Modulární lambda funkce - Modular lambda function - Wikipedia

v matematika, eliptická modulární lambda funkce λ (τ) je vysoce symetrická holomorfní funkce komplexu horní polorovina. Je invariantní pod zlomkovým lineárním působením skupina shody Γ (2) a generuje funkční pole příslušného kvocientu, tj. Je Hauptmodul pro modulární křivka X(2). Přes jakýkoli bod τ lze jeho hodnotu popsat jako a křížový poměr větvících bodů rozvětveného dvojitého krytu projektivní čáry pomocí eliptická křivka ${ displaystyle mathbb {C} / jazyk 1, tau rangle}$ , kde je mapa definována jako kvocient involucí [−1].

Q-expanze, kde ${ displaystyle q = e ^ { pi i tau}}$ je ne já, darováno:

{ displaystyle lambda ( tau) = 16q-128q ^ {2} + 704q ^ {3} -3072q ^ {4} + 11488q ^ {5} -38400q ^ {6} + tečky}

. OEIS: A115977

Symetrizací funkce lambda pod kanonickým působením symetrické skupiny S₃ na X(2), a poté vhodně normalizovat, člověk získá funkci na horní polorovině, která je neměnná pod celou modulární skupinou ${ displaystyle SL_ {2} ( mathbb {Z})}$ a ve skutečnosti je Kleinova modulární j-invariantní.

Modulární vlastnosti

Funkce ${ displaystyle lambda ( tau)}$ je neměnný ve skupině generované^[1]

{ displaystyle tau mapsto tau +2 ; tau mapsto { frac { tau} {1-2 tau}} .}

Generátory modulární skupiny jednají podle^[2]

{ displaystyle tau mapsto tau +1 : lambda mapsto { frac { lambda} { lambda -1}} ,;}

{ displaystyle tau mapsto - { frac {1} { tau}} : lambda mapsto 1- lambda .}

V důsledku toho je působení modulární skupiny na ${ displaystyle lambda ( tau)}$ je to z anharmonická skupina, přičemž šest hodnot z křížový poměr:^[3]

{ displaystyle left lbrace { lambda, { frac {1} {1- lambda}}, { frac { lambda -1} { lambda}}, { frac {1} { lambda} }, { frac { lambda} { lambda -1}}, 1- lambda} doprava rbrace .}

Jiná vystoupení

Další eliptické funkce

To je náměstí z Jacobiho modul,^[4] to je ${ displaystyle lambda ( tau) = k ^ {2} ( tau)}$ . Z hlediska Funkce Dedekind eta ${ displaystyle eta ( tau)}$ a theta funkce,^[4]

{ displaystyle lambda ( tau) = { Bigg (} { frac {{ sqrt {2}} , eta ({ tfrac { tau} {2}}) eta ^ {2} ( 2 tau)} { eta ^ {3} ( tau)}} { Bigg)} ^ {8} = { frac {16} { vlevo ({ frac { eta ( tau / 2) } { eta (2 tau)}} vpravo) ^ {8} +16}} = { frac { theta _ {2} ^ {4} (0, tau)} { theta _ {3 } ^ {4} (0, tau)}}}

a,

{ displaystyle { frac {1} {{ big (} lambda ( tau) { big)} ^ {1/4}}} - { big (} lambda ( tau) { big) } ^ {1/4} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { eta ({ tfrac { tau} {4}})} { eta ( tau)}} right) ^ {4} = 2 , { frac { theta _ {4} ^ {2} (0, { tfrac { tau} {2}})}} { theta _ {2} ^ { 2} (0, { tfrac { tau} {2}})}}}

kde^[5] pro ne já ${ displaystyle q = e ^ { pi i tau}}$ ,

{ displaystyle theta _ {2} (0, tau) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ { left ({n + { frac {1} {2}}} right) ^ {2}}}

{ displaystyle theta _ {3} (0, tau) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}}}

{ displaystyle theta _ {4} (0, tau) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}}

Pokud jde o poloviční období Weierstrassovy eliptické funkce, nechť ${ displaystyle [ omega _ {1}, omega _ {2}]}$ být základní dvojice období s ${ displaystyle tau = { frac { omega _ {2}} { omega _ {1}}}}$ .

{ displaystyle e_ {1} = wp left ({ frac { omega _ {1}} {2}} right), e_ {2} = wp left ({ frac { omega _ { 2}} {2}} right), e_ {3} = wp left ({ frac { omega _ {1} + omega _ {2}} {2}} right)}

my máme^[4]

{ displaystyle lambda = { frac {e_ {3} -e_ {2}} {e_ {1} -e_ {2}}} ,.}

Jelikož jsou tři hodnoty půlperiody odlišné, ukazuje to, že λ nemá hodnotu 0 nebo 1.^[4]

Vztah k j-invariantní je^[6]^[7]

{ displaystyle j ( tau) = { frac {256 (1- lambda (1- lambda)) ^ {3}} {( lambda (1- lambda)) ^ {2}}} = { frac {256 (1- lambda + lambda ^ {2}) ^ {3}} { lambda ^ {2} (1- lambda) ^ {2}}} .}

který je j-invariant eliptické křivky Legendární forma ${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- lambda)}$

Malá Picardova věta

Funkce lambda se používá v původním dokladu o Malá Picardova věta, že celý nekonstantní funkce v komplexní rovině nemůže vynechat více než jednu hodnotu. Tuto větu dokázal Picard v roce 1879.^[8] Předpokládejme, pokud je to možné, že F je celá a nebere hodnoty 0 a 1. Protože λ je holomorfní, má místní holomorfní inverzní ω definovanou od 0,1, ∞. Zvažte funkci z → ω (F(z)). Podle Monodromy věta toto je holomorfní a mapuje složitou rovinu C do horní poloviny roviny. Z toho je snadné zkonstruovat holomorfní funkci C na disk jednotky, který do Liouvilleova věta musí být konstantní.^[9]

Nesmysly

Funkce ${ displaystyle { frac {16} { lambda (2 tau)}} - 8}$ je normalizovaný Hauptmodul pro skupinu ${ displaystyle Gamma _ {0} (4)}$ , a jeho q-expanze ${ displaystyle q ^ {- 1} + 20q-62q ^ {3} + dots}$ , OEIS: A007248 kde ${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$ , je odstupňovaný charakter libovolného prvku ve třídě konjugace 4C skupina příšer působící na monstrum vrchol algebra.