Principalizace (algebra) - Principalization (algebra) - Wikipedia

V matematické oblasti algebraická teorie čísel, pojem principalizace odkazuje na situaci, kdy vzhledem k rozšíření z algebraické číselné pole, někteří ideál (nebo obecněji zlomkový ideál ) z kruh celých čísel menšího pole není ředitel školy ale jeho rozšíření do kruhu celých čísel většího pole je. Jeho studie má původ v práci Ernst Kummer na ideální čísla od 40. let 18. století, kteří zejména dokázali, že pro každé pole algebraických čísel existuje pole rozšíření čísla tak, aby se všechny ideály prstence celých čísel základního pole (které lze vždy generovat nejvýše dvěma prvky) staly hlavním, když byly rozšířeny na větší pole. V roce 1897 David Hilbert domníval se, že maximální abelian unramified rozšíření základního pole, které se později nazývalo Hilbertovo pole třídy daného základního pole, je takové rozšíření. Tato domněnka, nyní známá jako hlavní ideální věta, bylo prokázáno Philipp Furtwängler v roce 1930 poté, co byl přeložen z teorie čísel na teorie skupin podle Emil Artin v roce 1929, který využil jeho obecný zákon o vzájemnosti zavést přeformulování. Protože tohoto dlouho požadovaného důkazu bylo dosaženo pomocí Artin převody z neabelské skupiny s odvozená délka dva, několik vyšetřovatelů se pokusilo dále využít teorii takových skupin k získání dalších informací o principalizaci v mezilehlých polích mezi základním polem a polem Hilbertovy třídy. První příspěvky v tomto směru jsou způsobeny Arnold Scholz a Olga Taussky v roce 1934, který vytvořil synonymum kapitulace pro principalizaci. Další nezávislý přístup k problému principalizace přes Galoisova kohomologie z skupiny jednotek je také kvůli Hilbertovi a vrací se do kapitoly cyklická rozšíření číselných polí prvočísla stupeň v jeho zpráva o čísle, který vrcholí slavným Věta 94.

Rozšíření tříd

Nechat ${ displaystyle K}$ být algebraické číselné pole zvané základní polea nechte ${ displaystyle L / K}$ být polním rozšířením konečného stupně. Nechat ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}, { mathcal {I}} _ {K}, { mathcal {P}} _ {K}}$ a ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}, { mathcal {I}} _ {L}, { mathcal {P}} _ {L}}$ označme kruh celých čísel, skupinu nenulových zlomkových ideálů a jeho podskupinu hlavních zlomkových ideálů polí ${ displaystyle K, L}$ resp. Pak mapa rozšíření dílčích ideálů

{ displaystyle { begin {cases} iota _ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} to { mathcal {I}} _ {L} { mathfrak {a} } mapsto { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} end {případy}}}

je injekční skupinový homomorfismus. Od té doby ${ displaystyle iota _ {L / K} ({ mathcal {P}} _ {K}) subseteq { mathcal {P}} _ {L}}$ , tato mapa indukuje homomorfismus rozšíření ideální třídní skupiny

{ displaystyle { begin {cases} j_ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} / { mathcal {P}} _ {K} to { mathcal {I}} _ { L} / { mathcal {P}} _ {L} { mathfrak {a}} { mathcal {P}} _ {K} mapsto ({ mathfrak {a}} { mathcal {O} } _ {L}) { mathcal {P}} _ {L} end {cases}}}

Pokud existuje non-hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {a}} v { mathcal {I}} _ {K}}$ (tj. ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {P}} _ {K} neq { mathcal {P}} _ {K}}$ ) jehož rozšíření je ideální v ${ displaystyle L}$ je jistina (tj. ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L}}$ pro některé ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {L}}$ a ${ displaystyle ({ mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {P}} _ {L} = (A { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {P}} _ {L} = { mathcal {P}} _ {L}}$ ), pak mluvíme o principalizace nebo kapitulace v ${ displaystyle L / K}$ . V tomto případě ideální ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ a jeho třída ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {P}} _ {K}}$ jsou prý principalizovat nebo kapitulovat v ${ displaystyle L}$ . Tento jev nejpohodlněji popisuje principalizace jádra nebo kapitulační jádro, toto je jádro ${ displaystyle ker (j_ {L / K})}$ homomorfismu rozšíření třídy.

Obecněji řečeno ${ displaystyle { mathfrak {m}} = { mathfrak {m}} _ {0} { mathfrak {m}} _ { infty}}$ být modul v ${ displaystyle K}$ , kde ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {0}}$ je nenulový ideál v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ { infty}}$ je formálním produktem párově odlišného skutečné nekonečné prvočísla z ${ displaystyle K}$ . Pak

{ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {m}}} = langle alpha { mathcal {O}} _ {K} | alpha equiv 1 { bmod { mathfrak {m}}} rangle leq { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}}),}

je paprsek modulo ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ , kde ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}}) = { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {0})}$ je skupina nenulových zlomkových ideálů v ${ displaystyle K}$ relativně prime to ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {0}}$ a stav ${ displaystyle alpha equiv 1 { bmod { mathfrak {m}}}}$ prostředek ${ displaystyle alpha equiv 1 { bmod {{ mathfrak {m}} _ {0}}}}$ a ${ displaystyle v ( alpha)> 0}$ za každou skutečnou nekonečnou prime ${ displaystyle v}$ dělení ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ { infty}.}$ Nechat ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {m}}} leq { mathcal {H}} leq { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m }}),}$ pak skupina ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}}) / { mathcal {H}}}$ se nazývá a zobecněná ideální skupina skupin pro ${ displaystyle { mathfrak {m}}.}$ Li ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {K}) / { mathcal {H}} _ {K}}$ a ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {m}} _ {L}) / { mathcal {H}} _ {L}}$ jsou zobecněné ideální skupiny tříd tak, že ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} v { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {m}} _ {L})}$ pro každého ${ displaystyle { mathfrak {a}} in { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {K})}$ a ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} v { mathcal {H}} _ {L}}$ pro každého ${ displaystyle { mathfrak {a}} v { mathcal {H}} _ {K}}$ , pak ${ displaystyle iota _ {L / K}}$ indukuje rozšiřující homomorfismus zobecněných skupin ideálních tříd:

{ displaystyle { begin {cases} j_ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {K}) / { mathcal {H}} _ { K} to { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {m}} _ {L}) / { mathcal {H}} _ {L} { mathfrak {a}} { mathcal {H}} _ {K} mapsto ({ mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {H}} _ {L} end {případy}}}

Galois rozšíření číselných polí

Nechat ${ displaystyle F / K}$ být Galoisovo rozšíření algebraických číselných polí s Galoisova skupina ${ displaystyle G = mathrm {Gal} (F / K)}$ a nechte ${ displaystyle mathbb {P} _ {K}, mathbb {P} _ {F}}$ označuje množinu hlavních ideálů polí ${ displaystyle K, F}$ resp. Předpokládejme to ${ displaystyle { mathfrak {p}} in mathbb {P} _ {K}}$ je hlavní ideál z ${ displaystyle K}$ který nerozděluje relativní diskriminující ${ displaystyle { mathfrak {d}} = { mathfrak {d}} (F / K)}$ , a proto je unramified v ${ displaystyle F}$ a nechte ${ displaystyle { mathfrak {P}} in mathbb {P} _ {F}}$ být hlavním ideálem ${ displaystyle F}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ .

