Parita nula - Parity of zero

Prázdná váha váhy
Vážicí misky zůstatková stupnice obsahovat nulové objekty rozdělené do dvou stejných skupin.

Nula je sudé číslo. Jinými slovy, jeho parita—Kvalita celé číslo být sudý nebo lichý - je sudý. To lze snadno ověřit na základě definice „sudého“: jedná se o celé číslo násobek z 2 konkrétně 0 × 2. Výsledkem je, že nula sdílí všechny vlastnosti, které charakterizují sudá čísla: například 0 je na obou stranách sousedeno s lichými čísly, jakékoli desítkové celé číslo má stejnou paritu jako jeho poslední číslice - takže, protože 10 je sudé 0 bude sudé, a pokud y je i tehdy y + X má stejnou paritu jako X-a X a 0 + X mít vždy stejnou paritu.

Nula také zapadá do vzorů tvořených jinými sudými čísly. Pravidla parity aritmetiky, například dokonce − dokonce = dokonce, vyžadují 0, aby bylo sudé. Nula je aditivum prvek identity z skupina sudých celých čísel a je to výchozí případ, ze kterého ostatní sudá přirozená čísla jsou rekurzivně definované. Aplikace této rekurze z teorie grafů na výpočetní geometrie spoléhejte na to, že nula je rovnoměrná Nejen, že je 0 dělitelná 2, je dělitelná všemi síla 2, který je relevantní pro binární číselná soustava používané počítači. V tomto smyslu je 0 „nejrovnoměrnější“ číslo ze všech.[1]

U široké veřejnosti může být parita nuly zdrojem záměny. v reakční čas experimenty, většina lidí pomaleji identifikuje 0 jako sudé než 2, 4, 6 nebo 8. Někteří studenti matematiky - a někteří učitelé - si myslí, že nula je lichá, nebo obě sudá a lichá, nebo ani jedna. Výzkumní pracovníci v matematické vzdělávání navrhnout, aby se tyto mylné představy mohly stát příležitostmi ke vzdělávání. Studium rovnosti jako 0 × 2 = 0 umí řešit pochybnosti studentů o volání 0 a číslo a používat to v aritmetický. Diskuse ve třídě mohou studenty vést k tomu, aby ocenili základní principy matematického uvažování, jako je důležitost definic. Hodnocení parity tohoto výjimečného počtu je časným příkladem všudypřítomného tématu v matematice: abstrakce známého konceptu do neznámého prostředí.

Proč je nula sudá

Standardní definici „sudého čísla“ lze použít přímo dokázat ta nula je sudá. Číslo se nazývá „sudé“, je-li celočíselným násobkem čísla 2. Například 10 je sudé proto, že se rovná 5 × 2. Stejným způsobem je nula celočíselným násobkem 2, jmenovitě 0 × 2, takže nula je sudá.[2]

Je také možné vysvětlit, proč je nula i bez odkazu na formální definice.[3] Následující vysvětlení dávají smysl myšlence, že nula je dokonce z hlediska konceptů základního čísla. Z tohoto základu lze poskytnout zdůvodnění samotné definice - a její použitelnosti na nulu.

Základní vysvětlení

Vlevo pole s 0, 2 a 4 bílými objekty ve dvojicích; napravo 1, 3 a 5 objektů s nepárovým objektem červeně
Krabice s 0 objekty nemá žádný červený předmět.[4]

Vzhledem k sadě objektů lze pomocí čísla popsat, kolik objektů je v sadě. Nula je počet žádné předměty; formálněji to je počet objektů v prázdná sada. Koncept parity se používá pro vytváření skupin dvou objektů. Pokud lze objekty v sadě označit do skupin po dvou, aniž by zbyly žádné, pak je počet objektů sudý. Pokud objekt zůstane, pak je počet objektů lichý. Prázdná sada obsahuje nulové skupiny po dvou a z tohoto seskupení nezůstal žádný objekt, takže nula je sudá.[5]

Tyto nápady lze ilustrovat nakreslením předmětů ve dvojicích. Je obtížné zobrazit nula skupin po dvou nebo zdůraznit neexistenci zbylého objektu, takže pomáhá nakreslit další seskupení a porovnat je s nula. Například ve skupině pěti objektů jsou dva páry. Ještě důležitější je, že tu zbyl objekt, takže 5 je liché. Ve skupině čtyř objektů není žádný zbylý objekt, takže 4 je sudý. Ve skupině pouze jednoho objektu nejsou žádné páry a je zde zbylý objekt, takže 1 je lichý. Ve skupině nulových objektů není žádný zbylý objekt, takže 0 je sudá.[6]

Existuje ještě jedna konkrétní definice rovnosti: pokud lze objekty v sadě umístit do dvou skupin stejné velikosti, pak je počet objektů sudý. Tato definice je ekvivalentní té první. Opět platí, že nula je dokonce proto, že prázdnou sadu lze rozdělit do dvou skupin s nulovými položkami.[7]

Čísla lze také vizualizovat jako body na a číselná řada. Když jsou sudá a lichá čísla od sebe odlišena, jejich vzor je zřejmý, zvláště pokud jsou zahrnuta záporná čísla:

Celá čísla -4 až 10; sudá čísla jsou otevřené kruhy; lichá čísla jsou tečky

Sudá a lichá čísla se střídají. Počínaje libovolným sudým číslem, počítací nahoru nebo dolů po dvou dosáhne ostatních sudých čísel a není důvod přeskakovat přes nulu.[8]

