Vnitřní metrika - Intrinsic metric
V matematický studie metrické prostory, lze zvážit délka oblouku cest v prostoru. Pokud jsou dva body v dané vzdálenosti od sebe, je přirozené očekávat, že jeden by měl být schopen dostat se z prvního bodu do druhého po dráze, jejíž arclength se rovná (nebo velmi blízko) této vzdálenosti. Vzdálenost mezi dvěma body metrického prostoru vzhledem k vnitřní metrika je definován jako infimum délky všech cest od prvního bodu k druhému. Metrický prostor je a metrický prostor délky pokud vnitřní metrika souhlasí s původní metrikou prostoru.
Pokud má prostor silnější vlastnost, že vždy existuje cesta, která dosahuje infimum délky (a geodetické ) pak jej lze nazvat a geodetický metrický prostor nebo geodetický prostor. Například Euklidovské letadlo je geodetický prostor s úsečky jako jeho geodetika. Euklidovské letadlo s původ odstraněno není geodetické, ale stále je metrickým prostorem délky.
Definice
Nechat být metrický prostor, tj., je sbírka bodů (například všechny body v rovině nebo všechny body v kruhu) a je funkce, která nám poskytuje vzdálenost mezi body . Definujeme novou metriku na , známý jako indukovaná vnitřní metrika, jak následuje: je infimum délky všech cest z na .
Tady, a cesta z na je průběžná mapa
s a . The délka taková cesta je definována, jak je vysvětleno pro usměrnitelné křivky. Jsme si stanovili pokud neexistuje cesta konečné délky z na . Li
pro všechny body a v , říkáme to je délka prostoru nebo a cesta metrický prostor a metrika je vnitřní.
Říkáme, že metrika má přibližné střední body pokud pro nějaké a jakýkoli pár bodů a v tady existuje v takhle a jsou oba menší než
- .
Příklady
- Euklidovský prostor s běžnou euklidovskou metrikou je metrický prostor cesty. je také.
- The jednotkový kruh s metrikou zděděnou z euklidovské metriky (dále jen akordická metrika) není metrický prostor cesty. Indukovaná vnitřní metrika zapnuta měří vzdálenosti jako úhly v radiány a výsledný metrický prostor délky se nazývá Riemannov kruh. Ve dvou rozměrech byla chordální metrika na koule není vnitřní a indukovaná vnitřní metrika je dána vztahem vzdálenost velkého kruhu.
- Každý Riemannovo potrubí lze proměnit v metrický prostor cesty definováním vzdálenosti dvou bodů jako infimu délek spojitě diferencovatelných křivek spojujících dva body. (Riemannova struktura umožňuje definovat délku těchto křivek.) Analogicky jsou zahrnuta i další potrubí, ve kterých je délka definována Finsler potrubí a sub-Riemannian potrubí.
- Žádný kompletní a konvexní metrický prostor je metrický prostor délky (Khamsi & Kirk 2001, Theorem 2.16), výsledek Karl Menger. Konverzace však obecně neplatí: existují metrické prostory délky, které nejsou konvexní.
Vlastnosti
- Obecně platí, že máme a topologie definován je tedy vždy jemnější menší nebo roven hodnotě definované v .
- Prostor je vždy metrický prostor cesty (s výhradou, jak je uvedeno výše, že může být nekonečný).
- Metrika délkového prostoru má přibližné střední body. Naopak každý kompletní metrický prostor s přibližnými středy je prostor délky.
- The Hopf – Rinowova věta uvádí, že pokud je délkový prostor je kompletní a místně kompaktní pak jakékoli dva body dovnitř lze připojit pomocí a minimalizace geodetické a všechny ohraničené uzavřené sady v jsou kompaktní.
Reference
- Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.), Svazek I, 908 s., Springer International Publishing, 2018.
- Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.), Svazek II, 842 s., Springer International Publishing, 2018.
- Gromov, Michail (1999), Metrické struktury pro Riemannovy a neriemannovské prostory Pokrok v matematice 152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
- Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001), Úvod do metrických prostorů a teorie pevných bodů, Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0