Frobenius automorfismus

Existuje jedinečný automorfismus ${ displaystyle sigma v G}$ takhle ${ displaystyle A ^ { mathrm {N} ({ mathfrak {p}})} equiv sigma (A) { bmod { mathfrak {P}}}}$ pro všechna algebraická celá čísla ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {F}}$ , kde ${ displaystyle mathrm {N} ({ mathfrak {p}})}$ je norma z ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ . Mapa ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]: = sigma}$ se nazývá Frobenius automorfismus z ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ . Generuje rozkladná skupina ${ displaystyle D _ { mathfrak {P}} = { sigma v G | sigma ({ mathfrak {P}}) = { mathfrak {P}} }}$ z ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ a jeho pořadí se rovná stupeň setrvačnosti ${ displaystyle f: = f ({ mathfrak {P}} | { mathfrak {p}}) = [{ mathcal {O}} _ {F} / { mathfrak {P}}: { mathcal { O}} _ {K} / { mathfrak {p}}]}$ z ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ přes ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ . (Li ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je tedy rozvětvený ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ je pouze definován a generuje ${ displaystyle D _ { mathfrak {P}}}$ modulo the setrvačná podskupina

{ displaystyle I _ { mathfrak {P}} = { sigma v G | sigma (A) equiv A { bmod { mathfrak {P}}} { text {pro všechny}} A v { mathcal {O}} _ {F} } = ker (D _ { mathfrak {P}} to mathrm {Gal} ({ mathcal {O}} _ {F} / { mathfrak {P }} | { mathcal {O}} _ {K} / { mathfrak {p}}))}

jehož pořadí je index rozvětvení ${ displaystyle e ({ mathfrak {P}} | { mathfrak {p}})}$ z ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ přes ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ ). Jakýkoli jiný hlavní ideál ${ displaystyle F}$ dělení ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je ve formě ${ displaystyle tau ({ mathfrak {P}})}$ s nějakým ${ displaystyle tau v G}$ . Jeho Frobenius automorfismus je dán

{ displaystyle left [{ frac {F / K} { tau ({ mathfrak {P}})}} right] = tau left [{ frac {F / K} { mathfrak {P }}} doprava] tau ^ {- 1},}

od té doby

{ displaystyle tau (A) ^ { mathrm {N} ({ mathfrak {p}})} equiv ( tau sigma tau ^ {- 1}) ( tau (A)) { bmod { tau ({ mathfrak {P}})}}}

pro všechny ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {F}}$ , a tedy jeho rozkladná skupina ${ displaystyle D _ { tau ({ mathfrak {P}})} = tau D _ { mathfrak {P}} tau ^ {- 1}}$ je konjugován s ${ displaystyle D _ { mathfrak {P}}}$ . V této obecné situaci Artin symbol je mapování

{ displaystyle { mathfrak {p}} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right): = left. left { tau left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} doprava] tau ^ {- 1} doprava | tau v G doprava }}

který sdružuje celek třída konjugace automorfismů k jakémukoli unramified hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {p}} nmid { mathfrak {d}}}$ a máme ${ textstyle left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) = 1}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ úplně se rozdělí v ${ displaystyle F}$ .

Faktorizace hlavních ideálů

Když ${ displaystyle K subseteq L subseteq F}$ je mezilehlé pole s relativní Galoisovou skupinou ${ displaystyle H = mathrm {Gal} (F / L) leq G}$ , přesnější výroky o homomorfismech ${ displaystyle iota _ {L / K}}$ a ${ displaystyle j_ {L / K}}$ jsou možné, protože můžeme sestrojit faktorizaci ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ (kde ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ není unramified v ${ displaystyle F}$ jak je uvedeno výše) v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ z jeho faktorizace v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {F}}$ jak následuje.^[1]^[2] Připravte ideály ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {F}}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ jsou v ${ displaystyle G}$ -ekvivariantní bijekce s ${ displaystyle G}$ -soubor levých kosetů ${ displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$ , kde ${ displaystyle tau ({ mathfrak {P}})}$ odpovídá cosetu ${ displaystyle tau D _ { mathfrak {P}}}$ . Pro každý hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ skupina Galois ${ displaystyle H}$ jedná tranzitivně na množině hlavních ideálů ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {F}}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ , tedy takové ideály ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ jsou obklíčeni oběžnými dráhami akce ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$ násobením vlevo. Takové oběžné dráhy jsou zase v bijekci s dvojité kosety ${ displaystyle H zpětné lomítko G / D _ { mathfrak {P}}}$ . Nechat ${ displaystyle ( tau _ {1}, ldots, tau _ {g})}$ být úplným systémem zástupců těchto dvojitých kosetů ${ displaystyle G = { dot { cup}} _ {i = 1} ^ {g} , H tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}}$ . Kromě toho ${ displaystyle H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}}$ označují oběžnou dráhu cosetu ${ displaystyle tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}}$ v akci ${ displaystyle H}$ na množině levých kosetů ${ displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$ násobením doleva a nechat ${ displaystyle H tau _ {i} cdot D _ { mathfrak {P}}}$ označují oběžnou dráhu cosetu ${ displaystyle H tau _ {i}}$ v akci ${ displaystyle D _ { mathfrak {P}}}$ na množině správných kosetů ${ displaystyle H zpětné lomítko G}$ správným násobením. Pak ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ faktorizuje v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ tak jako ${ textstyle { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ {g} { mathfrak {q}} _ {i}}$ , kde ${ displaystyle { mathfrak {q}} _ {i} in mathbb {P} _ {L}}$ pro ${ displaystyle 1 leq i leq g}$ jsou hlavní ideály, které leží ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ v ${ displaystyle L}$ uspokojující ${ textstyle { mathfrak {q}} _ {i} { mathcal {O}} _ {F} = prod _ { varrho} varrho ({ mathfrak {P}})}$ s produktem běžícím nad jakýmkoli systémem zástupců ${ displaystyle H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}}$ .