Se zavedením násobení, k paritě lze přistupovat formálnějším způsobem pomocí aritmetických výrazů. Každé celé číslo má buď formu (2 × ▢) + 0 nebo (2 × ▢) + 1; první čísla jsou sudá a druhá lichá. Například 1 je zvláštní, protože 1 = (2 × 0) + 1, a 0 je i proto 0 = (2 × 0) + 0. Vytvoření tabulky těchto skutečností pak posílí obrázek číselné řady výše.[9]

Definování parity

Přesné definice matematického výrazu, jako například „sudý“, což znamená „celočíselný násobek dvou“, je nakonec a konvence. Na rozdíl od „sudého“ jsou některé matematické pojmy záměrně konstruovány tak, aby byly vyloučeny triviální nebo degenerovat případech. prvočísla jsou slavným příkladem. Před 20. stoletím byly definice primality nekonzistentní a významní matematici jako např Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley, a Kronecker napsal, že 1 byl prime.[10] Moderní definice „prvočísla“ je „kladné celé číslo s přesně 2 faktory ", takže 1 není prvočíslo. Tuto definici lze racionalizovat pozorováním, že přirozenější vyhovuje matematickým větám, které se týkají prvočísel. Například základní teorém aritmetiky je jednodušší uvést, když 1 není považován za prvočíslo.[11]

Bylo by možné podobně předefinovat pojem „rovnoměrně“ způsobem, který již neobsahuje nulu. V tomto případě by však nová definice znesnadnila konstatování vět o sudých číslech. Účinek již lze vidět v algebraická pravidla pro sudá a lichá čísla.[12] Nejrelevantnější pravidla se týkají přidání, odčítání, a násobení:

sudý ± sudý = sudý
lichý ± lichý = sudý
sudé × celé číslo = sudé

Vložením příslušných hodnot do levé strany těchto pravidel lze vytvořit 0 na pravé straně:

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Výše uvedená pravidla by proto byla nesprávná, pokud by nula nebyla rovnoměrná.[12] V nejlepším případě by musely být upraveny. Například jeden průvodce testovací studií tvrdí, že sudá čísla jsou charakterizována jako celočíselné násobky dvou, ale nula je „ani sudá, ani lichá“.[13] V souladu s tím pravidla průvodce pro sudá a lichá čísla obsahují výjimky:

sudý ± sudý = sudý (nebo nula)
lichý ± lichý = sudý (nebo nula)
dokonce × nenulové integer = even[13]

Vytvoření výjimky pro nulu v definici rovnoměrnosti nutí člověka dělat takové výjimky v pravidlech pro sudá čísla. Z jiného úhlu pohledu si pravidla podřízená kladnými sudými čísly a vyžadující, aby i nadále platila pro celá čísla, nutí obvyklou definici a rovnoměrnost nuly.[12]

Matematické kontexty

Nespočet výsledků v teorie čísel vyvolat základní teorém aritmetiky a algebraické vlastnosti sudých čísel, takže výše uvedené volby mají dalekosáhlé důsledky. Například skutečnost, že kladná čísla jsou jedinečná faktorizace znamená, že lze určit, zda má číslo sudý nebo lichý počet odlišných prvočísel. Protože 1 není prvočíslo, ani nemá prvočíselné faktory, je součin 0 odlišné prvočísla; protože 0 je sudé číslo, 1 má sudý počet odlišných prvočísel. To znamená, že Möbiova funkce bere hodnotu μ (1) = 1, což je nutné, aby to bylo a multiplikativní funkce a pro Möbioův inverzní vzorec pracovat.[14]

Není divné

Číslo n je liché, pokud existuje celé číslo k takhle n = 2k + 1. Jedním ze způsobů, jak dokázat, že nula není lichá, je rozporem: pokud 0 = 2k + 1 pak k = −1/2, což není celé číslo.[15] Protože nula není lichá, pokud se prokáže, že neznámé číslo je liché, pak to nemůže být nula. Toto zjevně banální pozorování může poskytnout pohodlný a odhalující důkaz vysvětlující, proč je liché číslo nenulové.

Klasický výsledek teorie grafů uvádí, že a graf liché objednat (s lichým počtem vrcholů) má vždy alespoň jeden vrchol sudého stupně. (Samotné prohlášení vyžaduje, aby byla nula sudá: the prázdný graf má sudý řád a izolovaný vrchol má vyrovnaný titul.)[16] Abychom dokázali tvrzení, je ve skutečnosti snazší dokázat silnější výsledek: jakýkoli lichý graf má an liché číslo sudých vrcholů stupňů. Vzhled tohoto lichého čísla je vysvětlen ještě obecnějším výsledkem, známým jako handmaking lemma: jakýkoli graf má sudý počet vrcholů lichého stupně.[17] Nakonec sudý počet lichých vrcholů přirozeně vysvětluje vzorec součtu stupňů.

