Kruhová dráha - Circular orbit

Kruhová dráha je zobrazena v levém horním kvadrantu tohoto diagramu, kde gravitační potenciál dobře centrální hmoty ukazuje potenciální energii a kinetická energie orbitální rychlosti je zobrazena červeně. Výška kinetické energie zůstává konstantní po celou dobu kruhové dráhy s konstantní rychlostí.

A kruhová dráha je obíhat s pevnou vzdáleností kolem barycentrum, tj. ve tvaru a kruh.

Níže je uvedena kruhová oběžná dráha v astrodynamika nebo nebeská mechanika za standardních předpokladů. Tady dostředivá síla je gravitační síla a výše uvedená osa je čára vedená středem centrální hmoty kolmo k rovině pohybu.

V tomto případě je konstantní nejen vzdálenost, ale také rychlost, úhlová rychlost, potenciál a kinetická energie. Tady není žádný periapsis nebo apoapsis. Tato oběžná dráha nemá žádnou radiální verzi.

Kruhové zrychlení

Příčný zrychlení (kolmý na rychlost) způsobí změnu směru. Pokud je to konstantní velikost a mění se ve směru s rychlostí, kruhový pohyb následuje. Vezmeme-li dva deriváty souřadnic částice s ohledem na čas, dostaneme dostředivé zrychlení

{ displaystyle a , = { frac {v ^ {2}} {r}} , = { omega ^ {2}} {r}}

kde:

${ displaystyle v ,}$ je orbitální rychlost orbitálního tělesa,
${ displaystyle r ,}$ je poloměr kruhu
${ displaystyle omega }$ je úhlová rychlost, měřeno v radiány za jednotku času.

Vzorec je bezrozměrný, popisující poměr pravdivý pro všechny měrné jednotky aplikovaný jednotně ve vzorci. Pokud je číselná hodnota ${ displaystyle mathbf {a}}$ se měří v metrech za sekundu za sekundu, pak číselné hodnoty pro ${ displaystyle v ,}$ bude v metrech za sekundu, ${ displaystyle r ,}$ v metrech a ${ displaystyle omega }$ v radiánech za sekundu.

Rychlost

Rychlost (nebo velikost rychlosti) vzhledem k centrálnímu objektu je konstantní:^[1]^:30

{ displaystyle v = { sqrt {GM ! over {r}}} = { sqrt { mu over {r}}}}

kde:

${ displaystyle G}$ , je gravitační konstanta
${ displaystyle M}$ , je Hmotnost obou obíhajících těles ${ displaystyle (M_ {1} + M_ {2})}$ , i když v běžné praxi, je-li větší hmota výrazně větší, je menší hmota často zanedbávána, s minimální změnou výsledku.
${ displaystyle mu = GM}$ , je standardní gravitační parametr.

Pohybová rovnice

The orbitální rovnice v polárních souřadnicích, které obecně dávají r ve smyslu θ, snižuje na:^{[je zapotřebí objasnění ]}^{[Citace je zapotřebí ]}

{ displaystyle r = {{h ^ {2}} nad { mu}}}

kde:

${ displaystyle h = rv}$ je specifický moment hybnosti orbitálního tělesa.

To je proto, že ${ displaystyle mu = rv ^ {2}}$

Úhlová rychlost a oběžná doba

{ displaystyle omega ^ {2} r ^ {3} = mu}

Proto oběžná doba ( ${ displaystyle T , !}$ ) lze vypočítat jako:^[1]^:28

{ displaystyle T = 2 pi { sqrt {r ^ {3} nad { mu}}}}

Porovnejte dvě proporcionální veličiny, čas volného pádu (čas klesnout na bodovou hmotu z klidu)

{ displaystyle T_ {ff} = { frac { pi} {2 { sqrt {2}}}} { sqrt {r ^ {3} over { mu}}}}

(17,7% orbitálního období na kruhové dráze)

a čas klesnout na bodovou hmotnost v a radiální parabolická dráha

{ displaystyle T_ {par} = { frac { sqrt {2}} {3}} { sqrt {r ^ {3} over { mu}}}}

(7,5% oběžné doby na kruhové dráze)

Skutečnost, že se vzorce liší pouze konstantním faktorem, je a priori jasná rozměrová analýza.^{[Citace je zapotřebí ]}

Energie

The specifická orbitální energie ( ${ displaystyle epsilon ,}$ ) je záporný, a

{ displaystyle epsilon = - {v ^ {2} nad {2}}}

{ displaystyle epsilon = - { mu nad {2r}}}

Tak viriální věta^[1]^:72 platí i bez měření časového průměru:^{[Citace je zapotřebí ]}

kinetická energie systému se rovná absolutní hodnotě celkové energie
potenciální energie systému se rovná dvojnásobku celkové energie

The úniková rychlost z jakékoli vzdálenosti je √2 krát rychlost na kruhové oběžné dráze v této vzdálenosti: kinetická energie je dvakrát tolik, proto je celková energie nulová.^{[Citace je zapotřebí ]}

Delta-v k dosažení kruhové oběžné dráhy

Manévrování na velkou kruhovou dráhu, např. A geostacionární oběžná dráha, vyžaduje větší delta-v než uniknout z oběžné dráhy, i když to znamená dostat se libovolně daleko a mít více energie, než je potřeba pro orbitální rychlost kruhové dráhy. Jde také o manévrování na oběžnou dráhu. Viz také Oběžná dráha Hohmann.