My máme

{ displaystyle # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}) cdot #D _ { mathfrak {P}} = # H tau _ {i} D _ { mathfrak {P}} = # (H tau _ {i} cdot D _ { mathfrak {P}}) cdot #H.}

Nechat ${ displaystyle D_ {i}}$ být rozkladnou skupinou ${ displaystyle tau _ {i} ({ mathfrak {P}})}$ přes ${ displaystyle L}$ . Pak ${ displaystyle D_ {i} = H cap D _ { tau _ {i} ({ mathfrak {P}})}}$ je stabilizátor ${ displaystyle tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}}$ v akci ${ displaystyle H}$ na ${ displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$ , tak podle věta o stabilizátoru oběžné dráhy my máme ${ displaystyle #D_ {i} = # H / # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}})}$ . Na druhou stranu je ${ displaystyle #D_ {i} = f ( tau _ {i} ({ mathfrak {P}}) | { mathfrak {q}} _ {i})}$ , který společně dává

{ displaystyle f ({ mathfrak {q}} _ {i} | { mathfrak {p}}) = { frac {f ( tau _ {i} ({ mathfrak {P}}) | { mathfrak {p}})} {f ( tau _ {i} ({ mathfrak {P}}) | { mathfrak {q}} _ {i})}}} = { frac {f ({ mathfrak {P}} | { mathfrak {p}})} { # D_ {i}}} = { frac { #D _ { mathfrak {P}}} { # H / # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}})}}} = { frac { # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}) cdot #D _ { mathfrak {P}}} { # H}} = { frac { #H tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}} { # H}} = # (H tau _ { i} cdot D _ { mathfrak {P}}).}

Jinými slovy stupeň setrvačnosti ${ displaystyle f_ {i}: = f ({ mathfrak {q}} _ {i} | { mathfrak {p}})}$ se rovná velikosti oběžné dráhy cosetu ${ displaystyle H tau _ {i}}$ v akci ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ na množině správných kosetů ${ displaystyle H zpětné lomítko G}$ správným násobením. Tím, že vezmeme inverze, to se rovná velikosti oběžné dráhy ${ displaystyle D _ { mathfrak {P}} cdot tau _ {i} ^ {- 1} H}$ coset ${ displaystyle tau _ {i} ^ {- 1} H}$ v akci ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ na množině levých kosetů ${ displaystyle G / H}$ násobením vlevo. Také hlavní ideály ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ odpovídají dráhám této akce.

V důsledku toho je ideální vložení dáno ${ textstyle iota _ {L / K} ({ mathfrak {p}}) = { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ { g} { mathfrak {q}} _ {i}}$ a rozšíření třídy o

{ displaystyle j_ {L / K} ({ mathfrak {p}} { mathcal {H}} _ {K}) = ({ mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {H}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ {g} { mathfrak {q}} _ {i} { mathcal {H}} _ {L}.}

Artinův zákon o vzájemnosti

Nyní dále předpokládejme ${ displaystyle F / K}$ je abelian rozšíření, to znamená, ${ displaystyle G}$ je abelianská skupina. Poté všechny konjugované skupiny rozkladu hlavních ideálů ${ displaystyle F}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ shodovat se tedy ${ displaystyle D _ { mathfrak {p}}: = D _ { tau ({ mathfrak {P}})}}$ pro každého ${ displaystyle tau v G}$ a symbol Artin ${ textstyle left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) = left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ se rovná Frobeniovi automorfismu jakéhokoli ${ displaystyle { mathfrak {P}} střední { mathfrak {p}}}$ a ${ textstyle A ^ { mathrm {N} ({ mathfrak {p}})} equiv left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) (A) { bmod { mathfrak {P}}}}$ pro všechny ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {F}}$ a každý ${ displaystyle { mathfrak {P}} střední { mathfrak {p}}}$ .

Podle teorie pole,^[3]abelian rozšíření ${ displaystyle F / K}$ jednoznačně odpovídá střední skupině ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {f}}} leq { mathcal {H}} leq { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f }})}$ mezi paprskem modulo ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ z ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}})}$ , kde ${ displaystyle { mathfrak {f}} = { mathfrak {f}} _ {0} { mathfrak {f}} _ { infty} = { mathfrak {f}} (F / K)}$ označuje příbuzného dirigent ( ${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {0}}$ je dělitelný stejnými prvotřídními ideály jako ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ ). Symbol Artin

{ displaystyle { begin {cases} mathbb {P} _ {K} ({ mathfrak {f}}) na G { mathfrak {p}} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} vpravo) end {případy}}}

který spojuje Frobeniovu automorfismus z ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ ke každému hlavnímu ideálu ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ z ${ displaystyle K}$ který je unramified v ${ displaystyle F}$ , lze rozšířit multiplikativitou na surjektivní homomorfismus

{ displaystyle { begin {cases} { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}}) to G { mathfrak {a}} = prod { mathfrak {p} } ^ {v _ { mathfrak {p}} ({ mathfrak {a}})} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {a}}} right): = prod left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) ^ {v _ { mathfrak {p}} ({ mathfrak {a}})} end {cases}}}

s jádrem ${ displaystyle { mathcal {H}} = { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {f}}} cdot mathrm {N} _ {F / K} ({ mathcal {I} } _ {F} ({ mathfrak {f}}))}$ (kde ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {F} ({ mathfrak {f}})}$ prostředek ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {F} ({ mathfrak {f}} _ {0} { mathcal {O}} _ {F})}$ ), volala Artin mapa, který indukuje izomorfismus

{ displaystyle { begin {cases} { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}}) / { mathcal {H}} až G = mathrm {Gal} (F / K ) { mathfrak {a}} { mathcal {H}} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {a}}} right) end {cases}}}

zobecněné ideální třídní skupiny ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}}) / { mathcal {H}}}$ do skupiny Galois ${ displaystyle G}$ . Tento explicitní izomorfismus se nazývá Artin zákon o vzájemnosti nebo obecný zákon o vzájemnosti.^[4]

Obrázek 1: Komutativní schéma spojující rozšíření třídy s převodem Artin.

Skupinová teoretická formulace problému

Tento zákon o vzájemnosti umožňoval Artinovi překládat obecný principalizační problém pro číselná pole ${ displaystyle K subseteq L subseteq F}$ na základě následujícího scénáře od teorie čísel po teorii skupin. Nechat ${ displaystyle F / K}$ být Galoisovým rozšířením algebraických číselných polí se skupinou automorfismu ${ displaystyle G = mathrm {Gal} (F / K)}$ . Předpokládat, že ${ displaystyle K subseteq L subseteq F}$ je mezilehlé pole s relativní skupinou ${ displaystyle H = mathrm {Gal} (F / L) leq G}$ a nechte ${ displaystyle K '/ K, L' / L}$ být maximální abelianská subextension of ${ displaystyle K, L}$ respektive uvnitř ${ displaystyle F}$ . Pak jsou odpovídající relativní skupiny podskupiny komutátoru ${ displaystyle G '= mathrm {Gal} (F / K') leq G}$ , resp. ${ displaystyle H '= mathrm {Gal} (F / L') leq H}$ . Podle teorie třídního pole existují mezilehlé skupiny ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {m}} _ {K}} leq { mathcal {H}} _ {K} leq { mathcal {I}} _ { K} ({ mathfrak {d}})}$ a ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {L, { mathfrak {m}} _ {L}} leq { mathcal {H}} _ {L} leq { mathcal {I}} _ { L} ({ mathfrak {d}})}$ tak, že Artinovy mapy vytvářejí izomorfismy

{ displaystyle { begin {aligned} & left ({ frac {K '/ K} { cdot}} right): { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}} ) / { mathcal {H}} _ {K} to mathrm {Gal} (K '/ K) simeq G / G' & left ({ frac {L '/ L} { cdot }} right): { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}}) / { mathcal {H}} _ {L} to mathrm {Gal} (L '/ L ) simeq H / H ' end {zarovnáno}}}

Tady ${ displaystyle { mathfrak {d}} = { mathfrak {d}} (F / K), { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}})}$ prostředek ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}} { mathcal {O}} _ {L})}$ a ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K}, { mathfrak {m}} _ {L}}$ jsou některé moduly dělitelné ${ displaystyle { mathfrak {f}} (K '/ K), { mathfrak {f}} (L' / L)}$ respektive a rozdělením všech prvočísel ${ displaystyle { mathfrak {d}}, { mathfrak {d}} { mathcal {O}} _ {L}}$ resp.

