Newtonovské motivace pro obecnou relativitu - Newtonian motivations for general relativity

Některé základní pojmy obecná relativita lze nastínit mimo relativistické doména. Zejména myšlenka, že masová energie generuje zakřivení v prostor a že zakřivení ovlivňuje pohyb hmot lze ilustrovat na a Newtonian nastavení. Používáme kruhové dráhy jako náš prototyp. To má tu výhodu, že známe kinetiku kruhových drah. To nám umožňuje přímo vypočítat zakřivení oběžných drah v prostoru a porovnat výsledky s dynamickými silami.

Část série článků o
Obecná relativita
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Měřítko relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

Ekvivalence gravitační a setrvačné hmoty

Unikátní vlastností gravitační síly je, že všechny hmotné objekty zrychlují stejným způsobem v gravitačním poli. To se často vyjadřuje jako „Gravitační hmotnost se rovná setrvačné hmotnosti.“ To nám umožňuje uvažovat o gravitaci jako o zakřivení vesmírný čas.^{[Citace je zapotřebí ]}

Vyzkoušejte rovinnost v časoprostoru

Pokud zpočátku paralelní dráhy dvou částic na blízkých geodetikách zůstávají paralelní s určitou přesností, pak je časoprostor v této přesnosti plochý. [Ref. 2, s. 30]

Dvě blízké částice v radiálním gravitačním poli

Newtonovská mechanika pro kruhové dráhy

Kruhové dráhy ve stejném poloměru.

Geodetické a polní rovnice pro kruhové dráhy

Zvažte situaci, ve které jsou poblíž dvě částice oběžník polární oběžné dráhy Země v poloměru ${displaystyle r}$ a rychlost ${displaystyle v}$. Jelikož jsou oběžné dráhy kruhové, musí se gravitační síla na částice rovnat dostředivá síla,

${displaystyle {v ^ {2} nad r} = {GM nad r ^ {2}}}$

kde G je gravitační konstanta a ${displaystyle M}$ je Hmotnost ze země.

Částice se vykonají jednoduchý harmonický pohyb o zemi a vůči sobě navzájem. Při překročení rovníku jsou od sebe v maximální vzdálenosti. Jejich trajektorie protínají se u pólů.

Z Newtonův gravitační zákon separační vektor ${displaystyle mathbf {h}}$ lze ukázat, že je dána „geodetickou rovnicí“

${displaystyle {d ^ {2} mathbf {h} nad d au ^ {2}} + Rmathbf {h} = 0}$

kde ${displaystyle R = {1 nad r ^ {2}} {v ^ {2} nad c ^ {2}}}$ je zakřivení trajektorie a ${displaystyle au = ct}$ je rychlost světla c krát čas.

Zakřivení trajektorie je generováno hmotou Země ${displaystyle M}$. To představuje „polní rovnice“

${displaystyle R = {GM přes {r ^ {3}}}}$

V tomto příkladu je rovnice pole jednoduše vyjádřením newtonovské koncepce, že dostředivá síla se rovná gravitační síle pro kruhové dráhy. Tento výraz označujeme jako rovnici pole, abychom zvýraznili podobnosti s Einsteinova rovnice pole. Tato rovnice je v mnohem jiné formě než Gaussův zákon, což je obvyklá charakteristika polní rovnice v newtonovské mechanice.

Poloha pohybující se částice vzhledem k částice v klidu v souběžně se pohybujícím referenčním rámci.

Vztah mezi zakřivením a hustotou hmoty

Hmotnost lze psát z hlediska průměrné hustoty hmoty ${displaystyle ho (r)}$ uvnitř koule o poloměru ${displaystyle r}$ výrazem

${displaystyle M = {4pi ho (r) r ^ {3} nad 3}}$.

Polní rovnice se stává

${displaystyle R = {4pi G nad {3}} ho (r)}$.

Zakřivení trajektorií částic je úměrné hustotě hmoty.

Místní měření

Požadavkem obecné relativity je, že všechna měření musí být prováděna lokálně. Můžeme si tedy představit, že částice jsou uvnitř kosmické lodi bez oken, která obíhá kolem Země s těžiště kosmické lodi shodné s jednou z částic. Tato částice by byla v klidu s ohledem na kosmickou loď. Pozorovatel v kosmické lodi by neměl žádné náznaky, že plavidlo obíhá kolem Země. Pozorovatel smí měřit pouze chování částic v rámu plavidla.

