Cliffordova teorie - Clifford theory

V matematice Cliffordova teorie, představil Alfred H. Clifford (1937) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFAlfred_H._Clifford1937 (Pomoc), popisuje vztah mezi reprezentacemi skupiny a reprezentacemi normální podskupiny.

Alfred H. Clifford

Alfred H. Clifford prokázal následující výsledek na omezení konečně-dimenzionálních neredukovatelných reprezentací ze skupiny G do a normální podskupina N konečný index:

Cliffordova věta

Teorém. Nechť π: G → GL (n,K.) být neredukovatelným zastoupením K. A pole. Pak omezení π na N se rozpadá na přímý součet neredukovatelných reprezentací N stejných rozměrů. Tyto neredukovatelné reprezentace N ležet na jedné oběžné dráze pro akci G konjugací na třídách ekvivalence neredukovatelných reprezentací N. Zejména počet párových neizomorfních součtů není větší než index N v G.

Cliffordova věta poskytuje informace o omezení komplexního neredukovatelného charakteru konečné skupiny G do normální podskupiny N. Pokud μ je složitý charakter N, pak pro pevný prvek G z G, další znak, μ^(G), z N mohou být konstruovány nastavením

${displaystyle mu ^ {(g)} (n) = mu (gng ^ {- 1})}$

pro všechny n v N. Znak μ^(G) je ireducibilní právě tehdy, když μ je. Cliffordova věta říká, že jestliže χ je komplexní neredukovatelný charakter G, a μ je neredukovatelný charakter N s

${displaystyle langle chi _ {N}, mu úhel ekv. 0,}$ pak

${displaystyle chi _ {N} = eleft (sum _ {i = 1} ^ {t} mu ^ {(g_ {i})} ight),}$

kde E a t jsou kladná celá čísla a každé G_i je prvek G. Celá čísla E a t oba rozdělují index [G:N]. Celé číslo t je index podskupiny G, obsahující N, známý jako setrvačná podskupina μ. Tohle je

${displaystyle {gin G: mu ^ {(g)} = mu}}$

a je často označován

${displaystyle I_ {G} (mu).}$

Elementy G_i lze považovat za zástupce všech správných kosetů podskupiny Já_G(μ) v G.

Ve skutečnosti celé číslo E rozdělí index

${displaystyle [I_ {G} (mu): N],}$

ačkoli důkaz této skutečnosti vyžaduje určité použití Schur teorie projektivní reprezentace.

Důkaz o Cliffordově teorému

Důkaz Cliffordovy věty je nejlépe vysvětlit z hlediska modulů (a verze s teoretickou částí modulu funguje pro neredukovatelné modulární reprezentace ). Nechat F být pole, PROTI být neredukovatelný F[G]-modul, PROTI_N být jeho omezení na N a U být neredukovatelný F[N] - submodul PROTI_N. Pro každého G v G, U.G je neredukovatelná F[N] - submodul PROTI_N, a ${displaystyle sum _ {gin G} U.g}$ je F[G] - submodul PROTI, tak to musí být všechno PROTI ireducibilitou. Nyní PROTI_N je vyjádřen jako součet neredukovatelných submodulů a tento výraz může být upřesněn na přímý součet. Důkaz znakově-teoretického vyjádření věty lze nyní v případě doplnit F = C. Nechť χ je znak G poskytované PROTI a μ je znak N poskytované U. Pro každého G v G, C[N] -podmodul U.G poskytuje znak μ^(G) a ${displaystyle langle chi _ {N}, mu ^ {(g)} angle = langle chi _ {N} ^ {(g)}, mu ^ {(g)} úhel = langle chi _ {N}, mu úhel}$. Příslušné rovnosti následují, protože χ je třídní funkce G a N je normální podskupina. Celé číslo E objevující se ve větě věty je tato společná multiplicita.

Důsledek Cliffordovy věty

Důsledkem Cliffordovy věty, která se často využívá, je to, že ireducibilní znak χ, který se objevuje ve větě, je indukován z neredukovatelného charakteru setrvačné podskupiny Já_G(μ). Pokud je například neredukovatelný znak χ primitivní (to znamená, že χ není indukováno z žádné správné podskupiny G), pak G = Já_G(μ) a χ_N = Eμ. Případ, kdy se tato vlastnost primitivních znaků používá obzvláště často, je případ N je Abelian a χ je věřící (to znamená, že jeho jádro obsahuje pouze prvek identity). V takovém případě je μ lineární, N je reprezentován skalárními maticemi v libovolném vyjádření poskytujícím znak χ a N je tedy obsažena v centrum z G. Například pokud G je symetrická skupina S₄, pak G má věrný komplexní neredukovatelný charakter χ stupně 3. Existuje abelianská normální podskupina N řádu 4 (Klein 4-subgroup), který není obsažen ve středu G. Proto χ je indukováno ze znaku správné podskupiny G obsahující N. Jedinou možností je, že χ je indukován z lineárního charakteru Sylow 2- podskupina G.

Další vývoj

Cliffordova věta vedla k samostatnému odvětví teorie reprezentace, nyní známé jako Cliffordova teorie. To je zvláště důležité pro teorii reprezentace konečných řešitelných skupin, kde se obvykle vyskytují normální podskupiny. U obecnějších konečných skupin Cliffordova teorie často umožňuje redukci teoreticko-reprezentativních otázek na otázky o skupinách, které jsou blízké (ve smyslu, který lze zpřesnit) jednoduchosti.

George Mackey (1976) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFGeorge_Mackey1976 (Pomoc) našel přesnější verzi tohoto výsledku pro omezení neredukovatelného unitární reprezentace z místně kompaktní skupiny do uzavřených normálních podskupin v tzv. „Mackeyově stroji“ nebo „Mackeyově normální analýze podskupin“.

Reference

• Clifford, A. H. (1937), „Reprezentace indukované v neměnné podskupině“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 38 (3): 533–550, doi:10.2307/1968599, JSTOR  1968599, PMC  1076873, PMID  16588132
• Mackey, George W. (1976), Teorie reprezentací unitárních skupinPřednášky z matematiky v Chicagu, ISBN  0-226-50051-9