Ideální homomorfismus rozšíření ${ displaystyle iota _ {L / K}: , { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}}) do { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}})}$ , indukovaný přenos Artinu ${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H}}$ a tyto Artinovy mapy jsou spojeny vzorcem

{ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H} circ left ({ frac {K '/ K} { cdot}} right) = left ({ frac {L' / L } { cdot}} vpravo) circ iota _ {L / K}.}

Od té doby ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}})}$ je generován hlavními ideály ${ displaystyle K}$ který se nedělí ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ , stačí ověřit tuto rovnost na těchto generátorech. Proto předpokládejme, že ${ displaystyle { mathfrak {p}} in mathbb {P} _ {K}}$ je hlavním ideálem ${ displaystyle K}$ který se nedělí ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ a nechte ${ displaystyle { mathfrak {P}} in mathbb {P} _ {F}}$ být hlavním ideálem ${ displaystyle F}$ ležet ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ . Na jedné straně ideální rozšíření homomorfismu ${ displaystyle iota _ {L / K}}$ mapuje ideál ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ základního pole ${ displaystyle K}$ k rozšíření ideálu ${ displaystyle iota _ {L / K} ({ mathfrak {p}}) = { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ { g} { mathfrak {q}} _ {i}}$ v oboru ${ displaystyle L}$ a mapa Artin ${ textstyle left ({ frac {L '/ L} { cdot}} right)}$ pole ${ displaystyle L}$ mapuje tento produkt hlavních ideálů na produkt konjugátů Frobeniových automorfismů

{ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {g} left ({ frac {L '/ L} {{ mathfrak {q}} _ {i}}} right) = prod _ {i = 1} ^ {g} left [{ frac {F / L} { tau _ {i} ({ mathfrak {P}})}} right] cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {g} tau _ {i} left [{ frac {F / L} { mathfrak {P}}} right] tau _ {i} ^ {- 1} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {g} tau _ {i} left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] ^ {f_ {i}} tau _ {i} ^ {- 1} cdot H ',}

kde se zde používá dvojitý cosetový rozklad a jeho zástupci, je stejný jako v předposlední části. Na druhou stranu mapa Artin ${ textstyle left ({ frac {K '/ K} { cdot}} right)}$ základního pole ${ displaystyle K}$ mapuje ideál ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ k Frobenius automorfismu ${ textstyle left ({ frac {K '/ K} { mathfrak {p}}} right) = left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] cdot G '}$ . The ${ displaystyle g}$ -tuple ${ displaystyle ( tau _ {1} ^ {- 1}, ldots, tau _ {g} ^ {- 1})}$ je systém zástupců dvojitých kosetů ${ displaystyle D _ { mathfrak {P}} zpětné lomítko G / H}$ , které odpovídají oběžným dráhám akce ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ na množině levých kosetů ${ displaystyle G / H}$ násobením vlevo a ${ displaystyle f_ {i} = # (H tau _ {i} cdot D _ { mathfrak {P}}) = # (D _ { mathfrak {P}} cdot tau _ {i} ^ {-1} H)}$ se rovná velikosti oběžné dráhy cosetu ${ displaystyle tau _ {i} ^ {- 1} H}$ v této akci. Proto indukované mapy přenosu Artinu ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] cdot G '}$ k produktu

{ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H} left ( left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] cdot G ' right) = T_ {G, H} left ( left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] right) = prod _ {i = 1} ^ {g} ( tau _ {i} ^ {- 1}) ^ {- 1} left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] ^ {f_ {i}} tau _ {i} ^ {-1} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {g} tau _ {i} left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] ^ {f_ {i}} tau _ {i} ^ {- 1} cdot H '.}

Tento produktový výraz byl původní formou Artinova přenosu homomorfismu, což odpovídá rozkladu permutační reprezentace do disjunktní cykly.^[5]

Protože jádra Artinových map ${ displaystyle left ({ tfrac {K '/ K} { cdot}} right)}$ a ${ displaystyle left ({ tfrac {L '/ L} { cdot}} right)}$ jsou ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {K}}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {L}}$ předchozí vzorec to znamená ${ displaystyle iota _ {L / K} ({ mathcal {H}} _ {K}) subseteq { mathcal {H}} _ {L}}$ . Z toho vyplývá, že existuje homomorfismus rozšíření třídy ${ displaystyle j_ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}}) / { mathcal {H}} _ {K} do { mathcal {I} } _ {L} ({ mathfrak {d}}) / { mathcal {H}} _ {L}}$ a to ${ displaystyle j_ {L / K}}$ a indukovaný přenos Artinu ${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H}}$ jsou spojeny komutativním diagramem na obrázku 1 prostřednictvím izomorfismů vyvolaných Artinovými mapami, to znamená, že máme rovnost dvou kompozit ${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H} circ left ({ tfrac {K '/ K} { cdot}} right) = left ({ tfrac {L' / L } { cdot}} vpravo) circ j_ {L / K}}$ .^[3]^[6]

Polní věž třídy

Komutativní diagram v předchozí části, který spojuje homomorfismus rozšíření třídy teoretických čísel ${ displaystyle j_ {L / K}}$ s teoretickým převodem skupiny Artin ${ displaystyle T_ {G, H}}$ , umožnil Furtwänglerovi dokázat hlavní ideální větu tím, že se specializoval na danou situaci ${ displaystyle L = F ^ {1} (K)}$ je (první) pole třídy Hilberta ${ displaystyle K}$ , to je maximální abelianské neramifikované rozšíření ${ displaystyle K}$ , a ${ displaystyle F = F ^ {2} (K)}$ je druhé pole třídy Hilbert z ${ displaystyle K}$ , to je maximum metabelian unramified rozšíření ${ displaystyle K}$ (a maximální abelianské neramifikované rozšíření ${ displaystyle F ^ {1} (K)}$ ). Pak ${ displaystyle K '= L, L' = F, { mathfrak {d}} = { mathcal {O}} _ {K}, { mathcal {H}} _ {K} = { mathcal {P }} _ {K}, { mathcal {H}} _ {L} = { mathcal {P}} _ {L}}$ a ${ displaystyle H = G '}$ je podskupina komutátoru ${ displaystyle G}$ . Přesněji, Furtwängler ukázal, že obecně Artin převod ${ displaystyle T_ {G, G '}}$ z konečné metabeliánské skupiny ${ displaystyle G}$ do odvozené podskupiny ${ displaystyle G '}$ je triviální homomorfismus. Ve skutečnosti to platí, i když ${ displaystyle G}$ není metabelian, protože můžeme nahradit metabelianský případ nahrazením ${ displaystyle G}$ s ${ displaystyle G / G '}}$ . Platí také pro poskytované nekonečné skupiny ${ displaystyle G}$ je definitivně generován a ${ displaystyle [G: G '] < infty}$ . Z toho vyplývá, že každý ideál ${ displaystyle K}$ sahá až k hlavnímu ideálu ${ displaystyle F ^ {1} (K)}$ .