V tomto příkladu můžeme definovat lokální souřadnicový systém tak, že ${displaystyle z}$- směr je ke stropu plavidla a toto je směrováno podél ${displaystyle mathbf {r}}$. The ${displaystyle x}$-směr je směrem k přední části plavidla a je ve směru ${displaystyle mathbf {v}}$. The ${displaystyle y}$- směr je k levé straně plavidla.

V tomto rámci vektor ${displaystyle mathbf {h}}$ je poziční vektor pro druhou částici. Pozorovatel v plavidle by si myslel, že druhá částice kmitá v a potenciální studna generované gravitačním polem. Toto je příklad a zrychlení souřadnic díky volbě rámů na rozdíl od fyzického zrychlení v důsledku skutečných sil.

Obecný pohyb v zemském gravitačním poli

Eliptické a hyberbolické trajektorie

Koplanární eliptické dráhy. Částice na vnější oběžné dráze cestují pomaleji než částice na vnitřní oběžné dráze. Rozdělí se časem.

Obecněji se částice pohybují dovnitř eliptický nebo hyberbolický trajektorie v rovině, která obsahuje střed Země. Oběžné dráhy nemusí být oběžník. I v těchto situacích lze získat intuitivní geodetické a polní rovnice [viz 2, kapitola 1]. Na rozdíl od kruhových drah však není rychlost částic v eliptických nebo hyperbolických trajektoriích konstantní. Nemáme tedy konstantní rychlost, pomocí které bychom mohli měnit zakřivení. Proto v očekávání přechodu k relativistické mechanice jsou trajektorie a křivky zmenšeny s rychlost světla ${displaystyle c}$.

Z Newtonova gravitačního zákona

${displaystyle {d ^ {2} mathbf {r} nad dt ^ {2}} = - {GM nad r ^ {3}} mathbf {r}}$

lze získat geodetickou rovnici pro oddělení dvou částic v blízkých trajektoriích

${displaystyle {d ^ {2} mathbf {h} nad d au ^ {2}} + Rmathbf {h} = 0}$

a rovnice pole

${displaystyle R = R_ {perp} = {GM nad {c ^ {2} r ^ {3}}} = {4pi G nad {3c ^ {2}}} ho (r)}$

je-li separace částic kolmá na ${displaystyle mathbf {r}}$ a

${displaystyle R = R_ {|} = - {2GM nad {c ^ {2} r ^ {3}}} = - {8pi G nad {3c ^ {2}}} ho (r)}$

pokud je oddělení rovnoběžné s ${displaystyle mathbf {r}}$. Při výpočtu ${displaystyle R_ {|}}$ poloměr byl rozšířený ve smyslu ${displaystyle mathbf {h}}$. Pouze lineární termín byl zachován.

V případě, že je separace částice radiální, je zakřivení záporné. To způsobí, že se částice spíše oddělí, než aby byly přitahovány k sobě, jako v případě, že mají stejný poloměr. To je snadné pochopit. Vnější dráhy obíhají pomaleji než vnitřní dráhy. To vede k separaci částic.

Místní souřadnicový systém

Místní „diagonální“ souřadnicový systém pro eliptickou dráhu.

Lze opět definovat lokální souřadný systém pro kosmické plavidlo, které se pohybuje s jednou z částic. The ${displaystyle z}$-směr směrem ke stropu je ve směru ${displaystyle mathbf {r}}$. The ${displaystyle x}$-směr, směrem k přední části plavidla, je kolmý na ${displaystyle mathbf {r}}$ ale stále v rovině trajektorie. Na rozdíl od kruhové oběžné dráhy toto plavidlo již nemusí nutně ukazovat ve směru rychlosti. The ${displaystyle y}$- směr je k levé straně plavidla.

