Sierpiński prostor - Sierpiński space
v matematika, Sierpiński prostor (nebo připojená dvoubodová sada) je konečný topologický prostor se dvěma body, z nichž pouze jeden je Zavřeno.[1]Je to nejmenší příklad a topologický prostor což není ani jedno triviální ani oddělený. Je pojmenován po Wacław Sierpiński.
Sierpińský prostor má důležité vztahy k teorie výpočtu a sémantika,[2][3] protože to je třídicí prostor pro otevřené sady v Scottova topologie.
Definice a základní vlastnosti
Výslovně je Sierpińského prostor a topologický prostor S jehož podkladové bodová sada je {0,1} a jehož otevřené sady jsou
The uzavřené sady jsou
Takže singletonová sada {0} je uzavřen a množina {1} je otevřená (∅ =prázdná sada ).
The operátor uzavření na S je určeno
Konečný topologický prostor je také jednoznačně určen svým předobjednávka specializace. Pro Sierpińského prostor toto předobjednávka je ve skutečnosti částečná objednávka a dané
Topologické vlastnosti
Sierpińského prostor S je speciální případ obou konečných konkrétní topologie bodu (s konkrétním bodem 1) a konečný topologie vyloučeného bodu (s vyloučeným bodem 0). Proto, S má mnoho vlastností společných s jednou nebo oběma z těchto rodin.
Oddělení
- Body 0 a 1 jsou topologicky rozlišitelné v S protože {1} je otevřená sada, která obsahuje pouze jeden z těchto bodů. Proto, S je Kolmogorov (T.0) prostor.
- Nicméně, S není T1 protože bod 1 není uzavřen. Z toho vyplývá, že S není Hausdorff nebo Tn pro všechny n ≥ 1.
- S není pravidelný (nebo úplně normální ) protože bod 1 a disjunktní uzavřená množina {0} nemohou být odděleny čtvrtí. (Také pravidelnost v přítomnosti T0 by znamenalo Hausdorff.)
- S je vakuově normální a úplně normální protože neexistují žádné neprázdné oddělené sady.
- S není naprosto normální protože disjunktní uzavřené množiny ∅ a {0} nelze přesně oddělit funkcí. {0} ve skutečnosti nemůže být nulová sada ze všech spojitá funkce S → R protože každá taková funkce je konstantní.
Propojenost
- Sierpińského prostor S je obojí hyperconnected (protože každá prázdná otevřená sada obsahuje 1) a ultra propojeno (protože každá neprázdná uzavřená sada obsahuje 0).
- Z toho vyplývá, že S je obojí připojeno a cesta připojena.
- A cesta od 0 do 1 palce S je dána funkcí: F(0) = 0 a F(t) = 1 pro t > 0. Funkce F : Já → S je nepřetržitý od F−1(1) = (0,1] který je otevřen v Já.
- Jako všechny konečné topologické prostory, S je místně připojená cesta.
- Sierpińského prostor je smluvní, takže základní skupina z S je triviální (stejně jako všechny vyšší homotopické skupiny ).
Kompaktnost
- Stejně jako všechny konečné topologické prostory je i Sierpińského prostor obojí kompaktní a druhý spočetný.
- Kompaktní podmnožina {1} z S není uzavřen, což ukazuje, že kompaktní podmnožiny T0 prostory nemusí být uzavřeny.
- Každý otevřete kryt z S musí obsahovat S sám od roku S je jediné otevřené sousedství 0. Proto je každá otevřená obálka S má otevřený dílčí úkryt skládající se z jedné sady: {S}.
- Z toho vyplývá, že S je zcela normální.[4]
Konvergence
- Každý sekvence v S konverguje do bodu 0. Je to proto, že jediné sousedství 0 je S sám.
- Sekvence v S konverguje na 1 právě tehdy, pokud sekvence obsahuje pouze konečně mnoho termínů rovných 0 (tj. posloupnost je nakonec jen 1).
- Bod 1 je a bod klastru sekvence v S právě když sekvence obsahuje nekonečně mnoho jedniček.
- Příklady:
- 1 není bodem shluku (0,0,0,0,…).
- 1 je bod klastru (nikoli však limit) (0,1,0,1,0,1,…).
- Posloupnost (1,1,1,1,…) konverguje k 0 i 1.
Metrizovatelnost
- Sierpińského prostor S není měřitelný nebo dokonce pseudometrizovatelný protože každý pseudometrický prostor je úplně normální ale Sierpińského prostor není rovnoměrný pravidelný.
- S je generován hemimetrický (nebo pseudo -kvazimetrický ) a .
Další vlastnosti
- Jsou jen tři průběžné mapy z S pro sebe: mapa identity a konstantní mapy na 0 a 1.
- Z toho vyplývá, že homeomorfismus skupina z S je triviální.