Komutativní diagram však zahrnuje potenciál pro mnoho sofistikovanějších aplikací. V situaci, že ${ displaystyle p}$ je prvočíslo, ${ displaystyle F = F_ {p} ^ {2} (K)}$ je druhé pole třídy Hilbert p z ${ displaystyle K}$ , to je maximální metabeliánské neramifikované rozšíření ${ displaystyle K}$ stupně síla ${ displaystyle p, L}$ se mění v mezilehlém poli mezi ${ displaystyle K}$ a jeho první Hilbert třída p pole ${ displaystyle F_ {p} ^ {1} (K)}$ , a ${ displaystyle H = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / L) leq G = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / K)}$ odpovídajícím způsobem se mění v mezilehlých skupinách mezi ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle G '}$ , výpočet všech principalizačních jader ${ displaystyle ker (j_ {L / K})}$ a všechno skupiny p ${ displaystyle mathrm {Cl} _ {p} (L)}$ překládá do informací o jádrech ${ displaystyle ker (T_ {G, H})}$ a cíle ${ displaystyle H / H '}$ převodů Artin ${ displaystyle T_ {G, H}}$ a umožňuje přesnou specifikaci druhá skupina třídy p ${ displaystyle G = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / K)}$ z ${ displaystyle K}$ přes rozpoznávání vzorů, a často dokonce umožňuje vyvodit závěry o celku polní věž třídy p z ${ displaystyle K}$ , to je skupina Galois ${ displaystyle mathrm {Gal} (F_ {p} ^ { infty} (K) / K)}$ maximálního unramified pro-p rozšíření ${ displaystyle F_ {p} ^ { infty} (K)}$ z ${ displaystyle K}$ .

Tyto myšlenky jsou výslovně uvedeny v příspěvku z roku 1934 A. Scholze a O. Tausskyho.^[7] V těchto raných fázích rozpoznávání vzorů spočívalo ve specifikaci ničivé ideálynebo symbolické objednávkya Schreierovy vztahy metabelian p-skupiny a následně použití věty o jedinečnosti na rozšíření skupiny O. Schreier.^[8]V dnešní době používáme p- algoritmus generování skupiny M. F. Newmana^[9]a E. A. O'Brien^[10]pro konstrukci potomci stromů z p-skupiny a vyhledávací vzory, definované jádra a cíle Artinových přenosů, mezi vrcholy těchto stromů.

Galoisova kohomologie

V kapitole o cyklickém rozšiřování číselných polí hlavního stupně své číselné zprávy z roku 1897 D. Hilbert^[2]dokazuje řadu klíčových teorémů, které vyvrcholily teorémem 94, původním zárodkem teorie třídního pole. Dnes lze tyto věty považovat za začátek toho, čemu se dnes říká Galoisova kohomologie. Hilbert považuje konečné konečné rozšíření ${ displaystyle L / K}$ algebraických číselných polí s cyklickou Galoisovou skupinou ${ displaystyle G = mathrm {Gal} (L / K) = langle sigma rangle}$ generované automorfismem ${ displaystyle sigma}$ takhle ${ displaystyle sigma ^ { ell} = 1}$ pro relativní stupeň ${ displaystyle ell = [L: K]}$ , o kterém se předpokládá, že je liché prvočíslo.

Zkoumá dva endomorfismus skupiny jednotek ${ displaystyle U = U_ {L}}$ pole rozšíření, zobrazeno jako a Galoisův modul s ohledem na skupinu ${ displaystyle G}$ , krátce a ${ displaystyle G}$ -modul. První endomorfismus

{ displaystyle { begin {cases} Delta: U to U E mapsto E ^ { sigma -1}: = sigma (E) / E end {případy}}}

je symbolická umocňování s rozdílem ${ displaystyle sigma -1 v mathbb {Z} [G]}$ a druhý endomorfismus

{ displaystyle { begin {cases} N: U až U E mapsto E ^ {T_ {G}}: = prod _ {i = 0} ^ { ell -1} sigma ^ {i } (E) end {cases}}}

je algebraická norma mapování, to je symbolická umocňování se stopou

{ displaystyle T_ {G} = součet _ {i = 0} ^ { ell -1} sigma ^ {i} in mathbb {Z} [G].}

Ve skutečnosti je obraz mapy algebraických norem obsažen ve skupině jednotek ${ displaystyle U_ {K}}$ základního pole a ${ displaystyle N (E) = mathrm {N} _ {L / K} (E)}$ se shoduje s obvyklým aritmetická (polní) norma jako produkt všech konjugátů. Kompozita endomorfismů uspokojuje vztahy ${ displaystyle Delta circ N = 1}$ a ${ displaystyle N circ Delta = 1}$ .

Pomocí jader a obrazů těchto endomorfismů lze definovat dvě důležité kohomologické skupiny. Nula Skupina Tate cohomology z ${ displaystyle G}$ v ${ displaystyle U_ {L}}$ je dán kvocientem ${ displaystyle H ^ {0} (G, U_ {L}): = ker ( Delta) / mathrm {im} (N) = U_ {K} / mathrm {N} _ {L / K} (U_ {L})}$ skládající se z zbytky normy z ${ displaystyle U_ {K}}$ a mínus první kohomologická skupina Tate z ${ displaystyle G}$ v ${ displaystyle U_ {L}}$ je dán kvocientem ${ displaystyle H ^ {- 1} (G, U_ {L}): = ker (N) / mathrm {im} ( Delta) = E_ {L / K} / U_ {L} ^ { sigma -1}}$ skupiny ${ displaystyle E_ {L / K} = {E v U_ {L} | N (E) = 1 }}$ z relativní jednotky z ${ displaystyle L / K}$ modulovat podskupinu symbolických sil jednotek s formálním exponentem ${ displaystyle sigma -1}$ .

V jeho Věta 92 Hilbert dokazuje existenci relativní jednotky ${ displaystyle H v E_ {L / K}}$ které nelze vyjádřit jako ${ displaystyle H = sigma (E) / E}$ , pro jakoukoli jednotku ${ displaystyle E v U_ {L}}$ , což znamená, že mínus první kohomologická skupina ${ displaystyle H ^ {- 1} (G, U_ {L}) = E_ {L / K} / U_ {L} ^ { sigma -1}}$ je netriviální řádu dělitelného ${ displaystyle ell}$ . S pomocí zcela podobné konstrukce však byla mínus první kohomologická skupina ${ displaystyle H ^ {- 1} (G, L ^ { times}) = {A v L ^ { times} | N (A) = 1 } / (L ^ { times}) ^ { sigma -1}}$ z ${ displaystyle G}$ -modul ${ displaystyle L ^ { times} = L setminus {0 }}$ , multiplikativní skupina superfieldu ${ displaystyle L}$ , lze definovat a Hilbert ukazuje jeho trivialitu ${ displaystyle H ^ {- 1} (G, L ^ { times}) = 1}$ v jeho slavném Věta 90.

