Schrödingerova-Newtonova rovnice - Schrödinger–Newton equation

The Schrödingerova-Newtonova rovnice, někdy označované jako Newton – Schrödinger nebo Schrödingerova-Poissonova rovnice, je nelineární modifikace Schrödingerova rovnice s Newtonian gravitační potenciál, kde gravitační potenciál vychází z léčby vlnová funkce jako hmotnostní hustota, včetně termínu, který představuje interakci částice s vlastním gravitačním polem. Zahrnutí termínu sebeinterakce představuje zásadní změnu kvantové mechaniky.^[1] Lze jej zapsat buď jako jedinou integro-diferenciální rovnici, nebo jako spojený systém Schrödingerovy a Poissonovy rovnice. V posledně uvedeném případě je také uvedeno v množném čísle.

Schrödingerova-Newtonova rovnice byla poprvé zvažována Ruffinim a Bonazzolou^[2] v souvislosti s vlastní gravitací bosonské hvězdy. V tomto kontextu klasické obecná relativita zdá se to jako nerelativistická hranice buď Klein-Gordonova rovnice nebo Diracova rovnice v zakřiveném časoprostoru spolu s Einsteinovy ​​rovnice pole.^[3]Rovnice také popisuje fuzzy temná hmota a přibližuje klasiku studená temná hmota popsal Vlasov – Poissonova rovnice v limitu, že hmotnost částic je velká.^[4]

Později byl navržen jako model pro vysvětlení kolaps funkce kvantové vlny Lajos Diósi^[5] a Roger Penrose,^[6][7][8] od kterého pochází název „Schrödinger – Newtonova rovnice“. V této souvislosti má hmota kvantové vlastnosti, zatímco gravitace zůstává klasická i na základní úrovni. Schrödingerova-Newtonova rovnice byla proto také navržena jako způsob, jak otestovat nezbytnost kvantová gravitace.^[9]

Ve třetím kontextu se Schrödingerova-Newtonova rovnice jeví jako Hartreeho aproximace pro vzájemnou gravitační interakci v systému velkého počtu částic. V této souvislosti odpovídající rovnice pro elektromagnetické Coulomb Interakci navrhl Philippe Choquard na Symposiu 1976 o Coulomb Systems v Lausanne k popisu jednosložkových plazmat. Elliott H. Lieb poskytl důkaz o existenci a jedinečnosti stacionárního základního stavu a označil rovnici jako Choquardova rovnice.^[10]

Přehled

Jako spojený systém jsou Schrödingerova-Newtonova rovnice obvyklá Schrödingerova rovnice se samointerakcí gravitační potenciál

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { částečné Psi} { částečné t}} = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} Psi + V Psi + m Phi Psi ,,}$

kde V je obyčejný potenciál a gravitační potenciál ${ displaystyle Phi}$, představující interakci částice s vlastním gravitačním polem, splňuje Poissonovu rovnici

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = 4 pi Gm | Psi | ^ {2} ,.}$

Kvůli zpětné vazbě vlnové funkce na potenciál je to a nelineární systém.

Integro-diferenciální forma rovnice je

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { částečné Psi} { částečné t}} = left [- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2 } + V-Gm ^ {2} int { frac {| Psi (t, mathbf {y}) | ^ {2}} {| mathbf {x} - mathbf {y} |}} , mathrm {d} ^ {3} mathbf {y} vpravo] Psi ,.}$

Získává se z výše uvedeného systému rovnic integrací Poissonovy rovnice za předpokladu, že potenciál musí zmizet v nekonečnu.

Matematicky je Schrödingerova-Newtonova rovnice zvláštním případem Hartreeho rovnice pro n = 2. Rovnice si zachovává většinu vlastností lineární Schrödingerovy rovnice. Zejména je neměnný při konstantních fázových posunech, což vede k zachování pravděpodobnosti, a vykazuje plné Galilei invariance. Kromě těchto symetrií simultánní transformace

${ Displaystyle m až mu m, ; t až mu ^ {- 5} t, ; ; mathbf {x} až mu ^ {- 3} mathbf {x}, ; ; psi (t, mathbf {x}) to mu ^ {9/2} psi ( mu ^ {5} t, mu ^ {3} mathbf {x})}$

mapuje řešení Schrödinger – Newtonovy rovnice na řešení.^[11][12]Stacionární rovnice, kterou lze získat obvyklým způsobem oddělením proměnných, má nekonečnou rodinu normalizovatelných řešení, ze kterých je stabilní pouze stacionární základní stav.^[13][14][15]