Spernerovo lemma je pokročilejší aplikace stejné strategie. Lema říká, že určitý druh zbarvení na triangulace a simplexní má subsimplex, který obsahuje všechny barvy. Spíše než přímo konstruovat takový subsimplex, je pohodlnější dokázat, že existuje lichý počet takových subsimplices prostřednictvím indukce argument.[18] Silnější tvrzení o lemmatu pak vysvětluje, proč je toto číslo liché: přirozeně se rozpadá jako (n + 1) + n když jeden uvažuje o dvou možných orientace simplexu.[19]

Sudé-liché střídání

0-> 1-> 2-> 3-> 4-> 5-> 6 -> ... ve střídavých barvách
Rekurzivní definice parity přirozeného čísla

Skutečnost, že nula je sudá, spolu se skutečností, že se sudá a lichá čísla střídají, stačí k určení parity všech ostatních přirozené číslo. Tuto myšlenku lze formalizovat do podoby rekurzivní definice množiny sudých přirozených čísel:

  • 0 je sudé.
  • (n + 1) je, i když a jen tehdy n není.

Tato definice má koncepční výhodu spočívající pouze v minimálních základech přirozených čísel: existenci 0 a nástupci. Jako takový je užitečný pro počítačové logické systémy, jako je LF a Prokazatel věty Isabelle.[20] S touto definicí není rovnoměrnost nuly teorém, ale axiom. Ve skutečnosti může být „nula sudé číslo“ interpretováno jako jedno z Peanoovy axiomy, jehož vzorem jsou sudá přirozená čísla.[21] Podobná konstrukce rozšiřuje definici parity transfinitovat řadové číslovky: každý mezní pořadové číslo je sudé, včetně nuly, a nástupci sudých ordinálů jsou liché.[22]

Nekonvexní polygon proniknutý šipkou, označený 0 na vnější straně, 1 na vnitřní straně, 2 na vnější straně atd.
Bod v polygonovém testu

Klasika bod v mnohoúhelníku test od výpočetní geometrie aplikuje výše uvedené myšlenky. Chcete-li zjistit, zda bod leží uvnitř a polygon, jeden vrhá a paprsek z nekonečna do bodu a počítá, kolikrát paprsek překročil okraj mnohoúhelníku. Číslo křížení je sudé a pouze tehdy, pokud je bod mimo mnohoúhelník. Tento algoritmus funguje, protože pokud paprsek nikdy nepřekročí mnohoúhelník, pak je jeho číslo křížení nula, což je sudé, a bod je venku. Pokaždé, když paprsek protne mnohoúhelník, číslo křížení se střídá mezi sudým a lichým a bod na jeho špičce se střídá mezi vnějším a vnitřním.[23]

Graf s 9 vrcholy, střídajícími se barvami, označený vzdáleností od vrcholu vlevo
Vytvoření bipartice

V teorii grafů, a bipartitní graf je graf, jehož vrcholy jsou rozděleny na dva barvy, takže sousední vrcholy mají různé barvy. Pokud připojeno graf nemá žádné liché cykly, pak biparticii lze zkonstruovat výběrem základního vrcholu proti a vybarvení každého vrcholu černou nebo bílou, podle toho, zda je vzdálenost z proti je sudé nebo liché. Protože vzdálenost mezi proti a sám je 0 a 0 je sudý, základní vrchol je zbarven odlišně od jeho sousedů, kteří leží ve vzdálenosti 1.[24]

Algebraické vzory

Celá čísla −4 až +4 uspořádaná do vývrtky s přímkou ​​procházející rovinami
2Z (modrá) jako podskupina Z

v abstraktní algebra, sudá celá čísla tvoří různá algebraické struktury které vyžadují zahrnutí nuly. Skutečnost, že aditivní identita (nula) je sudá, spolu s rovnoměrností součtů a aditivní inverze sudých čísel a asociativita navíc znamená, že sudá celá čísla tvoří a skupina. Navíc skupina sudých celých čísel po přidání je a podskupina skupiny všech celých čísel; toto je základní příklad konceptu podskupiny.[16] Dřívější pozorování, že pravidlo „sudé - sudé = sudé“ nutí 0 být sudé, je součástí obecného vzorce: libovolný neprázdný podmnožina skupiny aditiv, která je uzavřeno pod odečet musí být podskupinou a zejména musí obsahovat znak identita.[25]

Jelikož sudá celá čísla tvoří podskupinu celých čísel, jsou rozdělit celá čísla do kosety. Tyto kosety lze popsat jako třídy ekvivalence z následujícího vztah ekvivalence: X ~ y -li (X − y) je sudý. Rovnoměrnost nuly se zde přímo projevuje jako reflexivita z binární relace ~.[26] Existují pouze dva kosety této podskupiny - sudá a lichá čísla - takže ano index 2.

Analogicky střídavá skupina je podskupina indexu 2 v symetrická skupina na n písmena. Prvky střídavé skupiny, tzv dokonce i obměny, jsou produkty sudého počtu transpozice. The mapa identity, an prázdný produkt bez transpozic, je sudá permutace, protože nula je sudá; je to prvek identity skupiny.[27]

Pravidlo „sudé × celé číslo = sudé“ znamená, že sudá čísla tvoří ideál v prsten celých čísel a výše uvedený vztah ekvivalence lze popsat jako ekvivalence modulo tento ideál. Zejména i celá čísla jsou přesně ta celá čísla k kde k ≡ 0 (mod 2). Tato formulace je užitečná pro vyšetřování celého čísla nuly z polynomy.[28]