Orbitální rychlost v obecné relativitě

v Schwarzschildova metrika, orbitální rychlost pro kruhovou dráhu s poloměrem ${ displaystyle r}$ je dáno následujícím vzorcem:

{ displaystyle v = { sqrt { frac {GM} {r-r_ {S}}}}}

kde ${ displaystyle scriptstyle r_ {S} = { frac {2GM} {c ^ {2}}}}$ je Schwarzschildův poloměr centrálního těla.

Derivace

Kvůli pohodlí bude derivace zapsána v jednotkách, ve kterých ${ displaystyle scriptstyle c = G = 1}$ .

The čtyřrychlostní tělesa na kruhové dráze je dáno vztahem:

{ displaystyle u ^ { mu} = ({ dot {t}}, 0,0, { dot { phi}})}

( ${ displaystyle scriptstyle r}$ je na kruhové oběžné dráze konstantní a souřadnice lze zvolit tak, aby ${ displaystyle scriptstyle theta = { frac { pi} {2}}}$ ). Tečka nad proměnnou označuje odvození s ohledem na správný čas ${ displaystyle scriptstyle tau}$ .

U masivní částice jsou složky čtyřrychlostní splnit následující rovnici:

{ displaystyle left (1 - { frac {2M} {r}} right) { dot {t}} ^ {2} -r ^ {2} { dot { phi}} ^ {2} = 1}

Používáme geodetickou rovnici:

{ displaystyle { ddot {x}} ^ { mu} + Gamma _ { nu sigma} ^ { mu} { dot {x}} ^ { nu} { dot {x}} ^ { sigma} = 0}

Jedinou netriviální rovnicí je rovnice pro ${ displaystyle scriptstyle mu = r}$ . To dává:

{ displaystyle { frac {M} {r ^ {2}}} vlevo (1 - { frac {2M} {r}} vpravo) { dot {t}} ^ {2} -r vlevo (1 - { frac {2M} {r}} vpravo) { dot { phi}} ^ {2} = 0}

Z toho dostaneme:

{ displaystyle { dot { phi}} ^ {2} = { frac {M} {r ^ {3}}} { dot {t}} ^ {2}}

Dosazením do rovnice pro masivní částice získáte:

{ displaystyle left (1 - { frac {2M} {r}} right) { dot {t}} ^ {2} - { frac {M} {r}} { dot {t}} ^ {2} = 1}

Proto:

{ displaystyle { dot {t}} ^ {2} = { frac {r} {r-3M}}}

Předpokládejme, že máme pozorovatele v okruhu ${ displaystyle scriptstyle r}$ , který se nepohybuje vzhledem k ústřednímu orgánu, tedy k jejich čtyřrychlostní je úměrná vektoru ${ displaystyle scriptstyle částečné _ {t}}$ . Podmínka normalizace znamená, že se rovná:

{ displaystyle v ^ { mu} = vlevo ({ sqrt { frac {r} {r-2M}}}, 0,0,0 vpravo)}

Tečkový produkt čtyři rychlosti pozorovatele a obíhajícího tělesa se rovná faktoru gama pro obíhající těleso vzhledem k pozorovateli, proto:

{ displaystyle gamma = g _ { mu nu} u ^ { mu} v ^ { nu} = vlevo (1 - { frac {2M} {r}} vpravo) { sqrt { frac {r} {r-3M}}} { sqrt { frac {r} {r-2M}}} = { sqrt { frac {r-2M} {r-3M}}}}

To dává rychlost:

{ displaystyle v = { sqrt { frac {M} {r-2M}}}}

Nebo v jednotkách SI:

{ displaystyle v = { sqrt { frac {GM} {r-r_ {S}}}}}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C Lissauer, Jack J .; de Pater, Imke (2019). Základní planetární vědy: fyzika, chemie a obyvatelnost. New York, NY, USA: Cambridge University Press. p. 604. ISBN 9781108411981.

[lissauer2019-1] A ^b ^C Lissauer, Jack J .; de Pater, Imke (2019). Základní planetární vědy: fyzika, chemie a obyvatelnost. New York, NY, USA: Cambridge University Press. p. 604. ISBN 9781108411981.

[1]