Popis tenzoru

Jednoduchý diagonální rám

Geodetickou rovnici v radiálním gravitačním poli lze stručně popsat v tenzor notace [Ref. 2, s. 37] v společně se pohybujícím rámu, ve kterém je strop vesmírného plavidla v ${displaystyle mathbf {hat {r}}}$ směr

${displaystyle {d ^ {2} h ^ {i} nad ds ^ {2}} + R_ {j} ^ {i} h ^ {j} = 0}$

kde latinské indexy jsou nad prostorovými směry v co-moving systému a my jsme použili Konvence Einsteinova součtu ve kterém jsou sečteny opakované indexy. Tenzor zakřivení ${displaystyle R_ {j} ^ {i}}$ darováno

${displaystyle {egin {Vmatrix} R_ {1} ^ {1} & R_ {1} ^ {2} & R_ {1} ^ {3} R_ {2} ^ {1} & R_ {2} ^ {2} & R_ { 2} ^ {3} R_ {3} ^ {1} & R_ {3} ^ {2} & R_ {3} ^ {3} end {Vmatrix}} = {egin {Vmatrix} R_ {perp} & 0 & 0 0 & R_ { perp} & 0 0 & 0 & R_ {|} konec {Vmatrix}}}$

a separační vektor je dán vztahem

${displaystyle {egin {Vmatrix} h ^ {1} & h ^ {2} & h ^ {3} end {Vmatrix}} = {egin {Vmatrix} mathbf {h} cdot mathbf {hat {x}} & mathbf {h} cdot mathbf {hat {y}} & mathbf {h} cdot mathbf {hat {z}} end {Vmatrix}}}$

kde ${displaystyle mathbf {h} cdot mathbf {hat {x}}}$ je součástí ${displaystyle mathbf {h}}$ v ${displaystyle mathbf {hat {x}}}$ směr, ${displaystyle mathbf {h} cdot mathbf {hat {y}}}$ je složkou v ${displaystyle mathbf {hat {y}}}$ směr a ${displaystyle mathbf {h} cdot mathbf {hat {z}}}$ je složkou v ${displaystyle mathbf {hat {z}}}$ směr.

V tomto souběžném souřadném systému je tenzor zakřivení diagonální. To obecně není pravda.

Libovolná orientace lokálního rámu

Společně se pohybující kosmická loď nemá žádná okna. Pozorovatel není schopen určit, kterým směrem je ${displaystyle mathbf {hat {r}}}$ směru, ani nemůže vědět, který směr je rychlost vůči Zemi. Orientace kosmické lodi se může zcela lišit od jednoduchého souřadnicového systému, ve kterém je strop v ${displaystyle mathbf {hat {r}}}$ směr a přední část plavidla je ve směru koplanárním s poloměrem a rychlostí. Naše jednoduché souřadnice můžeme transformovat do libovolně orientovaného souřadnicového systému rotace. To však ničí diagonální povahu matice zakřivení.

Rotace se provádějí pomocí a rotační matice ${displaystyle {mathcal {C}}}$ takový, že separační vektor ${displaystyle mathbf {ar {h}}}$ souvisí s separačním vektorem před rotací ${displaystyle mathbf {h}}$ vztahem

${displaystyle {ar {h}} ^ {i} = {mathcal {M}} _ {j} ^ {i} h ^ {j}}$.

Inverzní ${displaystyle {ar {mathcal {M}}}}$ z ${displaystyle {mathcal {M}}}$ je definováno

${displaystyle {ar {mathcal {M}}} _ {j} ^ {i} {mathcal {M}} _ {k} ^ {j} = delta _ {k} ^ {i}}$,

který přináší

${displaystyle h ^ {i} = {ar {mathcal {M}}} _ {j} ^ {i} {ar {h}} ^ {j}}$.

Tady ${displaystyle delta _ {k} ^ {i}}$ je Kroneckerova delta.

Jednoduchá rotační matice, která otáčí souřadnicovou osu o úhel ${displaystyle heta}$ o ${displaystyle x}$-os je

${displaystyle {egin {Vmatrix} {mathcal {M}} _ {1} ^ {1} & {mathcal {M}} _ {1} ^ {2} & {mathcal {M}} _ {1} ^ {3 } {mathcal {M}} _ {2} ^ {1} & {mathcal {M}} _ {2} ^ {2} & {mathcal {M}} _ {2} ^ {3} {mathcal { M}} _ {3} ^ {1} & {mathcal {M}} _ {3} ^ {2} & {mathcal {M}} _ {3} ^ {3} end {Vmatrix}} = {egin { Vmatrix} 1 & 0 & 0 0 & cos (heta) & sin (heta) 0 & -sin (heta) & cos (heta) konec {Vmatrix}}}$.

Toto je rotace v rovině y-z. Inverze se získá přepnutím znaménka ${displaystyle heta}$.