Vztah k semiklasické a kvantové gravitaci

Schrödinger-Newtonovu rovnici lze odvodit za předpokladu, že gravitace zůstává klasická, dokonce i na základní úrovni, a že správný způsob, jak spojit kvantovou hmotu s gravitací, je pomocí semiklasické Einsteinovy ​​rovnice. V tomto případě se k Schrödingerově rovnici přidá člen Newtonova gravitačního potenciálu, kde je zdrojem tohoto gravitačního potenciálu očekávaná hodnota operátoru hustoty hmoty. V tomto kontextu, -li gravitace je v zásadě klasická, Schrödingerova-Newtonova rovnice je základní rovnice s jedním částicemi, kterou lze zobecnit pro případ mnoha částic (viz níže).

Pokud je naopak gravitační pole kvantováno, zůstává základní Schrödingerova rovnice lineární. Schrödingerova-Newtonova rovnice pak platí pouze jako aproximace gravitační interakce v systémech s velkým počtem částic a nemá žádný vliv na těžiště.^[16]

Rovnice mnoha těl a pohyb těžiště

Pokud je Schrödingerova-Newtonova rovnice považována za základní rovnici, existuje odpovídající rovnice N-těla, kterou již uvedl Diósi,^[5] a lze jej odvodit ze semiklasické gravitace stejným způsobem jako rovnice jedné částice:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathrm {i} hbar { frac { částečné Psi (t, mathbf {x_ {1}}, dots, mathbf {x_ {N}})} { partial t}} = { Bigg (} & - sum _ {i = 1} ^ {N} { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {i}}} nabla _ {i} ^ {2} + sum _ {i not = j} V_ {ij} (| mathbf {x_ {i}} - mathbf {x_ {j}} |) & - G sum _ {i, j = 1} ^ {N} m_ {i} m_ {j} int mathrm {d} ^ {3} mathbf {y_ {1}} cdots mathrm {d} ^ {3} mathbf {y_ {N}} , { frac {| Psi (t, mathbf {y_ {1}}, dots, mathbf {y_ {N}}) | ^ {2}} {| mathbf {x_ { i}} - mathbf {y_ {j}} |}} { Bigg)} Psi (t, mathbf {x_ {1}}, dots, mathbf {x_ {N}}) ,. konec {zarovnáno}}}$

Potenciál ${ displaystyle V_ {ij}}$ obsahuje všechny vzájemné lineární interakce, např. elektrodynamické Coulombovy interakce, zatímco termín gravitačního potenciálu je založen na předpokladu, že všechny částice vnímají stejný gravitační potenciál generovaný všemi mezní rozdělení pro všechny částice dohromady.

V Narozen - Oppenheimer - jako je aproximace, lze tuto rovnici N-částic rozdělit na dvě rovnice, z nichž jedna popisuje relativní pohyb a druhá poskytuje dynamiku vlnové funkce těžiště. Pro relativní pohyb gravitační interakce nehraje roli, protože je obvykle slabá ve srovnání s ostatními interakcemi představovanými ${ displaystyle V_ {ij}}$. Má však významný vliv na pohyb těžiště. Zatímco ${ displaystyle V_ {ij}}$ záleží pouze na relativních souřadnicích, a proto vůbec nepřispívá k dynamice těžiště, přispívá nelineární Schrödingerova-Newtonova interakce. Ve výše zmíněné aproximaci splňuje funkce těžiště vlny následující nelineární Schrödingerovu rovnici:

${ displaystyle mathrm {i} hbar { frac { částečné psi _ {c} (t, mathbf {R})} { částečné t}} = { Bigg (} { frac { hbar ^ {2}} {2M}} nabla ^ {2} -G int mathrm {d} ^ {3} mathbf {R '} , int mathrm {d} ^ {3} mathbf { y} , int mathrm {d} ^ {3} mathbf {z} , { frac {| psi _ {c} (t, mathbf {R '}) | ^ {2} , rho _ {c} ( mathbf {y}) rho _ {c} ( mathbf {z})} {| mathbf {R} - mathbf {R '} - mathbf {y} + mathbf {z} |}} { Bigg)} psi _ {c} (t, mathbf {R}) ,}$

kde M je celková hmotnost, R je relativní souřadnice, ${ displaystyle psi _ {c}}$ funkce těžiště vlnové vlny a ${ displaystyle rho _ {c}}$ je hustota hmoty systému mnoha těl (např. molekula nebo hornina) vzhledem k jeho těžišti.^[17]