Nakonec je Hilbert v pozici, aby prohlásil svůj slavný Věta 94: Pokud ${ displaystyle L / K}$ je cyklické rozšíření číselných polí lichého prime stupně ${ displaystyle ell}$ s triviální relativní diskriminací ${ displaystyle { mathfrak {d}} _ {L / K} = { mathcal {O}} _ {K}}$ , což znamená, že není unramified na konečné prvočísla, pak existuje non-hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {j}} in { mathcal {I}} _ {K} setminus { mathcal {P}} _ {K}}$ základního pole ${ displaystyle K}$ který se stává hlavním v poli rozšíření ${ displaystyle L}$ , to je ${ displaystyle { mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L} v { mathcal {P}} _ {L}}$ pro některé ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {L}}$ . Kromě toho ${ displaystyle ell}$ síla tohoto non-principálního ideálu je principál v základním poli ${ displaystyle K}$ , zejména ${ displaystyle { mathfrak {j}} ^ { ell} = mathrm {N} _ {L / K} (A) { mathcal {O}} _ {K} v { mathcal {P}} _ {K}}$ , proto číslo třídy základního pole musí být dělitelné ${ displaystyle ell}$ a pole rozšíření ${ displaystyle L}$ lze nazvat a pole třídy z ${ displaystyle K}$ . Důkaz zní takto: Věta 92 říká, že existuje jednotka ${ displaystyle H in E_ {L / K} setminus U_ {L} ^ { sigma -1}}$ , pak věta 90 zajišťuje existenci (nutně jiné než jednotky) ${ displaystyle A v L ^ { times}}$ takhle ${ displaystyle H = A ^ { sigma -1}}$ , i. E., ${ displaystyle A ^ { sigma} = A cdot H}$ . Násobením ${ displaystyle A}$ správným celým číslem, pokud je to nutné, to můžeme předpokládat ${ displaystyle A}$ je algebraické celé číslo. Nejednotka ${ displaystyle A}$ je generátor dvojznačný hlavní ideál ${ displaystyle L / K}$ , od té doby ${ displaystyle (A { mathcal {O}} _ {L}) ^ { sigma} = A ^ { sigma} { mathcal {O}} _ {L} = A cdot H { mathcal {O }} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L}}$ . Základní ideál ${ displaystyle { mathfrak {j}}: = (A { mathcal {O}} _ {L}) cap { mathcal {O}} _ {K}}$ podpole ${ displaystyle K}$ nemůže být jistina. Předpokládejme opak ${ displaystyle { mathfrak {j}} = beta { mathcal {O}} _ {K}}$ pro některé ${ displaystyle beta in { mathcal {O}} _ {K}}$ . Od té doby ${ displaystyle L / K}$ je unramified, každý nejednoznačný ideál ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ je výtah nějakého ideálu v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ , zejména ${ displaystyle { mathfrak {a}} = ({ mathfrak {a}} cap { mathcal {O}} _ {K}) { mathcal {O}} _ {L}}$ . Proto ${ displaystyle beta { mathcal {O}} _ {L} = { mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L}}$ a tudíž ${ displaystyle A = beta E}$ pro nějakou jednotku ${ displaystyle E v U_ {L}}$ . To by znamenalo rozpor ${ displaystyle H = A ^ { sigma -1} = ( beta E) ^ { sigma -1} = E ^ { sigma -1}}$ protože ${ displaystyle beta ^ { sigma -1} = 1}$ . Na druhou stranu,

{ displaystyle { mathfrak {j}} ^ { ell} { mathcal {O}} _ {L} = ({ mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L}) ^ { ell} = mathrm {N} _ {L / K} ({ mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {O}} _ {L} = mathrm {N } _ {L / K} (A { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {O}} _ {L} = mathrm {N} _ {L / K} (A) { mathcal {O}} _ {L},}

tím pádem ${ displaystyle { mathfrak {j}} ^ { ell} = mathrm {N} _ {L / K} (A) { mathcal {O}} _ {K}}$ je hlavní v základním poli ${ displaystyle K}$ již.

Věty 92 a 94 neplatí, jak je uvedeno pro ${ displaystyle ell = 2}$ , s poli ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {3}})}$ a ${ displaystyle L = K (i)}$ být protikladem (v tomto konkrétním případě ${ displaystyle L}$ je úzké pole třídy Hilbert z ${ displaystyle K}$ ). Důvodem je, že Hilbert uvažuje o rozvětvení pouze v konečných prvočíslech, ale ne v nekonečných prvočíslech (říkáme, že skutečný nekonečný vrchol ${ displaystyle K}$ rozvětvuje se ${ displaystyle L}$ pokud existuje nereálné rozšíření tohoto prime na ${ displaystyle L}$ ). To nedělá rozdíl, když ${ displaystyle [L: K]}$ je liché, protože rozšíření je pak neomezené v nekonečných prvočíslech. Poznamenává však, že věty 92 a 94 platí ${ displaystyle ell = 2}$ za předpokladu, že dále předpokládáme, že počet polí konjuguje na ${ displaystyle L}$ která jsou skutečná, je dvojnásobek počtu reálných polí konjugovaných s ${ displaystyle K}$ . Tato podmínka je ekvivalentní k ${ displaystyle L / K}$ je unramified v nekonečných prvočíslech, takže věta 94 platí pro všechna prvočísla ${ displaystyle ell}$ pokud to předpokládáme ${ displaystyle L / K}$ je všude unramified.

Z věty 94 vyplývá jednoduchá nerovnost ${ displaystyle # ker (j_ {L / K}) geq ell = [L: K]}$ pro pořadí jádra principalizace rozšíření ${ displaystyle L / K}$ . Přesný vzorec pro pořadí tohoto jádra však lze odvodit pro cyklické neuzamčené (včetně nekonečných prvočísel) rozšíření (ne nutně hlavního stupně) pomocí Herbrandův kvocient^[11] ${ displaystyle h (G, U_ {L})}$ z ${ displaystyle G}$ -modul ${ displaystyle U_ {L}}$ , který je dán

{ displaystyle h (G, U_ {L}): = # H ^ {- 1} (G, U_ {L}) / # H ^ {0} (G, U_ {L}) = ( ker (N): mathrm {im} ( Delta)) / ( ker ( Delta): mathrm {im} (N)) = (E_ {L / K}: U_ {L} ^ { sigma - 1}) / (U_ {K}: mathrm {N} _ {L / K} (U_ {L})).}

To lze ukázat ${ displaystyle h (G, U_ {L}) = [L: K]}$ (bez výpočtu pořadí kterékoli z kohomologických skupin). Od rozšíření ${ displaystyle L / K}$ je unramified, to je ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {L} ^ {G} = { mathcal {I}} _ {K} { mathcal {O}} _ {L}}$ tak ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {L} ^ {G} = { mathcal {P}} _ {L} cap { mathcal {I}} _ {K} { mathcal {O}} _ {L}}$ . S pomocí izomorfismu K. Iwasawy^[12] ${ displaystyle H ^ {1} (G, U_ {L}) cong { mathcal {P}} _ {L} ^ {G} / { mathcal {P}} _ {K} { mathcal {O }} _ {L}}$ , specializující se na cyklické prodloužení s periodickou cohomologií délky ${ displaystyle 2}$ , získáváme

{ displaystyle { begin {aligned} # ker (j_ {L / K}) & = # ({ mathcal {P}} _ {L} cap { mathcal {I}} _ {K} { mathcal {O}} _ {L} / { mathcal {P}} _ {K} { mathcal {O}} _ {L}) = # ({ mathcal {P}} _ {L} ^ {G} / { mathcal {P}} _ {K} { mathcal {O}} _ {L}) = # H ^ {1} (G, U_ {L}) = # H ^ { -1} (G, U_ {L}) & = h (G, U_ {L}) cdot # H ^ {0} (G, U_ {L}) = [L: K] cdot # H ^ {0} (G, U_ {L}) = [L: K] cdot (U_ {K}: mathrm {N} _ {L / K} (U_ {L})) end {zarovnáno }}}

Tento vztah zvyšuje dolní mez faktoru ${ displaystyle (U_ {K}: mathrm {N} _ {L / K} (U_ {L}))}$ , takzvaný index jednotkové normy.

