Provozovatel předhradí - Preclosure operator

v topologie, a operátor předběžného uzavřenínebo Čech uzavírací operátor je mapa mezi podmnožinami množiny, podobná topologii operátor uzavření kromě toho, že to není nutné idempotentní. To znamená, že operátor upřesnění se řídí pouze třemi ze čtyř Kuratowského uzavírací axiomy.

Definice

Operátor přesného uzavření na sadě ${displaystyle X}$ je mapa ${displaystyle [quad] _ {p}}$

${displaystyle [quad] _ {p}: {mathcal {P}} (X) o {mathcal {P}} (X)}$

kde ${displaystyle {mathcal {P}} (X)}$ je napájecí sada z ${displaystyle X}$.

Operátor předběžného uzavření musí splňovat následující vlastnosti:

1. ${displaystyle [varnothing] _ {p} = varnothing!}$ (Zachování svatebních svazků);
2. ${displaystyle Asubseteq [A] _ {p}}$ (Rozsáhlost);
3. ${displaystyle [Acup B] _ {p} = [A] _ {p} pohár [B] _ {p}}$ (Zachování binárních unií).

Poslední axiom znamená následující:

4. ${displaystyle Asubseteq B}$ naznačuje ${displaystyle [A] _ {p} subseteq [B] _ {p}}$.

Topologie

Sada ${displaystyle A}$ je Zavřeno (s ohledem na upřesnění), pokud ${displaystyle [A] _ {p} = A}$. Sada ${displaystyle Usubset X}$ je otevřeno (s ohledem na upřesnění), pokud ${displaystyle A = Xsetminus U}$ je zavřený. Kolekce všech otevřených sad generovaných operátorem přesného uzavření je topologie^[1]; výše uvedená topologie však nezachycuje pojem konvergence spojené s operátorem, je třeba zvážit a pretopologie, namísto^[2].

Příklady

Premetrics

Dáno ${displaystyle d}$ A premetrický na ${displaystyle X}$, pak

${displaystyle [A] _ {p} = {xin X: d (x, A) = 0}}$

je upřesnění na ${displaystyle X}$.

Sekvenční mezery

The operátor postupného uzavírání ${displaystyle [quad] _ {ext {seq}}}$ je operátor přesného uzavření. Vzhledem k topologii ${displaystyle {mathcal {T}}}$ vzhledem k němuž je definován operátor postupného uzavírání, topologický prostor ${displaystyle (X, {mathcal {T}})}$ je sekvenční prostor jen a jen v případě, že topologie ${displaystyle {mathcal {T}} _ {ext {seq}}}$ generováno uživatelem ${displaystyle [quad] _ {ext {seq}}}$ je rovný ${displaystyle {mathcal {T}}}$, tedy pokud ${displaystyle {mathcal {T}} _ {ext {seq}} = {mathcal {T}}}$.

Viz také

• Eduard Čech

Reference

• A.V. Arkhangelskii, LS Pontryagin, Obecná topologie I, (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-18178-4.
• B. Banascheski, Bourbakiho Fixpoint Lemma to přehodnotil, Komentář. Matematika. Univ. Carolinae 33 (1992), 303-309.