Redukční dvojice - Reductive dual pair
V matematické oblasti teorie reprezentace, a redukční dvojice je pár podskupiny (G, G′) Z izometrická skupina Sp (Ž) a symplektický vektorový prostor Ž, takový, že G je centralizátor z G′ V Sp (Ž) a naopak a tyto skupiny jednají reduktivně na Ž. O něco volněji se mluví o dvojici, kdykoli jsou dvě skupiny vzájemnými centralizátory ve větší skupině, která je často obecná lineární skupina. Koncept představil Roger Howe v Howe (1979). Jeho silné vazby s Teorie klasické invariantnosti jsou diskutovány v Howe (1989a).
Příklady
- Plná symplektická skupina G = Sp (Ž) a skupina dvou prvků G′, centrum Sp (Ž), tvoří redukční dvojici. Vlastnost double centralizer je zřejmá ze způsobu, jakým byly tyto skupiny definovány: centralizátor skupiny G v G je jeho středem a centralizátorem středu jakékoli skupiny je skupina sama. Skupina G′, Sestává z transformace identity a jejího negativu a lze ji interpretovat jako ortogonální skupinu jednorozměrného vektorového prostoru. Z následného vývoje teorie vyplývá, že tato dvojice je první instancí obecné rodiny dvojic dvojic skládajících se z symplektické skupiny a ortogonální skupiny, které jsou známé jako neredukovatelné redukční dvojice typu I..
- Nechat X být n-dimenzionální vektorový prostor, Y být jeho dvojí, a Ž být přímý součet z X a Y. Pak Ž může být vytvořen do symlektického vektorového prostoru přirozeným způsobem, takže (X, Y) je jeho lagrangická polarizace. Skupina G je obecná lineární skupina GL (X), který působí tautologicky na X a proti sobě Y. Centralizátor G v symplektické skupině je skupina G′, Skládající se z lineárních operátorů na Ž že jednat X vynásobením nenulovým skalárem λ a dále Y skalárním násobením jeho inverzní λ−1. Pak centralizátor G', je G, tyto dvě skupiny jednají zcela redukovatelně Ž, a tedy tvoří redukční dvojici. Skupina G′, Lze interpretovat jako obecnou lineární skupinu jednorozměrného vektorového prostoru. Tento pár je členem rodiny dvojic dvojic skládajících se z obecných lineárních skupin známých jako neredukovatelné redukční dvojice typu II.
Teorie struktury a klasifikace
Pojem redukční dvojice má smysl pro všechny pole F, o kterém předpokládáme, že bude po celou dobu opraven. Tím pádem Ž je symplektik vektorový prostor přes F.
Li Ž1 a Ž2 jsou dva symplektické vektorové prostory a (G1, G′1), (G2, G′2) jsou dva redukční duální páry v odpovídajících symplektických skupinách, pak můžeme vytvořit nový symplektický vektorový prostor Ž = Ž1 ⊕ Ž2 a pár skupin G = G1 × G2, G′ = G′1 × G′,2 jednající na Ž podle izometrií. Ukázalo se, že (G, G′) Je redukční duální pár. Redukční dvojice se nazývá redukovatelný pokud to lze získat tímto způsobem od menších skupin, a - neredukovatelné v opačném případě. Redukovatelný pár lze rozložit na přímý produkt neredukovatelných a pro mnoho účelů stačí omezit pozornost člověka na neredukovatelný případ.
Několik tříd redukčních dvojic se objevilo dříve v práci André Weil. Roger Howe prokázal teorém klasifikace, který uvádí, že v neredukovatelném případě tyto páry vyčerpají všechny možnosti. Neredukovatelný redukční duální pár (G, G′) V Sp (Ž) se říká, že je z typ II pokud existuje lagrangický podprostor X v Ž to je neměnné pod oběma G a G′ A typ I. v opačném případě.
Archetypický neredukovatelný redukční dvojice typu II se skládá z dvojice obecné lineární skupiny a vzniká následovně. Nechat U a PROTI být dva vektorové prostory F, X = U ⊗F PROTI být jejich tenzorovým produktem a Y = HomF(X, F) své dvojí. Pak přímý součet Ž = X ⊕ Y může být obdařen symplektickou formou takovou X a Y jsou lagrangické podprostory a omezení symplektické formy na X × Y ⊂ Ž × Ž se shoduje s párováním mezi vektorovým prostorem X a jeho dvojí Y. Li G = GL (U) a G′ = GL (PROTI), pak obě tyto skupiny působí lineárně X a Y, akce zachovávají symlektickou formu Ž, a (G, G′) Je neredukovatelný redukční duální pár. Všimněte si, že X je neměnný lagrangický podprostor, proto je tento dvojitý pár typu II.
Archetypický neredukovatelný redukční dvojice typu I se skládá z ortogonální skupina a symplektická skupina a je konstruována analogicky. Nechat U být ortogonální vektorový prostor a PROTI být symplektický vektorový prostor F, a Ž = U ⊗F PROTI být jejich tenzorovým produktem. Klíčovým postřehem je to Ž je symplektický vektorový prostor, jehož bilineární forma se získá z produktu forem na tenzorových faktorech. Navíc pokud G = O (U) a G′ = Sp (PROTI) jsou izometrické skupiny z U a PROTI, pak jednají Ž přirozeným způsobem jsou tyto akce symplektické a (G, G′) Je neredukovatelný redukční duální pár typu I.
Tyto dvě konstrukce produkují všechny neredukovatelné redukční dvojice přes algebraicky uzavřené pole F, například pole C z komplexní čísla. Obecně lze vektorový prostor nahradit F vektorovými prostory nad a divize algebra D přes F, a postupovat podobně jako výše při konstrukci neredukovatelného redukčního dvojice typu II. U typu I začíná jedna s divizní algebrou D s involucí τ, a poustevnická forma na U, a šikmo-poustevnická forma na PROTI (oba nedegenerované) a tvoří svůj tenzorový produkt D, Ž = U ⊗D PROTI. Pak Ž je přirozeně obdařen strukturou symplektického vektorového prostoru F, izometrické skupiny U a PROTI jednat soucitně Ž a tvoří neredukovatelný reduktivní dvojici typu I. Roger Howe dokázal, že až do izomorfismu jakýkoli neredukovatelný dvojice vzniká tímto způsobem. Explicitní seznam pro případ F = R se objeví v Howe (1989b).
Viz také
- Howe korespondence mezi reprezentacemi prvků redukčního dvojice.
- Skupina Heisenberg
- Metaplektická skupina
Reference
- Howe, Roger E. (1979), "řada θ a invariantní teorie" (PDF), v Borel, Armand; Casselman, W. (eds.), Automorfní formy, reprezentace a funkce L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), část 1, Proc. Symposy. Pure Math., XXXIII, Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 275–285, ISBN 978-0-8218-1435-2, PAN 0546602
- Howe, Roger E. (1989a), „Poznámky ke klasické invariantní teorii“, Transakce Americké matematické společnostiAmerická matematická společnost, 313 (2): 539–570, doi:10.2307/2001418, JSTOR 2001418.
- Howe, Roger E. (1989b), „Transcending klasický invariantní teorie“, Journal of the American Mathematical SocietyAmerická matematická společnost, 2 (3): 535–552, doi:10.2307/1990942, JSTOR 1990942.
- Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Zastoupení a invarianty klasických skupin, Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2.