V omezujícím případě funkce širokých vln, tj. Kde je šířka rozložení těžiště velká ve srovnání s velikostí uvažovaného objektu, je pohyb těžiště dobře aproximován Schrödinger-Newtonovou rovnicí pro jedinou částici. Opačný případ funkce úzkých vln lze aproximovat potenciálem harmonického oscilátoru, kde Schrödinger-Newtonova dynamika vede k rotaci ve fázovém prostoru.^[18]

V kontextu, kdy se Schrödingerova-Newtonova rovnice jeví jako Hartreeho aproximace, je situace jiná. V tomto případě je plná vlnová funkce N-částic považována za součin N-vlnových funkcí jedné částice, přičemž každý z těchto faktorů se řídí Schrödinger-Newtonovou rovnicí. Dynamika těžiště však na tomto obrázku zůstává přísně lineární. To platí obecně: nelineární Hartreeovy rovnice nikdy nemají vliv na těžiště.

Význam účinků

Hrubý odhad řádu režimu, kde se stávají relevantní účinky Schrödingerovy-Newtonovy rovnice, lze získat poměrně jednoduchým uvažováním.^[9] Pro sféricky symetrický Gaussian,

${ displaystyle Psi (t = 0, r) = ( pi sigma ^ {2}) ^ {- 3/4} exp left (- { frac {r ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) ,,}$

volná lineární Schrödingerova rovnice má řešení

${ displaystyle Psi (t, r) = ( pi sigma ^ {2}) ^ {- 3/4} vlevo (1 + { frac { mathrm {i} hbar t} {m sigma ^ {2}}} vpravo) ^ {- 3/2} exp vlevo (- { frac {r ^ {2}} {2 sigma ^ {2} vlevo (1 + { frac { mathrm {i} hbar t} {m sigma ^ {2}}} vpravo)}} vpravo) ,.}$

Vrchol radiální hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle 4 pi r ^ {2} | Psi | ^ {2}}$ najdete na

${ displaystyle r_ {p} = sigma { sqrt {1 + { frac { hbar ^ {2} t ^ {2}} {m ^ {2} sigma ^ {4}}}}}} , .}$

Nyní nastavíme zrychlení

${ displaystyle { ddot {r}} _ {p} = { frac { hbar ^ {2}} {m ^ {2} r_ {p} ^ {3}}}}$

této špičkové pravděpodobnosti rovné zrychlení způsobenému Newtonovou gravitací,

${ displaystyle { ddot {r}} = - { frac {Gm} {r ^ {2}}} ,,}$

pomocí toho ${ displaystyle r_ {p} = sigma}$ v čase ${ displaystyle t = 0}$. Tím se získá vztah

${ displaystyle m ^ {3} sigma = { frac { hbar ^ {2}} {G}} přibližně 1,7 krát 10 ^ {- 58} mathrm {m , kg ^ {3}} ,,}$

což nám umožňuje určit kritickou šířku pro danou hodnotu hmotnosti a naopak. Uznáváme také výše zmíněný zákon o změně měřítka. Numerické simulace^[12][1] Ukažte, že tato rovnice poskytuje poměrně dobrý odhad režimu, kde se účinky Schrödingerovy-Newtonovy rovnice stávají významnými.

Pro atom je kritická šířka kolem 10²² metrů, zatímco už je to 10⁻³¹ metrů na hmotnost jednoho mikrogramu. Režim, kdy je mše kolem 10¹⁰ atomové hmotnostní jednotky zatímco šířka je řádově mikrometrů, předpokládá se, že v budoucnu umožní experimentální test Schrödinger-Newtonovy rovnice. Možným kandidátem jsou interferometrie experimenty s těžkými molekulami, které v současné době dosahují hmotností až 10 000 atomových hmotnostních jednotek.

