Dirigent (teorie třídního pole) - Conductor (class field theory)

v algebraická teorie čísel, dirigent a konečný abelian rozšíření z místní nebo globální pole poskytuje kvantitativní měřítko rozvětvení v rozšíření. Definice vodiče souvisí s Artin mapa.

Místní vodič

Nechat L/K. být konečným abelianským rozšířením non-archimedean místní pole. The dirigent z L/K., označeno ${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$, je nejmenší nezáporný celé číslo n takové, že vyšší skupina jednotek

${ displaystyle U ^ {(n)} = 1 + { mathfrak {m}} ^ {n} = left {u in { mathcal {O}} ^ { times}: u equiv 1 , left ( operatorname {mod} { mathfrak {m}} _ {K} ^ {n} right) right }}$

je obsažen v N_L/K.(L^×), kde N_L/K. je polní norma mapa a ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K}}$ je maximální ideál z K..^[1] Ekvivalentně n je nejmenší celé číslo tak, že místní mapa Artin je triviální ${ displaystyle U_ {K} ^ {(n)}}$. Někdy je vodič definován jako ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K} ^ {n}}$ kde n je jako výše.^[2]

Vodič prodloužení měří rozvětvení. Kvalitativně je rozšíření unramified pokud, a pouze v případě, že vodič je nula,^[3] a to je krotce rozvětvený pokud a pouze v případě, že vodič je 1.^[4] Přesněji řečeno, vodič vypočítá netrivialitu skupiny s větším rozvětvením: pokud s je největší celé číslo, pro které „nižší číslování "skupina větších rozvětvení G_s není tedy triviální ${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K) = eta _ {L / K} (s) +1}$, kde η_L/K. je funkce, která překládá z „nižšího číslování“ do „horní číslování "vyšších rozvětvovacích skupin.^[5]

Dirigent L/K. souvisí také s Artinovy ​​vodiče postav z Galoisova skupina Gal (L/K.). Konkrétně^[6]

${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K} ^ {{ mathfrak {f}} (L / K)} = operatorname {lcm} limity _ { chi} { mathfrak {m}} _ {K} ^ {{ mathfrak {f}} _ { chi}}}$

kde χ se mění ve všech multiplikativní složité znaky Gal (L/K.), ${ displaystyle { mathfrak {f}} _ { chi}}$ je Artinův vodič χ a lcm je nejmenší společný násobek.

Obecnější pole

Vodič lze definovat stejným způsobem pro L/K. ne nutně abelianské konečné Galoisovo rozšíření místních polí.^[7] Záleží však jen na L^ab/K., maximální abelianské rozšíření K. v L, z důvodu „věty o omezení normy“, která uvádí, že v této situaci^[8][9]

${ displaystyle N_ {L / K} left (L ^ { times} right) = N_ {L ^ { text {ab}} / K} left ( left (L ^ { text {ab} } right) ^ { times} right).}$

Dále může být vodič definován, když L a K. mohou být o něco obecnější než místní, zejména pokud jsou vyplňte hodnotná pole s kvazi-konečný zbytkové pole.^[10]

Archimédova pole

Většinou kvůli globálním vodičům, vodiči triviálního prodloužení R/R je definována jako 0 a vodič prodloužení C/R je definována jako 1.^[11]

Globální dirigent

Algebraická číselná pole

The dirigent abelianského rozšíření L/K. číselných polí lze definovat, podobně jako v lokálním případě, pomocí mapy Artin. Konkrétně nechť θ: Já^m → Gal (L/K.) být globální mapa Artin Kde modul m je definující modul pro L/K.; říkáme to Artin vzájemnost platí pro m pokud θ faktory přes skupina třídy paprsků modulo m. Definujeme vodič L/K., označeno ${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$, být nejvyšším společným činitelem všech modulů, pro které platí vzájemnost; ve skutečnosti platí vzájemnost ${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$, takže se jedná o nejmenší takový modul.^[12][13][14]

Příklad

• Vezmeme-li jako základ pole racionálních čísel, Kroneckerova-Weberova věta uvádí, že algebraické číslo pole K. je abelian u konce Q právě když se jedná o podpole a cyklotomické pole ${ displaystyle mathbf {Q} doleva ( zeta _ {n} doprava)}$, kde ${ displaystyle zeta _ {n}}$ označuje primitiv nth kořen jednoty.^[15] Li n je nejmenší celé číslo, pro které platí, vodič z K. je tedy n -li K. je stanovena komplexní konjugací a ${ displaystyle n infty}$ v opačném případě.
• Nechat L/K. být ${ displaystyle mathbf {Q} doleva ({ sqrt {d}} doprava) / mathbf {Q}}$ kde d je bez čtverce celé číslo. Pak,^[16]

  ${ displaystyle { mathfrak {f}} left ( mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right) / mathbf {Q} right) = { begin {cases} left | Delta _ { mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right)} right | & { text {for}} d> 0 infty left | Delta _ { mathbf {Q} left ({ sqrt {d}} right)} right | & { text {for}} d <0 end {cases}}}$

kde ${ displaystyle Delta _ { mathbf {Q} ({ sqrt {d}})}}$ je diskriminující z ${ displaystyle mathbf {Q} doleva ({ sqrt {d}} doprava) / mathbf {Q}}$.

Vztah k místním vodičům a rozvětvení

Globální vodič je produktem místních vodičů:^[17]

${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K) = prod _ { mathfrak {p}} { mathfrak {p}} ^ {{ mathfrak {f}} vlevo (L _ { mathfrak { p}} / K _ { mathfrak {p}} vpravo)}.}$

V důsledku toho se konečný prime rozvětvuje L/K. pokud, a pouze v případě, že se rozdělí ${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K)}$.^[18] Nekonečný rozkvět proti vyskytuje se ve vodiči tehdy a jen tehdy, proti je skutečný a stává se složitým L.

Poznámky

Reference

• Artin, Emil; Tate, Johne (2009) [1967], Teorie pole třídy, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4426-7, PAN  2467155
• Cohen, Henri (2000), Pokročilá témata v oblasti výpočetní teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 193, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98727-9
• Janusz, Gerald (1973), Algebraická pole číselČistá a aplikovaná matematika, 55Akademický tisk, ISBN  0-12-380250-4, Zbl  0307.12001
• Milne, James (2008), Teorie pole třídy (v4.0 ed.), vyvoláno 2010-02-22
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraická teorie čísel, Sborník z instruktážní konference na University of Sussex, Brighton, 1965, Londýn: Academic Press, ISBN  0-12-163251-2, PAN  0220701