Yangian - Yangian - Wikipedia

v teorie reprezentace, a Yangian je nekonečně dimenzionální Hopfova algebra, typ a kvantová skupina. Yangians poprvé objevil v fyzika v práci Ludvig Faddeev a jeho škola na konci 70. a na začátku 80. let týkající se metoda kvantového inverzního rozptylu. Název Yangian byl představen Vladimír Drinfeld v roce 1985 na počest C.N. Yang.

Zpočátku byly považovány za pohodlný nástroj pro generování kvantových řešení Yang – Baxterova rovnice.

Střed Yangian lze popsat kvantový determinant.

Popis

Pro jakýkoli konečný rozměr polojednoduchá Lie algebra ADrinfeld definoval nekonečně-dimenzionální Hopfova algebra Y(A), nazvaný Yangian z A. Tato Hopfova algebra je deformací univerzální obalová algebra U(A[z]) Lieovy algebry polynomiálních smyček A dané explicitními generátory a vztahy. Vztahy mohou být kódovány identitami zahrnujícími racionální R-matice. Nahrazení trigonometrickým R-matice, jeden dorazí afinní kvantové skupiny, definovaný ve stejném příspěvku Drinfeldu.

V případě obecná lineární Lieova algebra gl_N, Yangian připouští jednodušší popis z hlediska jediného trojice (nebo RTT) vztah na generátorech matic kvůli Faddeevovi a spoluautorům. Yangian Y (gl_N) je definována jako algebra generovaná prvky ${ displaystyle t_ {ij} ^ {(p)}}$ s 1 ≤ i, j ≤ N a p ≥ 0, s výhradou vztahů

${ displaystyle [t_ {ij} ^ {(p + 1)}, t_ {kl} ^ {(q)}] - [t_ {ij} ^ {(p)}, t_ {kl} ^ {(q + 1)}] = - (t_ {kj} ^ {(p)} t_ {il} ^ {(q)} - t_ {kj} ^ {(q)} t_ {il} ^ {(p)}). }$

Definování ${ displaystyle t_ {ij} ^ {(- 1)} = delta _ {ij}}$nastavení

${ displaystyle T (z) = součet _ {p geq -1} t_ {ij} ^ {(p)} z ^ {- p + 1}}$

a zavedení R-matice R(z) = I + z⁻¹ P na C^N${ displaystyle otimes}$C^N,kde P je operátor permutující tenzorové faktory, lze výše uvedené vztahy zapsat jednodušeji jako ternární vztah:

${ displaystyle displaystyle {R_ {12} (zw) T_ {1} (z) T_ {2} (w) = T_ {2} (w) T_ {1} (z) R_ {12} (zw). }}$

Yangian se stává Hopfova algebra s komultiplikací Δ, počtem ε a antipodem s dána

${ displaystyle ( Delta otimes mathrm {id}) T (z) = T_ {12} (z) T_ {13} (z), , , ( varepsilon otimes mathrm {id}) T (z) = I, , , (s otimes mathrm {id}) T (z) = T (z) ^ {- 1}.}$

Při zvláštních hodnotách spektrálního parametru ${ displaystyle (z-w)}$, R-matice degeneruje na projekci první úrovně. To lze použít k definování kvantový determinant z ${ displaystyle T (z)}$, který vytváří střed Yangian.

The zkroucený Yangian Y⁻(gl_2N), zavedený G. I. Olshanským, je koideál generovaný koeficienty

${ displaystyle displaystyle {S (z) = T (z) sigma T (-z),}}$

kde σ je involuce gl_2N dána

${ displaystyle displaystyle { sigma (E_ {ij}) = (- 1) ^ {i + j} E_ {2N-j + 1,2N-i + 1}.}}$

Kvantový determinant je centrem Yangian.