2-adic pořadí

Existuje pocit, že některé násobky 2 jsou „rovnoměrnější“ než jiné. Jsou volány násobky 4 dvojnásobně rovnoměrné, protože je lze dvakrát rozdělit na 2. Nejen, že nula je dělitelná 4, nula má jedinečnou vlastnost, že je dělitelná všemi síla 2, takže v „rovnoměrnosti“ překonává všechna ostatní čísla.[1]

Jeden důsledek této skutečnosti se objevuje v bitově obrácené objednávání z celočíselné datové typy používané některými počítačovými algoritmy, například Cooley – Tukey rychlá Fourierova transformace. Toto uspořádání má tu vlastnost, že čím dál nalevo se první 1 vyskytuje v čísle binární expanze, nebo čím vícekrát je dělitelná 2, tím dříve se objeví. Obrácení bitů nuly je stále nulové; může být děleno 2 libovolným počtem opakování a jeho binární expanze neobsahuje žádné 1 s, takže je vždy na prvním místě.[29]

Přestože je 0 dělitelné 2krát více než jakékoli jiné číslo, není snadné přesně vyčíslit, kolikrát to je. Pro jakékoli nenulové celé číslo n, lze definovat 2-adic pořadí z n kolikrát n je dělitelné 2. Tento popis nefunguje pro 0; bez ohledu na to, kolikrát je vyděleno 2, vždy to může být vyděleno znovu 2. Obvyklou konvencí je spíše nastavení 2 řádu na 0 nekonečno jako zvláštní případ.[30] Tato konvence není zvláštní pro 2-řád; je to jeden z axiomů aditiva ocenění ve vyšší algebře.[31]

Síly dvou - 1, 2, 4, 8, ... - jsou jednoduché sekvence čísel zvyšujícího se 2 řádu. V 2-adická čísla, takové sekvence ve skutečnosti konvergovat na nulu.[32]

Vzdělávání

Sloupcový graf; viz popis v základním textu
Procento odpovědí v průběhu času[33]

Subjekt parity nula je často léčen během prvních dvou nebo tří let roku základní vzdělání, protože je představen a vyvinut koncept sudých a lichých čísel.[34]

Znalosti studentů

Graf vpravo[33] zobrazuje víry dětí o paritě nuly, jak postupují od Rok 1 na Rok 6 z Anglický vzdělávací systém. Data pocházejí od Lena Frobishera, který provedl dvojici průzkumů anglických školáků. Frobisher se zajímal o to, jak se znalost jednociferné parity převádí na znalost víceciferné parity, a ve výsledcích prominentně figurovaly nulové hodnoty.[35]

V předběžném průzkumu mezi téměř 400 sedmiletými si vybralo 45% dokonce přes zvláštní při dotazu na paritu nula.[36] Následné šetření nabídlo více možností: ani, oba, a nevím. Tentokrát počet dětí ve stejném věkovém rozmezí, které identifikují nulu jako dokonce, klesl na 32%.[37] Úspěch při rozhodování o tom, že nula je dokonce zpočátku vystřelí nahoru a poté se v letech 3 až 6 sníží na přibližně 50%.[38] Pro srovnání, nejjednodušší úkol, identifikace parity jedné číslice, se snižuje přibližně na 85% úspěšnosti.[39]

V rozhovorech Frobisher vyvolal úvahy studentů. Jeden pátý rok rozhodl, že 0 je i proto, že byla nalezena na 2 tabulka časů. Pár čtvrtých let si uvědomilo, že nulu lze rozdělit na stejné části. Další čtvrtý rok s odůvodněním „1 je lichý, a když půjdu dolů, je sudý.“[40] Rozhovory také odhalily mylné představy za nesprávnými odpověďmi. Druhý ročník byl „docela přesvědčen“, že nula je lichá, na základě toho, že „je to první číslo, které počítáte“.[41] Čtvrtý ročník označoval 0 jako „žádný“ a myslel si, že to není ani liché, ani sudé, protože „to není číslo“.[42] V jiné studii pozorovala Annie Keith třídu 15 druhá třída studenti, kteří se navzájem přesvědčili, že nula je sudé číslo na základě sudého a lichého střídání a možnosti rozdělit skupinu nulových věcí do dvou stejných skupin.[43]

Podrobnější vyšetřování provedly Esther Levensonová, Pessia Tsamirová a Dina Tiroshová, které pohovorovaly s dvojicí studentů šestého ročníku v USA, kteří ve třídě matematiky dosahovali vynikajících výsledků. Jeden student preferoval deduktivní vysvětlení matematických tvrzení, zatímco druhý preferoval praktické příklady. Oba studenti si původně mysleli, že 0 není z různých důvodů ani sudá, ani lichá. Levenson a kol. demonstrovali, jak uvažování studentů odráží jejich koncepty nuly a dělení.[44]

Nároky studentů[45]
"Nula není sudá nebo lichá."
"Nula by mohla být vyrovnaná."
"Nula není zvláštní."
"Nula musí být sudá."
"Nula není sudé číslo."
"Nula bude vždy sudé číslo."
"Nula nebude vždy sudé číslo."
"Nula je sudá."
"Nula je zvláštní."