Pokud matice rotace nezávisí na čase, stane se geodisická rovnice rotací

${displaystyle {d ^ {2} {ar {h}} ^ {i} nad ds ^ {2}} + {ar {R}} _ {j} ^ {i} {ar {h}} ^ {j} = 0}$

kde

${displaystyle {ar {R}} _ {j} ^ {i} = {mathcal {M}} _ {k} ^ {i} R_ {l} ^ {k} {ar {mathcal {M}}} _ { j} ^ {l}}$.

Zakřivení v novém souřadném systému není diagonální. Inverzní problém transformace libovolného souřadného systému na diagonální systém lze provést matematicky pomocí procesu diagonalizace.

Diagram 1. Změna pohledu na časoprostor podél světová linie rychle zrychlujícího pozorovatele. V této animaci je přerušovaná čára trajektorií časoprostoru („světová linie ") částice. Koule jsou umístěny v pravidelných intervalech správný čas po světové linii. Plné diagonální čáry jsou světelné kužely pro aktuální událost pozorovatele a protínají se v této události. Malé tečky jsou další libovolné události v časoprostoru. Pro aktuální okamžitý setrvačný referenční rámec pozorovatele označuje svislý směr čas a vodorovný směr vzdálenost. Sklon světové čáry (odchylka od svislosti) je rychlost částice v této části světové čáry. V ohybu světové linie se tedy částice zrychluje. Všimněte si, jak se pohled na časoprostor mění, když pozorovatel zrychlí a mění okamžitý setrvačný referenční rámec. Tyto změny se řídí Lorentzovými transformacemi. Všimněte si také, že:
• koule na světové linii před / po budoucích / minulých zrychleních jsou více rozmístěny kvůli časovému roztažení.
• události, které byly simultánní před zrychlením, jsou v různých časech poté (kvůli relativita simultánnosti ),
• události procházejí liniemi světelných kuželů kvůli postupu správného času, ale ne kvůli změně pohledů způsobené zrychlením a
• světová linie vždy zůstává v budoucích a minulých světelných kuželech aktuální události.

Časově závislé otáčení místního rámce: symboly Christoffel

Vesmírné plavidlo může spadnout kolem svého středu hmoty. V takovém případě je rotační matice časově závislá. Pokud je rotační matice časově závislá, pak tomu tak není dojíždět s časovou derivací.

V takovém případě lze zapsat rotaci separační rychlosti

${displaystyle {mathcal {M}} _ {i} ^ {k} {dh ^ {i} over ds} = {mathcal {M}} _ {i} ^ {k} {d {ar {mathcal {M}} } _ {j} ^ {i} {ar {h}} ^ {j} nad ds}}$

který se stává

${displaystyle {d {ar {h}} ^ {k} nad ds} + Gamma _ {j} ^ {k} {ar {h}} ^ {j} {stackrel {mathrm {def}} {=}} { D {ar {h}} ^ {k} nad Ds}}$

kde

${displaystyle Gamma _ {j} ^ {k} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {mathcal {M}} _ {i} ^ {k} {d {ar {mathcal {M}}} _ { j} ^ {i} nad ds}}$

je známý jako Christoffelův symbol.

Geodetická rovnice se stává

${displaystyle {D ^ {2} {ar {h}} ^ {i} nad Ds ^ {2}} + {ar {R}} _ {j} ^ {i} {ar {h}} ^ {j} = 0}$,

což je stejné jako dříve s výjimkou, že deriváty byly zobecněny.

Libovolnost zakřivení

Rychlost v rámu kosmické lodi lze psát

${displaystyle {ar {u}} ^ {i} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {D {ar {h}} ^ {i} nad Ds}}$.

Geodetická rovnice se stává

${displaystyle {d {ar {u}} ^ {i} nad ds} + Gamma _ {j} ^ {i} {ar {u}} ^ {j} + {ar {R}} _ {j} ^ { i} {ar {h}} ^ {j} = 0}$.

${displaystyle {d ^ {2} {ar {h}} ^ {i} nad ds ^ {2}} + 2Gamma _ {j} ^ {i} {d {ar {h}} ^ {i} nad ds} + {dGamma _ {j} ^ {i} nad ds} {ar {h}} ^ {j} + Gamma _ {j} ^ {i} Gamma _ {k} ^ {j} {ar {h}} ^ {k} + {ar {R}} _ {j} ^ {i} {ar {h}} ^ {j} = 0}$.

