových ručiček, dokud nenarazí na bod Pk1 (ne nutně P1). Zlom tu paprsek. Nyní nakreslete druhý paprsek z Pk1 rovně dolů rovnoběžně s y-osa a otočte tento paprsek proti směru hodinových ručiček, dokud nenarazí na bod Pk2. Pokračujte, dokud proces nedosáhne bodu Pn; výsledný mnohoúhelník (obsahující body P0, Pk1, Pk2, ..., Pkm, Pn) je Newtonův mnohoúhelník.
Další, možná intuitivnější způsob zobrazení tohoto procesu je tento: zvažte gumičku obklopující všechny body P0, ..., Pn. Napněte pásek směrem nahoru tak, aby byl pásek uvíznutý na spodní straně některými body (body působí jako hřebíky, částečně zatlučené do roviny xy). Vrcholy Newtonova mnohoúhelníku jsou přesně tyto body.
Úhledný diagram tohoto viz Ch6 §3 „Local Fields“ od JWS Cassels, LMS Student Texts 3, CUP 1986. Je na str. 99 brožovaného vydání z roku 1986.
Dějiny
Newtonské polygony jsou pojmenovány po Isaac Newton, který je nejprve popsal a některá jejich použití použil v korespondenci z roku 1676 adresované Henry Oldenburg.[1]
Aplikace
Newtonský mnohoúhelník je někdy zvláštní případ a Newtonův mnohostěn, a lze je použít ke konstrukci asymptotických řešení dvou variabilních polynomiálních rovnic jako

Další aplikace Newtonova mnohoúhelníku pochází z následujícího výsledku:
Nechat
být svahy úseček Newtonova mnohoúhelníku (jak je definováno výše) uspořádány ve vzestupném pořadí a nechat
být odpovídající délky úsečky promítnuté na osu x (tj. pokud máme úsečku táhnoucí se mezi body a pak je délka ). Pak pro každého celé číslo , má přesně kořeny s oceněním .
Vysvětlení symetrické funkce
V souvislosti s oceněním dostáváme určité informace ve formě ocenění elementární symetrické funkce kořenů polynomu a požadovat informace o ocenění skutečných kořenů v an algebraické uzavření. To má aspekty obou teorie rozvětvení a teorie singularity. Platné možné závěry jsou z ocenění výkonové částky, pomocí Newtonovy identity.
Viz také
Reference
- ^ Egbert Brieskorn, Horst Knörrer (1986). Rovinné algebraické křivky, str. 370–383.
- Goss, David (1996), Základní struktury aritmetiky funkčního pole, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 35, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-61480-4, ISBN 978-3-540-61087-8, PAN 1423131
- Gouvêa, Fernando: p-adic numbers: Úvod. Springer Verlag 1993. str. 199.