Dějiny

As mentioned in the lead section, several investigators tried to generalize the Hilbert-Artin-Furtwängler principal ideal theorem of 1930 to questions concerning the principalization in intermediate extensions between the base field and its Hilbert class field. On the one hand, they established general theorems on the principalization over arbitrary number fields, such as Ph. Furtwängler 1932,^[13]O. Taussky 1932,^[14]O. Taussky 1970,^[15]and H. Kisilevsky 1970.^[16]On the other hand, they searched for concrete numerical examples of principalization in unramified cyclic extensions of particular kinds of base fields.

Quadratic fields

The principalization of ${displaystyle 3}$ -classes of imaginary kvadratická pole ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ s ${displaystyle 3}$ -class rank two in unramified cyclic cubic extensions was calculated manually for three discriminants ${displaystyle din {-3299,-4027,-9748}}$ by A. Scholz and O. Taussky^[7]in 1934. Since these calculations require composition of binary quadratic forms and explicit knowledge of fundamental systems of units in cubic number fields, which was a very difficult task in 1934, the investigations stayed at rest for half a century until F.-P. Heider and B. Schmithals^[17]employed the CDC Cyber 76 computer at the University of Cologne to extend the information concerning principalization to the range ${displaystyle -2cdot 10^{4}$ obsahující ${ displaystyle 27}$ relevant discriminants in 1982,thereby providing the first analysis of five real quadratic fields.Two years later, J. R. Brink^[18]computed the principalization types of ${displaystyle 66}$ complex quadratic fields.Currently, the most extensive computation of principalization data for all ${displaystyle 4596}$ quadratic fields with discriminants ${displaystyle -10^{6}$ a ${displaystyle 3}$ -class group of type ${displaystyle (3,3)}$ is due to D. C. Mayer in 2010,^[19]who used his recently discovered connection between transfer kernels and transfer targets for the design of a new principalization algorithm.^[20]

The ${ displaystyle 2}$ -principalization in unramified quadratic extensions of imaginary quadratic fields with ${ displaystyle 2}$ -class group of type ${displaystyle (2,2)}$ was studied by H. Kisilevsky in 1976.^[21]Similar investigations of real quadratic fields were carried out by E. Benjamin and C. Snyder in 1995.^[22]

Cubic fields

The ${ displaystyle 2}$ -principalization in unramified quadratic extensions of cyclic cubic fields s ${ displaystyle 2}$ -class group of type ${displaystyle (2,2)}$ was investigated by A. Derhem in 1988.^[23]Seven years later, M. Ayadi studied the ${displaystyle 3}$ -principalization in unramified cyclic cubic extensions of cyclic cubic fields ${displaystyle Ksubset mathbb {Q} (zeta _{f})}$ , ${displaystyle zeta _{f}^{f}=1}$ , s ${displaystyle 3}$ -class group of type ${displaystyle (3,3)}$ a dirigent ${ displaystyle f}$ divisible by two or three primes.^[24]

Sextic fields

In 1992, M. C. Ismaili investigated the ${displaystyle 3}$ -principalization in unramified cyclic cubic extensions of the normální uzavření z pure cubic pole ${displaystyle K=mathbb {Q} ({sqrt[{3}]{D}})}$ , in the case that this sextic number field ${displaystyle N=K(zeta _{3})}$ , ${ displaystyle zeta _ {3} ^ {3} = 1}$ , má ${displaystyle 3}$ -class group of type ${displaystyle (3,3)}$ .^[25]

Quartic fields

In 1993, A. Azizi studied the ${ displaystyle 2}$ -principalization in unramified quadratic extensions of dvojkvadratická pole z Dirichlet type ${displaystyle K=mathbb {Q} ({sqrt {d}},{sqrt {-1}})}$ s ${ displaystyle 2}$ -class group of type ${displaystyle (2,2)}$ .^[26] Most recently, in 2014, A. Zekhnini extended the investigations to Dirichlet fields with ${ displaystyle 2}$ -class group of type ${displaystyle (2,2,2)}$ ,^[27] thus providing the first examples of ${ displaystyle 2}$ -principalization in the two layers of unramified quadratic and biquadratic extensions of quartic fields with class groups of ${ displaystyle 2}$ -rank three.

Viz také

Both, the algebraic, group theoretic access to the principalization problem by Hilbert-Artin-Furtwängler and the arithmetic, cohomological access by Hilbert-Herbrand-Iwasawa are also presented in detail in the two bibles of capitulation by J.-F. Jaulent 1988^[28] and by K. Miyake 1989.^[6]

Sekundární zdroje

Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967). Algebraic Number Theory. Akademický tisk. Zbl 0153.07403.
Iwasawa, Kenkichi (1986). Teorie pole místní třídy. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-504030-2. PAN 0863740. Zbl 0604.12014.
Janusz, Gerald J. (1973). Algebraická číselná pole. Čistá a aplikovaná matematika. 55. Akademický tisk. str. 142. Zbl 0307.12001.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. PAN 1697859. Zbl 0956.11021.
Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Kohomologie číselných polí. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-37888-X. Zbl 1136.11001.