V libovolně rotující kosmické lodi je zakřivení vesmíru způsobeno dvěma termíny, jedním v důsledku hustoty hmoty a druhým v důsledku svévolné rotace kosmické lodi. Libovolná rotace je nefyzická a musí být eliminována v jakékoli skutečné fyzikální gravitační teorii. V obecné relativitě se to děje pomocí procesu zvaného Transport Fermi – Walker. V Euklidovský smysl, transport Fermi – Walker je prostě konstatování, že kosmická loď nesmí spadnout

${displaystyle Gamma _ {j} ^ {i} = 0}$

pro všechny já a j. Jediné povolené časově závislé rotace jsou ty generované hustotou hmoty.

Obecné geodetické a polní rovnice v newtonovském prostředí

Geodetická rovnice

${displaystyle {D ^ {2} {ar {h}} ^ {i} nad Ds ^ {2}} + {ar {R}} _ {j} ^ {i} {ar {h}} ^ {j} = 0}$

kde

${displaystyle {D over Ds} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {d over ds} + Gamma}$

a ${displaystyle Gamma}$ je Christoffelův symbol.

Polní rovnice

${displaystyle {ar {R}} _ {j} ^ {i} = {mathcal {M}} _ {k} ^ {i} R_ {l} ^ {k} {ar {mathcal {M}}} _ { j} ^ {l}}$

kde ${displaystyle {mathcal {M}} _ {j} ^ {i}}$ je rotační matice a tenzor zakřivení je

${displaystyle {egin {Vmatrix} R_ {1} ^ {1} & R_ {1} ^ {2} & R_ {1} ^ {3} R_ {2} ^ {1} & R_ {2} ^ {2} & R_ { 2} ^ {3} R_ {3} ^ {1} & R_ {3} ^ {2} & R_ {3} ^ {3} end {Vmatrix}} = {egin {Vmatrix} R_ {perp} & 0 & 0 0 & R_ { perp} & 0 0 & 0 & R_ {|} konec {Vmatrix}}}$.

Zakřivení je úměrné hustotě hmoty

${displaystyle R_ {perp} = {4pi G nad {3c ^ {2}}} ho (r)}$

${displaystyle R_ {|} = - {8pi G nad {3c ^ {2}}} ho (r)}$.

Přehled newtonovského obrazu

Geodetické a polní rovnice jsou jednoduše přepracováním Newtonova gravitačního zákona, jak je patrné z místního referenčního rámce, který se pohybuje společně s hmotou v místním rámci. Tento obrázek obsahuje mnoho prvků obecné relativity, včetně konceptu, že částice cestují po geodetice v zakřiveném prostoru (časoprostor v relativistickém případě) a že zakřivení je způsobeno přítomností hustoty hmoty (hustota hmoty / energie v relativistické případ). Tento obrázek také obsahuje některé matematické mechanismy obecné relativity jako např tenzory, Christoffel symboly, a Transport Fermi – Walker.

Relativistické zobecnění

Světová linie kruhové oběžné dráhy kolem Země znázorněná ve dvou prostorových dimenzích X a Y (rovina oběžné dráhy) a časová dimenze, obvykle uváděná jako svislá osa. Všimněte si, že oběžná dráha kolem Země je (téměř) kruh ve vesmíru, ale její světová linie je spirála v časoprostoru.

Obecná relativita zobecňuje geodetická rovnice a polní rovnice do relativistické říše, ve které jsou trajektorie ve vesmíru nahrazeny světové linky v vesmírný čas. Rovnice jsou také zobecněny na složitější zakřivení.

Viz také

Biografie

Albert Einstein

Élie Cartan

Bernhard Riemann

Enrico Fermi

Související matematika

Matematika obecné relativity

Základní úvod do matematiky zakřiveného časoprostoru

Přílivový tenzor

Rámcová pole v obecné relativitě

Reference

[1] Einstein, A. (1961). Relativita: Speciální a obecná teorie. New York: Crown. ISBN  0-517-02961-8.

[2] Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitace. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN  0-7167-0344-0.

[3] Landau, L. D. a Lifshitz, E. M. (1975). Klasická teorie polí (Čtvrté přepracované anglické vydání). Oxford: Pergamon. ISBN  0-08-018176-7.

[4] P. A. M. Dirac (1996). Obecná teorie relativity. Princeton University Press. ISBN  0-691-01146-X.