Deborah Loewenberg Ball analyzoval představy studentů třetího ročníku o sudých a lichých číslech a nule, o kterých právě diskutovali se skupinou žáci čtvrtého ročníku. Studenti diskutovali o paritě nuly, pravidlech pro sudá čísla a o tom, jak se dělá matematika. Tvrzení o nule měla mnoho podob, jak je vidět v seznamu vpravo.[45] Ball a její spoluautoři tvrdili, že epizoda demonstrovala, jak mohou studenti „dělat matematiku ve škole“, na rozdíl od obvyklé redukce disciplíny na mechanické řešení cvičení.[46]

Jedním z témat výzkumné literatury je napětí mezi koncepční obrázky parity a jejich pojmové definice.[47] Žáci šestého ročníku Levensona a spol. Definovali sudá čísla jako násobky 2 nebo čísla dělitelná 2, ale zpočátku nebyli schopni tuto definici použít na nulu, protože si nebyli jisti, jak nulu vynásobit nebo vydělit 2. Tazatel nakonec je vedlo k závěru, že nula byla sudá; studenti se k tomuto závěru vydali různými cestami a čerpali z kombinace obrázků, definic, praktických vysvětlení a abstraktních vysvětlení. V jiné studii zkoumali David Dickerson a Damien Pitman použití definic pěti pokročilými vysokoškolák matematika velké společnosti. Zjistili, že vysokoškoláci byli z velké části schopni aplikovat definici „sudého“ na nulu, ale stále je nepřesvědčovala tato úvaha, protože byla v rozporu s jejich koncepčními obrazy.[48]

Znalosti učitelů

Výzkumníci z matematické vzdělávání na Michiganská univerzita zahrnovali výzvu typu „pravdivé nebo nepravdivé“ „0 je sudé číslo“ do databáze více než 250 otázek určených k měření znalostí učitelů o obsahu. Tato otázka je pro ně příkladem „všeobecných znalostí ..., které by měl mít každý vzdělaný dospělý“, a je „ideologicky neutrální“ v tom, že odpověď se neliší mezi tradiční a reformní matematika. Ve studii 2000–2004 se 700 učiteli primárního vzdělávání v EU Spojené státy, celkový výkon v těchto otázkách významně předpovídal vylepšení studentů standardizovaný test skóre po absolvování tříd učitelů.[49] V podrobnější studii z roku 2008 našli vědci školu, kde si všichni učitelé mysleli, že nula není ani lichá, ani sudá, včetně jednoho učitele, který byl příkladem všech ostatních opatření. Mylnou představu rozšířil trenér matematiky v jejich budově.[50]

Není jisté, kolik učitelů má mylné představy o nule. Studie z Michiganu nezveřejnily údaje pro jednotlivé otázky. Betty Lichtenberg, docentka matematického vzdělávání na University of South Florida, ve studii z roku 1972 uvedli, že když skupina potenciálních učitelů základních škol byla podrobena testu pravdivé nebo nepravdivé, včetně položky „Nula je sudé číslo“, shledali ji jako „záludnou otázku“ s přibližně dvěma třetinami odpověď „False“.[51]

Důsledky pro poučení

Matematicky je prokázání, že nula je sudá, jednoduchou záležitostí použití definice, ale v kontextu vzdělávání je zapotřebí více vysvětlení. Jedna otázka se týká základů důkazu; definice „sudého“ jako „celočíselného násobku 2“ není vždy vhodná. Student v prvních ročnících primárního vzdělávání se možná ještě nenaučil, co znamená „celé číslo“ nebo „vícenásobné“, natož jak znásobit 0.[52] Stanovení definice parity pro všechna celá čísla se navíc může jevit jako libovolná koncepční zkratka, pokud byla dosud vyšetřovaná pouze sudá čísla pozitivní. Může pomoci uznat, že jelikož je koncepce čísel rozšířena z kladných celých čísel tak, aby zahrnovala nulová a záporná celá čísla, vlastnosti čísel, jako je parita, jsou také rozšířeny netriviálním způsobem.[53]

Numerické poznání

Čísla 0-8, dvakrát opakovaná, ve složitém uspořádání; 0 jsou nahoře, oddělené tečkovanou čarou
Statistická analýza experimentálních dat, ukazující oddělení 0. V tomto nejmenší prostorová analýza, smysluplné je pouze seskupení dat; osy jsou libovolné.[54]

Dospělí, kteří věří, že nula je rovnoměrná, si přesto mohou být vědomi toho, že ji považují za rovnoměrnou, natolik, aby je měřitelně zpomalili reakční čas experiment. Stanislas Dehaene, průkopník v oblasti numerické poznání, vedl na začátku 90. let řadu takových experimentů. A číslice nebo a číselné slovo bliká na objekt na a monitor a počítač zaznamenává čas potřebný k tomu, aby subjekt stiskl jedno ze dvou tlačítek a identifikoval číslo jako liché nebo sudé. Výsledky ukázaly, že zpracování 0 bylo pomalejší než u jiných sudých čísel. Některé varianty experimentu zjistily zpoždění až 60 milisekundy nebo asi 10% průměrné reakční doby - malý rozdíl, ale významný.[55]

Dehaeneovy experimenty nebyly navrženy konkrétně k prozkoumání 0, ale k porovnání konkurenčních modelů, jak jsou paritní informace zpracovávány a extrahovány. Nejkonkrétnější model, hypotéza mentálního výpočtu, naznačuje, že reakce na 0 by měly být rychlé; 0 je malé číslo a lze jej snadno vypočítat 0 × 2 = 0. (Je známo, že subjekty počítají a pojmenovávají výsledek násobení nulou rychleji než násobení nenulových čísel, i když pomaleji ověřují navrhované výsledky, jako 2 × 0 = 0Výsledky experimentů naznačují, že se děje něco úplně jiného: informace o paritě byly zjevně vyvolávány z paměti spolu se shlukem souvisejících vlastností, jako například primární nebo a síla dvou. Posloupnost mocnin dvou a posloupnost kladných sudých čísel 2, 4, 6, 8, ... jsou dobře rozlišitelné mentální kategorie, jejichž členy jsou prototypicky sudé. Nula nepatří do žádného seznamu, proto jsou pomalejší reakce.[56]

