Sobolevův konjugát - Sobolev conjugate - Wikipedia

The Sobolevův konjugát z p pro ${ displaystyle 1 leq p$, kde n je prostorová rozměrnost, je

${ displaystyle p ^ {*} = { frac {pn} {n-p}}> p}$

Toto je důležitý parametr v Sobolevovy nerovnosti.

Motivace

Vyvstává otázka, zda u z Sobolevův prostor ${ displaystyle W ^ {1, p} ( mathbb {R} ^ {n})}$ patří ${ displaystyle L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})}$ pro některé q > p. Přesněji, kdy ano ${ displaystyle | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})}}$ řízení ${ displaystyle | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})}}$? Je snadné zkontrolovat, že následující nerovnost

${ displaystyle | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} leq C (p, q) | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} qquad qquad (*)}$

nemůže být pravda pro libovolné q. Zvážit ${ displaystyle u (x) v C_ {c} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$, nekonečně diferencovatelná funkce s kompaktní podporou. Představit ${ displaystyle u _ { lambda} (x): = u ( lambda x)}$. Máme to:

${ displaystyle { begin {aligned} | u _ { lambda} | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {q} & = int _ { mathbb { R} ^ {n}} | u ( lambda x) | ^ {q} dx = { frac {1} { lambda ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | u (y) | ^ {q} dy = lambda ^ {- n} | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {q} | Du _ { lambda} | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {p} & = int _ { mathbb {R} ^ {n}} | lambda Du ( lambda x) | ^ {p} dx = { frac { lambda ^ {p}} { lambda ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | Du ( y) | ^ {p} dy = lambda ^ {pn} | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {p} end {zarovnáno}}}$

Nerovnost (*) pro ${ displaystyle u _ { lambda}}$ má za následek následující nerovnost pro ${ displaystyle u}$

${ displaystyle | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} leq lambda ^ {1 - { frac {n} {p}} + { frac { n} {q}}} C (p, q) | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})}}$

Li ${ displaystyle 1 - { frac {n} {p}} + { frac {n} {q}} neq 0,}$ pak necháním ${ displaystyle lambda}$ jít na nulu nebo nekonečno získáme rozpor. Nerovnost (*) tedy může platit pouze pro

${ displaystyle q = { frac {pn} {n-p}}}$,

což je Sobolevův konjugát.

Viz také

• Sergej Lvovič Sobolev

Reference

• Lawrence C. Evans. Parciální diferenciální rovnice. Postgraduální studium matematiky, Sv. 19. Americká matematická společnost. 1998. ISBN  0-8218-0772-2