Reference

^ Hurwitz, A. (1926). "Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe". Matematika. Z. 25: 661–665. doi:10.1007/bf01283860.
^ ^A ^b Hilbert, D. (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresber. Deutsch. Matematika. Verein. 4: 175–546.
^ ^A ^b Hasse, H. (1930). "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil II: Reziprozitätsgesetz". Jahresber. Deutsch. Matematika. Verein., Ergänzungsband. 6: 1–204.
^ Artin, E. (1927). "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 5: 353–363.
^ Artin, E. (1929). "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 7: 46–51.
^ ^A ^b Miyake, K. (1989). "Algebraic investigations of Hilbert's Theorem 94, the principal ideal theorem and the capitulation problem". Expo. Matematika. 7: 289–346.
^ ^A ^b Scholz, A., Taussky, O. (1934). "Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm". J. Reine Angew. Matematika. 171: 19–41.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Schreier, O. (1926). "Über die Erweiterung von Gruppen II". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 4: 321–346.
^ Newman, M. F. (1977). Determination of groups of prime-power order. pp. 73-84, in: Group Theory, Canberra, 1975, Lecture Notes in Math., Vol. 573, Springer, Berlin.
^ O'Brien, E. A. (1990). „The p-group generation algorithm". J. Symbolic Comput. 9: 677–698. doi:10.1016/s0747-7171(08)80082-x.
^ Herbrand, J. (1932). "Sur les théorèmes du genre principal et des idéaux principaux". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 9: 84–92. doi:10.1007/bf02940630.
^ Iwasawa, K. (1956). "A note on the group of units of an algebraic number field". J. Math. Pures Appl. 9 (35): 189–192.
^ Furtwängler, Ph. (1932). "Über eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Matematika. 167: 379–387.
^ Taussky, O. (1932). "Über eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Matematika. 168: 193–210.
^ Taussky, O. (1970). "A remark concerning Hilbert's Theorem 94". J. Reine Angew. Matematika. 239/240: 435–438.
^ Kisilevsky, H. (1970). "Some results related to Hilbert's Theorem 94". J. Teorie čísel. 2: 199–206. doi:10.1016/0022-314x(70)90020-x.
^ Heider, F.-P., Schmithals, B. (1982). "Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen". J. Reine Angew. Matematika. 363: 1–25.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Brink, J. R. (1984). The class field tower for imaginary quadratic number fields of type (3,3). Dissertation, Ohio State Univ.
^ Mayer, D. C. (2012). "The second p-class group of a number field". Int. J. Teorie čísel. 8 (2): 471–505. arXiv:1403.3899. doi:10.1142/s179304211250025x.
^ Mayer, D. C. (2014). "Principalization algorithm via class group structure". J. Théor. Nombres Bordeaux. 26 (2): 415–464. arXiv:1403.3839. doi:10.5802/jtnb.874.
^ Kisilevsky, H. (1976). "Number fields with class number congruent to 4 mod 8 and Hilbert's Theorem 94". J. Teorie čísel. 8: 271–279. doi:10.1016/0022-314x(76)90004-4.
^ Benjamin, E., Snyder, C. (1995). "Real quadratic number fields with 2-class group of type (2,2)". Matematika. Scand. 76: 161–178.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Derhem, A. (1988). Capitulation dans les extensions quadratiques non ramifiées de corps de nombres cubiques cycliques. Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.
^ Ayadi, M. (1995). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux d'un corps cubique cyclique. Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.
^ Ismaili, M. C. (1992). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux de la clôture normale d'un corps cubique pure. Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.
^ Azizi, A. (1993). Sur la capitulation de 2-classes d'idéaux de ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}},i)}$ . Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.
^ Zekhnini, A. (2014). Capitulation des 2-classes d'idéaux de certains corps de nombres biquadratiques imaginaires ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}},i)}$ de type (2,2,2). Thèse de Doctorat, Univ. Mohammed Premier, Faculté des Sciences d'Oujda, Maroc.
^ Jaulent, J.-F. (26 February 1988). „L'état actuel du problème de la capitulation“. Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux. 17: 1–33.

[Hu-1] Hurwitz, A. (1926). "Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe". Matematika. Z. 25: 661–665. doi:10.1007/bf01283860.

[Hi-2] A ^b Hilbert, D. (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresber. Deutsch. Matematika. Verein. 4: 175–546.

[Ha-3] A ^b Hasse, H. (1930). "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil II: Reziprozitätsgesetz". Jahresber. Deutsch. Matematika. Verein., Ergänzungsband. 6: 1–204.

[Ar1-4] Artin, E. (1927). "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 5: 353–363.

[Ar2-5] Artin, E. (1929). "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 7: 46–51.

[My-6] A ^b Miyake, K. (1989). "Algebraic investigations of Hilbert's Theorem 94, the principal ideal theorem and the capitulation problem". Expo. Matematika. 7: 289–346.

[SoTa-7] A ^b Scholz, A., Taussky, O. (1934). "Die Hauptideale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm". J. Reine Angew. Matematika. 171: 19–41.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[Sr-8] Schreier, O. (1926). "Über die Erweiterung von Gruppen II". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 4: 321–346.

[Nm2-9] Newman, M. F. (1977). Determination of groups of prime-power order. pp. 73-84, in: Group Theory, Canberra, 1975, Lecture Notes in Math., Vol. 573, Springer, Berlin.

[Ob-10] O'Brien, E. A. (1990). „The p-group generation algorithm". J. Symbolic Comput. 9: 677–698. doi:10.1016/s0747-7171(08)80082-x.

[Hb-11] Herbrand, J. (1932). "Sur les théorèmes du genre principal et des idéaux principaux". Abh. Matematika. Sem. Univ. Hamburg. 9: 84–92. doi:10.1007/bf02940630.

[Iw-12] Iwasawa, K. (1956). "A note on the group of units of an algebraic number field". J. Math. Pures Appl. 9 (35): 189–192.

[Fw-13] Furtwängler, Ph. (1932). "Über eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Matematika. 167: 379–387.

[Ta1-14] Taussky, O. (1932). "Über eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Matematika. 168: 193–210.

[Ta2-15] Taussky, O. (1970). "A remark concerning Hilbert's Theorem 94". J. Reine Angew. Matematika. 239/240: 435–438.

[Ki1-16] Kisilevsky, H. (1970). "Some results related to Hilbert's Theorem 94". J. Teorie čísel. 2: 199–206. doi:10.1016/0022-314x(70)90020-x.

[HeSm-17] Heider, F.-P., Schmithals, B. (1982). "Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen". J. Reine Angew. Matematika. 363: 1–25.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[Br-18] Brink, J. R. (1984). The class field tower for imaginary quadratic number fields of type (3,3). Dissertation, Ohio State Univ.

[Ma1-19] Mayer, D. C. (2012). "The second p-class group of a number field". Int. J. Teorie čísel. 8 (2): 471–505. arXiv:1403.3899. doi:10.1142/s179304211250025x.

[Ma2-20] Mayer, D. C. (2014). "Principalization algorithm via class group structure". J. Théor. Nombres Bordeaux. 26 (2): 415–464. arXiv:1403.3839. doi:10.5802/jtnb.874.

[Ki2-21] Kisilevsky, H. (1976). "Number fields with class number congruent to 4 mod 8 and Hilbert's Theorem 94". J. Teorie čísel. 8: 271–279. doi:10.1016/0022-314x(76)90004-4.

[BjSn-22] Benjamin, E., Snyder, C. (1995). "Real quadratic number fields with 2-class group of type (2,2)". Matematika. Scand. 76: 161–178.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[Dh-23] Derhem, A. (1988). Capitulation dans les extensions quadratiques non ramifiées de corps de nombres cubiques cycliques. Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.

[Ay-24] Ayadi, M. (1995). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux d'un corps cubique cyclique. Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.

[Is-25] Ismaili, M. C. (1992). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux de la clôture normale d'un corps cubique pure. Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.

[Az-26] Azizi, A. (1993). Sur la capitulation de 2-classes d'idéaux de ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}},i)}$ . Thèse de Doctorat, Univ. Laval, Québec.

[Zk-27] Zekhnini, A. (2014). Capitulation des 2-classes d'idéaux de certains corps de nombres biquadratiques imaginaires ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {d}},i)}$ de type (2,2,2). Thèse de Doctorat, Univ. Mohammed Premier, Faculté des Sciences d'Oujda, Maroc.

[Jl-28] Jaulent, J.-F. (26 February 1988). „L'état actuel du problème de la capitulation“. Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux. 17: 1–33.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]