Herbrandův kvocient - Herbrand quotient
v matematika, Herbrandův kvocient je kvocient objednávek kohomologie skupiny a cyklická skupina. To bylo vynalezeno Jacques Herbrand. Má důležitou aplikaci v teorie pole.
Definice
Li G je konečná cyklická skupina působící na a G-modul A, pak kohomologické skupiny Hn(G,A) mít období 2 pro n≥1; jinými slovy
- Hn(G,A) = Hn+2(G,A),
an izomorfismus vyvolané pohárový produkt s generátorem H2(G,Z). (Pokud místo toho použijeme Skupiny Tate cohomology pak periodicita sahá až k n=0.)
A Herbrandův modul je A pro které jsou kohomologické skupiny konečné. V tomto případě Herbrandův kvocient h(G,A) je definován jako kvocient
- h(G,A) = |H2(G,A)|/|H1(G,A)|
řádu sudých a lichých kohomologických skupin.
Alternativní definice
Kvocient lze definovat pro pár endomorfismy z Abelian skupina, F a G, které podmínku splňují fg = gf = 0. Jejich Herbrandův kvocient q(F,G) je definován jako
pokud ti dva indexy jsou konečné. Li G je cyklická skupina s generátorem γ působícím na Abelianovu skupinu A, pak získáme předchozí definici převzetím F = 1 - γ a G = 1 + γ + γ2 + ... .
Vlastnosti
- Herbrandův kvocient je multiplikativní na krátké přesné sekvence.[1] Jinými slovy, pokud
- 0 → A → B → C → 0
je přesný a jsou definovány libovolné dva z podílů, pak také třetí a[2]
- h(G,B) = h(G,A)h(G,C)
- Li A je konečný h(G,A) = 1.[2]
- Pro A je submodul z G-modul B konečného indexu, pokud je definován některý kvocient, pak i druhý a jsou si rovny:[1] obecněji, pokud existuje G-morfismus A → B s konečným jádrem a jádrem pak platí to samé.[2]
- Li Z je celá čísla s G jedná tedy triviálně h(G,Z) = |G|
- Li A je definitivně generován G-modul, pak Herbrandův kvocient h(A) záleží pouze na komplexu G-modul C⊗A (a tak lze vyčíst z charakteru tohoto komplexního vyjádření G).
Tyto vlastnosti znamenají, že Herbrandův kvocient je obvykle relativně snadno vypočítatelný a jeho výpočet je často mnohem snazší než u objednávek jedné z jednotlivých kohomologických skupin.
Viz také
Poznámky
Reference
- Atiyah, M.F.; Wall, C.T.C. (1967). "Kohomologie skupin". v Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.). Algebraická teorie čísel. Akademický tisk. Zbl 0153.07403. Viz část 8.
- Artin, Emil; Tate, Johne (2009). Teorie pole třídy. AMS Chelsea. p. 5. ISBN 0-8218-4426-1. Zbl 1179.11040.
- Cohen, Henri (2007). Teorie čísel - Svazek I: Nástroje a diofantické rovnice. Postgraduální texty z matematiky. 239. Springer-Verlag. str. 242–248. ISBN 978-0-387-49922-2. Zbl 1119.11001.
- Janusz, Gerald J. (1973). Algebraická číselná pole. Čistá a aplikovaná matematika. 55. Akademický tisk. p. 142. Zbl 0307.12001.
- Koch, Helmut (1997). Algebraická teorie čísel. Encycl. Matematika. Sci. 62 (2. tisk 1. vydání). Springer-Verlag. str. 120–121. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044.
- Serre, Jean-Pierre (1979). Místní pole. Postgraduální texty z matematiky. 67. Přeloženo Greenberg, Marvin Jay. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.