Monodromy věta - Monodromy theorem
v komplexní analýza, monodromy věta je důležitý výsledek o analytické pokračování a komplexní analytická funkce do větší sady. Myšlenka je, že lze rozšířit komplexně analytickou funkci (odtud jednoduše nazvanou analytická funkce) podél křivek začínajících v původní doméně funkce a končících ve větší sadě. Potenciální problém analytické pokračování po křivce strategie je, že obvykle existuje mnoho křivek, které končí ve stejném bodě větší sady. Věta o monodromii poskytuje dostatečné podmínky pro analytické pokračování, aby poskytla stejnou hodnotu v daném bodě bez ohledu na křivku použitou k jejímu získání, takže výsledná rozšířená analytická funkce je dobře definovaná a má jednu hodnotu.
Před uvedením této věty je nutné definovat analytické pokračování podél křivky a studovat její vlastnosti.
Analytické pokračování po křivce
Definice analytického pokračování podél křivky je trochu technická, ale základní myšlenkou je, že se začíná s analytickou funkcí definovanou kolem bodu a jedna se rozšiřuje po křivce pomocí analytických funkcí definovaných na malých překrývajících se discích pokrývajících tuto křivku.
Formálně zvažte křivku (a spojitá funkce ) Nechat být analytickou funkcí definovanou na otevřete disk se středem na An analytické pokračování dvojice podél je sbírka párů pro takhle
- a
- Pro každého je otevřený disk se středem na a je analytická funkce.
- Pro každého tady existuje takové, že pro všechny s jeden to má (což z toho vyplývá a mít neprázdný průsečík ) a funkce a shodovat se na křižovatce
Vlastnosti analytického pokračování podél křivky
Analytické pokračování podél křivky je v zásadě jedinečné, v tom smyslu, že dané dvě analytická pokračování a z podél funkce a shodovat se Neformálně to říká, že jakékoli dvě analytické pokračování podél skončí se stejnými hodnotami v sousedství
Pokud křivka je zavřený (tj. ), jeden nemusí mít rovnat se v sousedství Například pokud jeden začíná v bodě s a komplexní logaritmus definován v sousedství tohoto bodu a jeden umožňuje být kruh o poloměru soustředěný na počátek (cestoval proti směru hodinových ručiček od ), pak provedením analytického pokračování podél této křivky skončíte s hodnotou logaritmu na který je plus původní hodnota (viz druhý obrázek vpravo).
Monodromy věta
Jak již bylo uvedeno výše, dvě analytická pokračování podél stejné křivky přinášejí stejný výsledek v koncovém bodě křivky. Avšak vzhledem ke dvěma různým křivkám větvícím se ze stejného bodu, kolem kterého je definována analytická funkce, s tím, že se křivky opět spojí na konci, obecně neplatí, že analytické pokračování této funkce podél dvou křivek přinese stejnou hodnotu v jejich společném koncovém bodě.
Ve skutečnosti lze uvažovat, stejně jako v předchozí části, komplexní logaritmus definovaný v sousedství bodu a kruh soustředěný na počátek a poloměr Poté je možné cestovat z na dvěma způsoby, proti směru hodinových ručiček, na oblouku horní poloviny roviny tohoto kruhu, a ve směru hodinových ručiček, na oblouku dolní poloroviny. Hodnoty logaritmu v získané analytickým pokračováním podél těchto dvou oblouků se budou lišit o
Pokud však lze kontinuálně deformovat jednu z křivek na druhou při zachování počátečních a koncových bodů a analytické pokračování je možné na každé z mezilehlých křivek, pak analytické pokračování podél dvou křivek přinese stejné výsledky při jejich společný koncový bod. Tomu se říká monodromy věta a jeho prohlášení je uvedeno níže.
- Nechat být otevřeným diskem v komplexní rovině se středem v bodě a být komplexně analytickou funkcí. Nechat být dalším bodem v komplexní rovině. Pokud existuje rodina křivek s takhle a pro všechny funkce je kontinuální a pro každého je možné provést analytické pokračování podél pak analytické pokračování podél a získá stejné hodnoty při
Věta o monodromii umožňuje rozšířit analytickou funkci na větší množinu pomocí křivek spojujících bod v původní doméně funkce s body ve větší množině. Věta níže, která uvádí, že se také nazývá monodromy věta.
- Nechat být otevřeným diskem v komplexní rovině se středem v bodě a být komplexně analytickou funkcí. Li je otevřený jednoduše připojená sada obsahující a je možné provést analytické pokračování na libovolné křivce obsažené v který začíná na pak připouští a přímé analytické pokračování na což znamená, že existuje komplexně analytická funkce jehož omezení na je
Viz také
Reference
- Krantz, Steven G. (1999). Příručka komplexních proměnných. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
- Jones, Gareth A .; Singerman, David (1987). Komplexní funkce: algebraické a geometrické hledisko. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31366-X.
- Triebel, Hans (1986). Analýza a matematická fyzika, anglicky vyd. D. Reidel Pub. Co. ISBN 90-277-2077-0.