Aplikace

Teorie klasického znázornění

G.I. Olshansky a I.Cherednik zjistili, že Yangian z gl_N úzce souvisí s rozvětvovacími vlastnostmi neredukovatelných konečněrozměrných reprezentací obecných lineárních algeber. Zejména klasická konstrukce základny Gelfand-Tsetlin v prostoru takového zobrazení má přirozený výklad v jazyce Yangians, který studovali M. Nazarov a V.Tarasov. Olshansky, Nazarov a Molev později objevil zevšeobecnění této teorie na jiné klasické Lieovy algebry, na základě zkrouceného Yangian.

Fyzika

Yangian se jeví jako skupina symetrie v různých modelech fyziky.^{[proč? ]}

Yangian se jeví jako skupina symetrie jednorozměrných přesně řešitelných modelů, jako je točit řetězy, Hubbardův model a v modelech jednorozměrného relativistická kvantová teorie pole.

Nejslavnější výskyt je v rovině supersymetrická teorie Yang – Mills ve čtyřech rozměrech, kde se jangovské struktury objevují na úrovni symetrií operátorů,^[1][2] a amplituda rozptylu jak objevili Drummond, Henn a Plefka.

Teorie reprezentace

Neredukovatelné konečně-dimenzionální reprezentace Yangianů byly parametrizovány Drinfeldem podobným způsobem jako teorie nejvyšší váhy v teorii reprezentace poloimplikovaných Lieových algeber. Role nejvyšší váha hraje konečná sada Drinfeldovy polynomy. Drinfeld také objevil zobecnění klasiky Schur – Weylova dualita mezi reprezentacemi obecných lineárních a symetrické skupiny který zahrnuje Yangian z sl_N a zdegenerovaný afinní Hecke algebra (odstupňovaná Heckeova algebra typu A, v George Lusztig terminologie).

Zastoupení Yangians byly rozsáhle studovány, ale teorie je stále v aktivním vývoji.

Viz také

• Kvantová afinní algebra

Poznámky

Reference

• Chari, Vyjayanthi; Andrew Pressley (1994). Průvodce kvantovými skupinami. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  0-521-55884-0.
• Drinfeld, Vladimir Gershonovich (1985). Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера [Hopfovy algebry a kvantová Yang – Baxterova rovnice]. Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku). 283 (5): 1060–1064.
• Drinfeld, V. G. (1987). „Nová realizace Yangianů a kvantových afinních algeber“. Doklady Akademii Nauk SSSR (v Rusku). 296 (1): 13–17. Přeloženo v Sovětská matematika - Doklady. 36 (2): 212–216. 1988. Chybějící nebo prázdný | název = (Pomoc)
• Drinfeld, V. G. (1986). Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы [Degenerované afinní Hecke algebry a Yangians]. Funktsional'nyi Analiz I Ego Prilozheniya (v Rusku). 20 (1): 69–70. PAN  0831053. Zbl  0599.20049. Přeloženo v Drinfeld, V. G. (1986). "Degenerovat afinní hecke algebry a Yangians". Funkční analýza a její aplikace. 20 (1): 58–60. doi:10.1007 / BF01077318.
• Molev, Alexander Ivanovič (2007). Yangians and Classical Lie Algebras. Matematické průzkumy a monografie. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-4374-1.
• Bernard, Denis (1993). "Úvod do jangské symetrie". Řada NATO ASI. 310 (5): 39–52. arXiv:hep-th / 9211133. doi:10.1007/978-1-4899-1516-0_4. ISBN  978-1-4899-1518-4.
• MacKay, Niall (2005). „Úvod do Yangianské symetrie v teorii integrovatelného pole“. Mezinárodní žurnál moderní fyziky A. 20 (30): 7189–7217. arXiv:hep-th / 0409183. Bibcode:2005IJMPA..20.7189M. doi:10,1142 / s0217751x05022317.
• Drummond, James; Henn, Johannes; Plefka, Jan (2009). „Jangovská symetrie rozptylových amplitud v N = 4 super teorie Yang-Mills“. Journal of High Energy Physics. 2009 (5): 046. arXiv:0902.2987. Bibcode:2009JHEP ... 05..046D. doi:10.1088/1126-6708/2009/05/046.