Opakované experimenty ukázaly zpoždění na nule u subjektů s různým věkem a národním a jazykovým pozadím, konfrontovaných s názvy čísel v číslice formu, upřesněn a napsán v zrcadlovém obrazu. Dehaeneova skupina našla jeden rozlišující faktor: matematické znalosti. V jednom ze svých experimentů studenti v École Normale Supérieure byli rozděleni do dvou skupin: studenti literární vědy a studenti matematiky, fyziky nebo biologie. Zpomalení na 0 bylo „v zásadě nalezeno ve [literární] skupině“ a ve skutečnosti „před experimentem si někteří L subjekty nebyli jisti, zda je 0 lichá nebo sudá, a bylo třeba jim připomenout matematickou definici“.[57]

Tato silná závislost na známosti opět podkopává hypotézu mentálního výpočtu.[58] Efekt také naznačuje, že je nevhodné zahrnout nulu do experimentů, kde se sudá a lichá čísla porovnávají jako skupina. Jak uvádí jedna studie: „Zdá se, že většina vědců souhlasí s tím, že nula není typickým sudým číslem a neměla by být zkoumána jako součást řady mentálních čísel.“[59]

Každodenní kontexty

Některé z kontextů, kde se objevuje parita nuly, jsou čistě rétorické. Toto číslo poskytuje materiál pro Internet vývěsky a weby s odborníky.[60] Lingvista Joseph Grimes uvažuje, že se ptá: „Je nula sudé číslo? k manželským párům je dobrý způsob, jak je přimět k nesouhlasu.[61] Lidé, kteří si myslí, že nula není ani sudá, ani lichá, mohou použít paritu nuly jako důkaz, že každé pravidlo má a protiklad,[62] nebo jako příklad a chyták.[63]

Kolem roku 2000 zaznamenala média dva neobvyklé milníky: „1999/11/19“ byl poslední kalendářní datum složený ze všech lichých číslic, které by se vyskytly po velmi dlouhou dobu, a že „2000/02/02“ bylo první all-even datum, které se vyskytlo za velmi dlouhou dobu.[64] Vzhledem k tomu, že tyto výsledky využívají sudé 0, někteří čtenáři s touto myšlenkou nesouhlasili.[65]

v standardizované testy, pokud se otázka zeptá na chování sudých čísel, může být nutné mít na paměti, že nula je sudá.[66] Oficiální publikace týkající se GMAT a GRE testy oba uvádějí, že 0 je sudá.[67]

Parita nula je relevantní pro liché - sudé přidělování, ve kterých mohou automobily řídit nebo nakupovat benzín ve střídavé dny, podle parity poslední číslice v jejich poznávací značky. Polovina čísel v daném rozsahu končí 0, 2, 4, 6, 8 a druhá polovina 1, 3, 5, 7, 9, takže má smysl zahrnout 0 s ostatními sudými čísly. V roce 1977 však pařížský přídělový systém vedl ke zmatku: v lichý den se policie vyhnula pokutování řidičů, jejichž desky skončily nulou, protože nevěděli, zda je 0 sudá.[68] Aby se předešlo takovým nejasnostem, příslušné právní předpisy někdy stanoví, že nula je sudá; takové zákony byly přijaty Nový Jížní Wales[69] a Maryland.[70]

Na plavidlech amerického námořnictva se na lodi nacházejí sudé oddíly přístav strana, ale nula je vyhrazena pro oddíly, které protínají středovou čáru. To znamená, že čísla čtou 6-4-2-0-1-3-5 z portu na pravobok.[71] Ve hře ruleta, číslo 0 se nepočítá jako sudé nebo liché, což dává kasino výhoda na takové sázky.[72] Podobně může parita nuly ovlivnit výplaty v prop sázky když výsledek závisí na tom, zda je nějaké randomizované číslo liché nebo sudé, a ukáže se, že je nula.[73]

Hra „šance a vyrovnání „je to také ovlivněno: pokud oba hráči hodí nula prstů, celkový počet prstů je nula, takže vyhrává sudý hráč.[74] Jedna příručka pro učitele navrhuje hrát tuto hru jako způsob, jak dětem představit koncept, že 0 je dělitelné dvěma.[75]

