Ideální číslo - Ideal number

v teorie čísel an ideální číslo je algebraické celé číslo což představuje ideál v prsten celých čísel a pole s číslem; myšlenku vyvinul Ernst Kummer a vedl k Richard Dedekind Definice ideály pro prsteny. Ideál v kruhu celých čísel algebraického číselného pole je ředitel školy pokud se skládá z násobků jednoho prvku prstenu, a neprincipální v opačném případě. Podle hlavní ideální věta jakýkoli neprincipální ideál se stává hlavním, když je rozšířen na ideál Hilbertovo pole třídy. To znamená, že existuje prvek prstence celých čísel pole třídy Hilberta, což je ideální číslo, takže původní neprincipální ideál se rovná sběru všech násobků tohoto ideálního čísla prvky tohoto kruh celých čísel které leží v kruhu celých čísel původního pole.

Příklad

Například, pojďme y být kořenem y² + y + 6 = 0, pak kruh celých čísel pole ${ displaystyle mathbb {Q} (y)}$ je ${ displaystyle mathbb {Z} [y]}$, což znamená vše A + podle s A a b celá čísla tvoří kruh celých čísel. Příkladem neprincipálního ideálu v tomto kruhu je množina všech 2A + yb kde A a b jsou celá čísla; kostka tohoto ideálu je hlavní a ve skutečnosti skupina tříd je cyklický řádu tři. Odpovídající pole třídy se získá připojením k prvku w uspokojující w³ − w - 1 = 0 až ${ displaystyle mathbb {Q} (y)}$dávat ${ displaystyle mathbb {Q} (y, w)}$. Ideální číslo pro nonprincipální ideál 2A + yb je ${ displaystyle iota = (- 8-16y-18w + 12w ^ {2} + 10yw + yw ^ {2}) / 23}$. Protože toto splňuje rovnici${ displaystyle iota ^ {6} -2 iota ^ {5} +13 iota ^ {4} -15 iota ^ {3} +16 iota ^ {2} +28 iota + 8 = 0}$ je to algebraické celé číslo.

Všechny prvky kruhu celých čísel pole třídy, které po vynásobení ι dávají výsledek v ${ displaystyle mathbb {Z} [y]}$ jsou ve formě Aα +bβ, kde

${ displaystyle alpha = (- 7 + 9y-33w-24w ^ {2} + 3yw-2yw ^ {2}) / 23}$

a

${ displaystyle beta = (- 27-8y-9w + 6w ^ {2} -18yw-11yw ^ {2}) / 23.}$

Koeficienty α a β jsou také uspokojivá algebraická celá čísla

${ displaystyle alpha ^ {6} +7 alpha ^ {5} +8 alpha ^ {4} -15 alpha ^ {3} +26 alpha ^ {2} -8 alpha + 8 = 0}$

a

${ displaystyle beta ^ {6} +4 beta ^ {5} +35 beta ^ {4} +112 beta ^ {3} +162 beta ^ {2} +108 beta + 27 = 0}$

resp. Násobení Aα + bβ o ideální číslo ι dává 2A + podle, což je neprincipální ideál.

Dějiny

Kummer poprvé publikoval selhání jedinečné faktorizace v roce cyklotomická pole v roce 1844 v temném deníku; to bylo přetištěno v 1847 v Liouville časopis. V následujících dokumentech v letech 1846 a 1847 publikoval svou hlavní větu, jedinečnou faktorizaci do (skutečných a ideálních) prvočísel.

Obecně se věří, že Kummer byl veden k jeho „ideálnímu komplexu čísel“ díky jeho zájmu o Fermatova poslední věta; tam je dokonce příběh často vyprávěný, že Kummer, jako Chromý, věřil, že dokázal Fermatovu poslední větu až do Lejeune Dirichlet řekl mu, že jeho argument vychází z jedinečné faktorizace; ale příběh poprvé vyprávěl Kurt Hensel v roce 1910 a důkazy naznačují, že pravděpodobně pochází ze zmatku jednoho z Henselových zdrojů. Harold Edwards říká, že víra, že Kummera zajímala hlavně Fermatova poslední věta, je „jistě mylná“ (Edwards 1977, s. 79). Kummerovo použití písmene λ k reprezentaci prvočísla, α k označení λth kořene jednoty a jeho studie faktorizace prvočísla ${ displaystyle p equiv 1 { pmod { lambda}}}$ do "komplexních čísel složených z ${ displaystyle lambda}$th kořeny jednoty "všechny pocházejí přímo z papíru Jacobi který se týká zákony vyšší vzájemnosti. Kummerova monografie z roku 1844 byla na počest jubilejní oslavy univerzity v Königsbergu a měla být poctou Jacobi. Ačkoli Kummer studoval Fermatovu poslední větu ve 30. letech 20. století a pravděpodobně si byl vědom, že jeho teorie bude mít důsledky pro její studium, je pravděpodobnější, že předmět Jacobiho (a Gaussova ) zájem, zákony vyšší vzájemnosti, pro něj měly větší význam. Kummer odkazoval na svůj vlastní částečný důkaz Fermatovy poslední věty pro pravidelné prvočísla jako „spíše kuriozita teorie čísel než hlavní položka“ a zákon vyšší reciprocity (který uvedl jako domněnku) jako „hlavní předmět a vrchol současné teorie čísel“. Na druhou stranu, toto druhé prohlášení bylo učiněno, když byl Kummer stále nadšený z úspěchu jeho práce o vzájemnosti a když jeho práci na Fermatově poslední větě docházela pára, takže ji lze možná brát s jistou skepsou.

Rozšíření Kummerových myšlenek na obecný případ bylo dosaženo nezávisle Kroneckerem a Dedekindem během příštích čtyřiceti let. Přímé zobecnění narazilo na impozantní potíže a nakonec vedlo Dedekinda k vytvoření teorie moduly a ideály. Kronecker se s obtížemi vypořádal vytvořením teorie forem (zobecnění kvadratické formy ) a teorie dělitele. Dedekindův příspěvek by se stal základem teorie prstenů a abstraktní algebra, zatímco Kronecker by se stal hlavním nástrojem algebraická geometrie.

Reference

• Nicolas Bourbaki, Základy dějin matematiky. Springer-Verlag, NY, 1999.
• Harold M. Edwards, Fermatova poslední věta. Genetický úvod do teorie čísel. Postgraduální texty v matematice sv. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• C.G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
• E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus konstanta, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; dotisk dovnitř Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.
• E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• John Stillwell, úvod do Teorie algebraických celých čísel Richard Dedekind. Matematická knihovna v Cambridge, Cambridge University Press, Velká Británie, 1996.

externí odkazy

• Ideální čísla, Důkaz, že teorie ideálních čísel šetří jedinečnou faktorizaci pro celá čísla na tom Fermatův poslední teorémový blog.