Kontinuální funkce do Sierpińského prostoru
Nechat X být libovolná množina. The sada všech funkcí z X na množinu {0,1} se obvykle označuje 2X. Tyto funkce jsou přesně ty charakteristické funkce z X. Každá taková funkce má formu
kde U je podmnožina z X. Jinými slovy, sada funkcí 2X je v bijektivní korespondence s P(X), napájecí sada z X. Každá podmnožina U z X má svou charakteristickou funkci χU a každá funkce od X do {0,1} má tento tvar.
Nyní předpokládejme X je topologický prostor a nechte {0,1} mít Sierpińského topologii. Pak funkce χU : X → S je kontinuální právě když χU−1(1) je otevřen v X. Ale podle definice
Takže χU je spojitý právě tehdy U je otevřen v X. Nechť C (X,S) označuje sadu všech spojitých map z X na S a nechte T(X) označují topologii X (tj. skupina všech otevřených sad). Pak máme námitku od T(X) do C (X,S), který odešle otevřenou sadu U do χU.
To znamená, pokud identifikujeme 2X s P(X), podmnožina spojitých map C (X,S) ⊂ 2X je přesně topologie X: T(X) ⊂ P(X).
Zvláště pozoruhodným příkladem toho je Scottova topologie pro částečně objednané sady, ve kterém se Sierpińského prostor stává třídicí prostor pro otevřené množiny při zachování charakteristické funkce řízené spojení.[5]
Kategorický popis
Výše uvedenou konstrukci lze pěkně popsat pomocí jazyka teorie kategorií. Tady je kontravariantní funktor T : Horní → Soubor z kategorie topologických prostorů do kategorie sad který přiřazuje každý topologický prostor X jeho soubor otevřených souborů T(X) a každá spojitá funkce F : X → Y the preimage mapa
Výrok se pak stává: funktorem T je zastoupeny od (S, {1}) kde S je Sierpiński prostor. To znamená T je přirozeně izomorfní do Hom funktor Hom (-, S) s přirozeným izomorfismem určeným univerzální prvek {1} ∈ T(S). Toto je zobecněno pojmem a předheaf.[6]
Počáteční topologie
Libovolný topologický prostor X má počáteční topologie vyvolané rodinou C (X,S) spojitých funkcí do Sierpińského prostoru. Opravdu, aby hrubý topologie zapnuta X jeden musí odstranit otevřené sady. Ale odstranění otevřené sady U vykreslí χU diskontinuální. Tak X má nejhrubší topologii, pro kterou každá funkce v C (X,S) je spojitý.
Rodina funkcí C (X,S) odděluje body v X kdyby a jen kdyby X je T0 prostor. Dva body X a y budou odděleny funkcí χU právě tehdy, když je otevřená sada U obsahuje přesně jeden ze dvou bodů. To je přesně to, co to znamená X a y být topologicky rozlišitelné.
Proto pokud X je T0, můžeme vložit X jako podprostor a produkt Sierpińských prostor, kde je jedna kopie S pro každou otevřenou sadu U v X. Vkládací mapa
darováno
Protože podprostory a produkty T0 mezery jsou T0z toho vyplývá, že topologickým prostorem je T0 právě když je homeomorfní do podprostoru síly S.
V algebraické geometrii
v algebraická geometrie prostor Sierpiński vzniká jako spektrum, Spec (R), a diskrétní oceňovací kruh R jako Z(str) (dále jen lokalizace z celá čísla na hlavní ideál generované prvočíslem str). The obecný bod Spec (R), pocházející z nula ideální, odpovídá otevřenému bodu 1, zatímco zvláštní bod Spec (R), pocházející z jedinečného maximální ideál, odpovídá uzavřenému bodu 0.
Viz také
Poznámky
- ^ Sierpinského prostor v nLab
- ^ Online příspěvek vysvětluje motivaci, proč lze pojem „topologie“ použít při zkoumání konceptů počítačové vědy. Alex Simpson: Matematické struktury pro sémantiku. Kapitola III: Topologické prostory z výpočetní perspektivy. Sekce „Odkazy“ poskytuje mnoho online materiálů o teorie domény.
- ^ Escardó, Martín (2004). Syntetická topologie datových typů a klasických prostorů. Elektronické poznámky v teoretické informatice. 87. Elsevier. CiteSeerX 10.1.1.129.2886.
- ^ Steen a Seebach nesprávně uvádějí Sierpińského prostor jako ne být zcela normální (nebo úplně T4 v jejich terminologii).
- ^ Scottova topologie v nLab
- ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Snopy v geometrii a logice: První úvod do teorie topos(1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102
Reference
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 0507446
- Michael Tiefenback (1977) "Topologická genealogie", Matematický časopis 50(3): 158–60 doi:10.2307/2689505