Reference

  1. ^ A b Arnold 1919, str. 21 „Stejným testem nula překonává všechna čísla v„ rovnoměrnosti “.“; Wong 1997, str. 479 "Tedy celé číslo b000⋯000 = 0 je nejrovnoměrnější.
  2. ^ Penner 1999, str. 34: Lemma B.2.2, Celé číslo 0 je sudé a není liché. Penner používá matematický symbol ∃, existenční kvantifikátor, uvést důkaz: „Abychom viděli, že 0 je sudá, musíme to dokázat ∃k (0 = 2k), a to vyplývá z rovnosti 0 = 2 ⋅ 0."
  3. ^ Ball, Lewis & Thames (2008, str. 15) diskutovat o této výzvě pro učitele základních škol, kteří chtějí matematicky vysvětlit matematické fakty, ale jejichž studenti nepoužívají stejnou definici, ani by jí nerozuměli, kdyby byla zavedena.
  4. ^ Porovnat Lichtenberg (1972, str. 535) Obr
  5. ^ Lichtenberg 1972, str. 535–536 "... čísla odpovídají na otázku Kolik? pro množinu objektů ... nula je vlastnost čísla prázdné množiny ... Pokud jsou prvky každé množiny označeny ve skupinách po dvou ... pak je číslo této sady sudé číslo. “
  6. ^ Lichtenberg 1972, str. 535–536 „Nulové skupiny dvou hvězd jsou zakroužkovány. Žádné hvězdy nezůstaly. Proto je nula sudé číslo.“
  7. ^ Dickerson a Pitman 2012, str. 191.
  8. ^ Lichtenberg 1972, str. 537; srovnejte ji s obr. 3. "Pokud jsou sudá čísla identifikována nějakým zvláštním způsobem ... vůbec není důvod vynechat ze vzoru nulu."
  9. ^ Lichtenberg 1972, str. 537–538 „Na pokročilejší úrovni ... čísla vyjádřená jako (2 × ▢) + 0 jsou sudá čísla ... nula do tohoto vzoru pěkně zapadá. “
  10. ^ Caldwell & Xiong 2012, s. 5–6.
  11. ^ Gowers 2002, str. 118 „Zdánlivě svévolné vyloučení čísla 1 z definice prvočísla… nevyjadřuje hluboký fakt o číslech: je to jen užitečná konvence přijatá, takže existuje jen jeden způsob, jak rozdělit libovolné dané číslo na prvočísla.“ Podrobnější diskuse viz Caldwell & Xiong (2012).
  12. ^ A b C Partee 1978, str. xxi
  13. ^ A b Stewart 2001, str. 54 Tato pravidla jsou uvedena, ale nejsou uvedena doslovně.
  14. ^ Devlin 1985, str. 30–33
  15. ^ Penner 1999, str. 34.
  16. ^ A b Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 Izolované vrcholy viz str. 149; pro skupiny viz str. 311.
  17. ^ Lovász, Pelikán & Vesztergombi 2003, s. 127–128
  18. ^ Starr 1997, str. 58–62
  19. ^ Hranice 1985, s. 23–25
  20. ^ Lorentz 1994, s. 5–6; Lovas & Pfenning 2008, str. 115; Nipkow, Paulson & Wenzel 2002, str. 127
  21. ^ Bunch 1982, str. 165
  22. ^ Salzmann a kol. 2007, str. 168
  23. ^ Wise 2002, s. 66–67
  24. ^ Anderson 2001, str. 53; Hartsfield & Ringel 2003, str. 28
  25. ^ Dummit & Foote 1999, str. 48
  26. ^ Andrews 1990, str. 100
  27. ^ Tabachnikova & Smith 2000, str. 99; Anderson a Feil 2005, str. 437–438
  28. ^ Barbeau 2003, str. 98
  29. ^ Wong 1997, str. 479
  30. ^ Gouvêa 1997, str. 25 Obecného prime str: "Důvodem je, že můžeme určitě vydělit 0 str, a odpověď je 0, kterou můžeme rozdělit str, a odpověď je 0, kterou můžeme rozdělit str… “(Elipsa v originále)
  31. ^ Krantz 2001, str. 4
  32. ^ Salzmann a kol. 2007, str. 224
  33. ^ A b Frobisher 1999, str. 41
  34. ^ Toto je časový rámec ve Spojených státech, Kanadě, Velké Británii, Austrálii a Izraeli; vidět Levenson, Tsamir a Tirosh (2007, str. 85).
  35. ^ Frobisher 1999, s. 31 (úvod); 40–41 (číslo nula); 48 (Důsledky pro výuku)
  36. ^ Frobisher 1999, str. 37, 40, 42; výsledky jsou z průzkumu provedeného v poloviněletní semestr z roku 1992.
  37. ^ Frobisher 1999, str. 41 „Procento dětí z 2. ročníku, které se rozhodly, že nula je sudé číslo, je mnohem nižší než v předchozí studii, 32 procent oproti 45 procentům“
  38. ^ Frobisher 1999, str. 41 „Úspěch při rozhodování o tom, že nula je sudé číslo, s věkem dále nerostl, přičemž přibližně každé druhé dítě ve 2. až 6. ročníku zařadilo do políčka„ vyrovnání “zaškrtnutí ...“
  39. ^ Frobisher 1999, s. 40–42, 47; tyto výsledky pocházejí ze studie z února 1999, která zahrnovala 481 dětí ze tří škol na různých úrovních vzdělání.
  40. ^ Frobisher 1999, str. 41, připsáno „Jonathanovi“
  41. ^ Frobisher 1999, str. 41, připsáno „Josephovi“
  42. ^ Frobisher 1999, str. 41, připsáno „Richardovi“
  43. ^ Keith 2006, s. 35–68 „Došlo k malému nesouhlasu s myšlenkou, že nula je sudé číslo. Studenti přesvědčili pár těch, kteří si nebyli jisti, dvěma argumenty. Prvním argumentem bylo, že čísla jdou ve vzoru ... liché, sudé , lichý, sudý, lichý, sudý ... a protože dva jsou sudé a jeden je lichý, pak číslo před jednou, to není zlomek, by bylo nula. Takže nula by musela být sudá. Druhým argumentem bylo, že pokud člověk má nulové věci a dal je do dvou stejných skupin, pak by v každé skupině byla nula. Tyto dvě skupiny by měly stejné množství, nula “