Kolaps funkce kvantové vlny

Myšlenka, že gravitace způsobuje (nebo nějak ovlivňuje) zhroucení vlnové funkce sahá až do 60. let a původně ji navrhl Károlyházy.^[19]Schrödinger-Newtonova rovnice byla v této souvislosti navržena Diósi.^[5] Tam rovnice poskytuje odhad „demarkační linie“ mezi mikroskopickými (kvantovými) a makroskopickými (klasickými) objekty. Stacionární základní stav má šířku

${ displaystyle a_ {0} přibližně { frac { hbar ^ {2}} {Gm ^ {3}}} ,.}$

Pro dobře lokalizovanou homogenní kouli, tj. Kouli s vlnovou funkcí středu hmoty, která je úzká ve srovnání s poloměrem koule, najde Diósi jako odhad šířky středu hmoty základního stavu vlnová funkce

${ displaystyle a_ {0} ^ {(R)} přibližně a_ {0} ^ {1/4} R ^ {3/4} ,.}$

Za předpokladu obvyklé hustoty kolem 1000 kg / m³ lze vypočítat kritický poloměr ${ displaystyle a_ {0} ^ {(R)} přibližně R}$. Tento kritický poloměr je asi desetina mikrometru.

Roger Penrose navrhl, aby Schrödingerova-Newtonova rovnice matematicky popisovala základní stavy zapojené do gravitačně indukované zhroucení vlnové funkce systém.^[6][7][8] Penrose naznačuje, že superpozice dvou nebo více kvantových stavů, které mají značné množství masového přemístění, by měla být nestabilní a redukovat se na jeden ze států v konečném čase. Předpokládá, že existuje „upřednostňovaná“ sada stavů, které by se nemohly dále zhroutit, konkrétně stacionární stavy Schrödinger-Newtonovy rovnice. Makroskopický systém proto nikdy nemůže být v prostorové superpozici, protože nelineární gravitační sebeinterakce okamžitě vede ke zhroucení do stacionárního stavu Schrödinger-Newtonovy rovnice. Podle Penroseovy myšlenky existuje při měření kvantové částice souhra tohoto nelineárního kolapsu a environmentálního dekoherence. Gravitační interakce vede k redukci prostředí do jednoho odlišného stavu a dekoherence vede k lokalizaci částice, např. jako tečka na obrazovce.

Problémy a otevřené záležitosti

Při interpretaci Schrödingerovy-Newtonovy rovnice jako příčiny kolapsu vlnové funkce nastávají tři hlavní problémy. Nejprve numerické studie^[12][15][1] souhlasně zjistíte, že když se vlnový paket „zhroutí“ na stacionární řešení, zdá se, že jeho malá část uteče do nekonečna. To by znamenalo, že na vzdáleném místě lze stále najít i úplně zhroucený kvantový systém. Jelikož řešení lineární Schrödingerovy rovnice směřují k nekonečnu ještě rychleji, naznačuje to pouze to, že samotná Schrödingerova-Newtonova rovnice není dostatečná k vysvětlení kolapsu vlnové funkce. Pokud se vezme v úvahu prostředí, může tento účinek zmizet, a proto nebude přítomen ve scénáři popsaném Penrosem.

Druhým problémem, který vyplývá také z Penrosova návrhu, je původ Narozené pravidlo. Vyřešit problém měření pouhé vysvětlení, proč se vlnová funkce zhroutí, např. tečka na obrazovce, nestačí. Dobrý model procesu kolapsu musí také vysvětlit, proč se tečka objevuje na různých pozicích obrazovky s pravděpodobnostmi, které jsou určeny druhou mocninou absolutní hodnoty vlnové funkce. Ačkoli by bylo možné, že model založený na Penrosově myšlence by mohl poskytnout takové vysvětlení, není zřejmý způsob, jak by z něj přirozeně mohlo vzniknout pravidlo Born.

Nakonec, protože gravitační potenciál je spojen s vlnovou funkcí na obrázku Schrödinger-Newtonovy rovnice, musí být vlnová funkce interpretována jako skutečný objekt. Proto se alespoň v zásadě stává měřitelnou veličinou. S využitím nelokální povahy zapletených kvantových systémů by to mohlo být použito k odesílání signálů rychleji než světlo, což je obecně považováno za protiklad kauzality. Není však jasné, zda lze tento problém vyřešit uplatněním předpisu správného kolapsu, který je třeba ještě najít, důsledně na celý kvantový systém. Jelikož gravitace je tak slabou interakcí, není jasné, že takový experiment lze skutečně provést v rámci parametrů daných v našem vesmíru (srov. Diskuse^[20] o podobném myšlenkovém experimentu, který navrhli Eppley a Hannah^[21]).

Viz také

• Nelineární Schrödingerova rovnice
• Poloklasická gravitace
• Penrosova interpretace
• Poissonova rovnice

Reference