Modul (algebraická teorie čísel) - Modulus (algebraic number theory)

Operaci, která dává zbytek čísla, viz Modulový provoz.

v matematika, v oblasti algebraická teorie čísel, a modul (množný moduly) (nebo cyklus,[1] nebo rozšířený ideál[2]) je formálním produktem místa a globální pole (tj algebraické číslo pole nebo a globální funkční pole ). Používá se ke kódování rozvětvení údaje pro abelian rozšíření globálního pole.

Definice

Nechat K. být globálním polem s kruh celých čísel R. A modul je formální produkt[3][4]

kde p běží přes všechno místa z K., konečný nebo nekonečný, exponenty ν (p) jsou nula kromě konečně mnoha p. Li K. je číselné pole, ν (p) = 0 nebo 1 pro skutečná místa a ν (p) = 0 pro složitá místa. Li K. je funkční pole, ν (p) = 0 pro všechna nekonečná místa.

V případě funkčního pole je modul stejný jako an efektivní dělitel,[5] a v případě číselného pole lze modul považovat za speciální formu Arakelovův dělitel.[6]

Pojem shoda lze rozšířit na nastavení modulů. Li A a b jsou prvky K.×, definice A ≡∗b (modpν) záleží na tom, jaký typ prvočísla p je:[7][8]

  • pokud je konečný, pak
kde ordp je normalizované ocenění spojené s p;
  • pokud je to skutečné místo (číselného pole) a ν = 1, pak
pod skutečné vkládání spojené s p.
  • pokud je to jakékoli jiné nekonečné místo, není tam žádná podmínka.

Poté, vzhledem k modulu m, A ≡∗b (modm) pokud A ≡∗b (modpν (p)) pro všechny p takové, že ν (p) > 0.

Ray třída skupina

Hlavní článek: Ray třída skupina

The ray modulo m je[9][10][11]

Modul m lze rozdělit na dvě části, mF a m∞, produkt nad konečnými a nekonečnými místy. Nechat Jám být jedním z následujících:

V obou případech existuje skupinový homomorfismus i : K.m,1 → Jám získané odesláním A do hlavní ideál (resp. dělitel ) (A).

The skupina třídy paprsků modulo m je podíl Cm = Jám / i (K.m,1).[14][15] Coset of i (K.m,1) se nazývá a ray class modulo m.

Erich Hecke původní definice Hecke postavy lze vykládat ve smyslu postavy skupiny třídy paprsků s ohledem na nějaký modul m.[16]

Vlastnosti

Když K. je číselné pole, platí následující vlastnosti.[17]

  • Když m = 1, skupina paprskových tříd je právě ideální třídní skupina.
  • Skupina třídy paprsků je konečná. Jeho pořadí je číslo třídy paprsku.
  • Číslo třídy paprsku je dělitelné číslem číslo třídy z K..

Poznámky

  1. ^ Lang 1994, §VI.1
  2. ^ Cohn 1985, definice 7.2.1
  3. ^ Janusz 1996, §IV.1
  4. ^ Serre 1988, §III.1
  5. ^ Serre 1988, §III.1
  6. ^ Neukirch 1999, §III.1
  7. ^ Janusz 1996, §IV.1
  8. ^ Serre 1988, §III.1
  9. ^ Milne 2008, §V.1
  10. ^ Janusz 1996, §IV.1
  11. ^ Serre 1988, §VI.6
  12. ^ Janusz 1996, §IV.1
  13. ^ Serre 1988, §V.1
  14. ^ Janusz 1996, §IV.1
  15. ^ Serre 1988, §VI.6
  16. ^ Neukirch 1999, §VII.6
  17. ^ Janusz 1996, §4.1

Reference

  • Cohn, Harvey (1985), Úvod do konstrukce třídních polí, Cambridge studium pokročilé matematiky, 6, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-24762-7
  • Janusz, Gerald J. (1996), Algebraická číselná pole, Postgraduální studium matematiky, 7, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0429-2
  • Lang, Serge (1994), Algebraická teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 110 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94225-4, PAN  1282723
  • Milne, James (2008), Teorie pole třídy (v4.0 ed.), vyvoláno 2010-02-22
  • Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
  • Serre, Jean-Pierre (1988), Algebraické skupiny a pole tříd, Postgraduální texty z matematiky, 117, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96648-9