  44. ^ Levenson, Tsamir a Tirosh 2007, str. 83–95
  45. ^ A b Ball, Lewis & Thames 2008, str. 27, obrázek 1.5 „Matematické tvrzení o nule.“
  46. ^ Ball, Lewis & Thames 2008, str. 16.
  47. ^ Levenson, Tsamir a Tirosh 2007; Dickerson a Pitman 2012
  48. ^ Dickerson a Pitman 2012.
  49. ^ Ball, Hill & Bass 2005, s. 14–16
  50. ^ Hill a kol. 2008, str. 446–447.
  51. ^ Lichtenberg 1972, str. 535
  52. ^ Ball, Lewis & Thames 2008, str. 15. Viz také Ball's keynote pro další diskusi o vhodných definicích.
  53. ^ Jak dospěl k závěru Levenson, Tsamir a Tirosh (2007, str. 93), odkazování Freudenthal (1983, str. 460)
  54. ^ Nuerk, Iversen & Willmes (2004, str. 851): „Je také vidět, že nula se výrazně liší od všech ostatních čísel bez ohledu na to, zda na ni bude reagovat levou nebo pravou rukou. (Viz řádek, který odděluje nulu od ostatních čísel.)“
  55. ^ Podívejte se na data v celém textu Dehaene, Bossini & Giraux (1993) a souhrn podle Nuerk, Iversen & Willmes (2004, str. 837).
  56. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, str. 374–376
  57. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, str. 376–377
  58. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, str. 376 „V jistém intuitivním smyslu je pojem parity známý pouze u čísel větších než 2. Ve skutečnosti si před experimentem některé subjekty L nebyly jisté, zda je 0 lichá nebo sudá, a musely si připomenout matematickou definici. ve zkratce naznačuje, že místo výpočtu za běhu pomocí kritéria dělitelnosti 2 se informace o paritě získávají z paměti spolu s řadou dalších sémantických vlastností ... Pokud je k sémantické paměti přistupováno v paritních úsudcích, pak interindividuální rozdíly by měly být nalezeny v závislosti na obeznámenosti subjektů s pojmy čísel. “
  59. ^ Nuerk, Iversen & Willmes 2004, s. 838, 860–861
  60. ^ Účastníci Matematického fóra 2000; Straight Dope Science Advisory Board 1999; Doktor Rick 2001
  61. ^ Grimes 1975, str. 156 „... lze položit následující otázky manželským párům jeho známého: (1) Je nula sudé číslo? ... Mnoho párů nesouhlasí ...“
  62. ^ Wilden & Hammer 1987, str. 104
  63. ^ Sníh 2001; Morgan 2001
  64. ^ Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
  65. ^ Sones & Sones 2002 „Z toho vyplývá, že nula je sudá a že 2/20/2000 pěkně rozluští hádanku. Přesto je vždy překvapivé, jak moc lidi trápí volání nuly dokonce ...“; Sloupec 8 čtenářů 2006a „„ ... podle matematiků není číslo nula spolu se zápornými čísly a zlomky ani sudé, ani liché, “píše Etan ...“; Sloupec 8 čtenářů 2006b „„ Souhlasím s tím, že nula je sudá, ale je moudré, aby to profesor Bunder „dokázal“ tvrzením, že 0 = 2 x 0? Logikou (od PhD v matematické logice, ne méně), protože 0 = 1 x 0, je to také zvláštní! “ Profesor to popře a logicky pro to má pevný základ, ale toto téma můžeme nosit trochu hubeně ... “
  66. ^ Zaměstnanci společnosti Kaplan 2004, str. 227
  67. ^ Rada pro přijímací řízení absolventů 2005 108, 295–297; Vzdělávací testovací služba 2009, str. 1
  68. ^ Arsham 2002; Nabídka je přičítána heute vysílání 1. října 1977. Účet Arshamu se opakuje Crumpacker (2007, str. 165).
  69. ^ Sones & Sones 2002 "Penn State mathematician George Andrews, who recalls a time of gas rationing in Australia ... Then someone in the New South Wales parliament asserted this meant plates ending in zero could never get gas, because 'zero is neither odd nor even. So the New South Wales parliament ruled that for purposes of gas rationing, zero is an even number!'"
  70. ^ A 1980 Maryland law specifies, "(a) On even numbered calendar dates gasoline shall only be purchased by operators of vehicles bearing personalized registration plates containing no numbers and registration plates with the last digit ending in an even number. This shall not include ham radio operator plates. Zero is an even number; (b) On odd numbered calendar dates ..." Partial quotation taken from Department of Legislative Reference (1974), Laws of the State of Maryland, Volume 2, str. 3236, vyvoláno 2. června 2013
  71. ^ Cutler 2008, str. 237–238
  72. ^ Brisman 2004, str. 153
  73. ^ Smock 2006; Hohmann 2007; Turner 1996
  74. ^ Diagram Group 1983, str. 213
  75. ^ Baroody & Coslick 1998, str. 1.33

Bibliografie

externí odkazy