Pseudometrický prostor - Pseudometric space

v matematika, a pseudometrický prostor je zobecnění a metrický prostor ve kterém může být vzdálenost mezi dvěma odlišnými body nulová. Stejným způsobem jako každý normovaný prostor je metrický prostor, každý seminární prostor je pseudometrický prostor. Kvůli této analogii je tento termín semimetrický prostor (který má v topologie ) se někdy používá jako synonymum, zejména v funkční analýza.

Když je topologie generována pomocí rodiny pseudometrií, prostor se nazývá a měřicí prostor.

Definice

Pseudometrický prostor ${ displaystyle (X, d)}$ je sada ${ displaystyle X}$ společně s nezápornou funkcí se skutečnou hodnotou ${ displaystyle d dvojtečka X krát X longrightarrow mathbb {R} _ { geq 0}}$ (nazývá se a pseudometrické) takové, že pro každého ${ displaystyle x, y, z v X}$ ,

${ displaystyle d (x, x) = 0}$ .
${ displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$ (symetrie)
${ displaystyle d (x, z) leqslant d (x, y) + d (y, z)}$ (subadditivita /nerovnost trojúhelníku )

Na rozdíl od metrického prostoru nemusí být body v pseudometrickém prostoru rozlišitelný; to znamená, že jeden může mít ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ pro odlišné hodnoty ${ displaystyle x neq y}$ .

Příklady

Pseudometrie přirozeně vznikají v funkční analýza. Zvažte prostor ${ displaystyle { mathcal {F}} (X)}$ funkcí se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f dvojtečka X až mathbb {R}}$ společně se zvláštním bodem ${ displaystyle x_ {0} v X}$ . Tento bod pak indukuje pseudometrický prostor funkcí, daný

{ displaystyle d (f, g) = | f (x_ {0}) - g (x_ {0}) |}

pro

{ displaystyle f, g in { mathcal {F}} (X)}

Pro vektorové prostory ${ displaystyle V}$ , a seminář ${ displaystyle p}$ vyvolá pseudometrické zapnutí ${ displaystyle V}$ , tak jako

{ displaystyle d (x, y) = p (x-y).}

Naopak homogenní pseudometrický, invariantní k translaci, indukuje seminář.

Pseudometrie také vznikají v teorii hyperboliky složité potrubí: viz Kobayashi metrický.
Každý změřte prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {A}}, mu)}$ lze definovat jako úplný pseudometrický prostor

{ displaystyle d (A, B): = mu (A vartriangle B)}

pro všechny

{ displaystyle A, B v { mathcal {A}}}

, kde trojúhelník označuje symetrický rozdíl.

Li ${ displaystyle f: X_ {1} rightarrow X_ {2}}$ je funkce a d₂ je pseudometrický X₂, pak ${ displaystyle d_ {1} (x, y): = d_ {2} (f (x), f (y))}$ dává pseudometrickou hodnotu X₁. Li d₂ je metrika a F je injekční, pak d₁ je metrika.

Topologie

The pseudometrická topologie je topologie generované otevřené koule

{ displaystyle B_ {r} (p) = {x v X mid d (p, x)

které tvoří a základ pro topologii.^[1] O topologickém prostoru se říká, že pseudometrizovatelný prostor^[2] jestliže prostor může být dán pseudometricky tak, že pseudometrická topologie se shoduje s danou topologií prostoru.

Rozdíl mezi pseudometrií a metrikami je zcela topologický. To znamená, že pseudometrický je metrický tehdy a jen tehdy, když je generována topologie T₀ (tj. odlišné body jsou topologicky rozlišitelné).

Definice Cauchyovy sekvence a metrické dokončení pro metrické prostory se přenesou do pseudometrických prostorů beze změny.^[3]

Metrická identifikace

Zmizení pseudometrického indukuje vztah ekvivalence, volal metrická identifikace, který převádí pseudometrický prostor na plnohodnotný metrický prostor. To se provádí definováním ${ displaystyle x sim y}$ -li ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ . Nechat ${ displaystyle X ^ {*} = X / { sim}}$ být kvocientový prostor z X tímto vztahem ekvivalence a definovat

{ displaystyle { begin {zarovnáno} d ^ {*} :( X / sim) & times (X / sim) longrightarrow mathbb {R} _ { geq 0} d ^ {*} ([x], [y]) & = d (x, y) end {zarovnáno}}}

Pak ${ displaystyle d ^ {*}}$ je metrika ${ displaystyle X ^ {*}}$ a ${ displaystyle (X ^ {*}, d ^ {*})}$ je dobře definovaný metrický prostor, který se nazývá metrický prostor indukovaný pseudometrickým prostorem ${ displaystyle (X, d)}$ .^[4]^[5]

Metrická identifikace zachovává indukované topologie. To je podmnožina ${ displaystyle A subseteq X}$ je otevřený (nebo zavřený) v ${ displaystyle (X, d)}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle pi (A) = [A]}$ je otevřený (nebo zavřený) v ${ displaystyle (X ^ {*}, d ^ {*})}$ a A je nasycený. Topologická identifikace je Kolmogorovův kvocient.

Příkladem této konstrukce je dokončení metrického prostoru podle jeho Cauchyovy sekvence.

Viz také

Poznámky

^ "Pseudometrická topologie". PlanetMath.
^ Willard, str. 23
^ Cain, George (léto 2000). „Kapitola 7: Kompletní pseudometrické mezery“ (PDF). Archivováno od původního dne 7. října 2020. Citováno 7. října 2020.
^ Howes, Norman R. (1995). Moderní analýza a topologie. New York, NY: Springer. str. 27. ISBN 0-387-97986-7. Citováno 10. září 2012. Nechat ${ displaystyle (X, d)}$ být pseudo-metrický prostor a definovat vztah ekvivalence ${ displaystyle sim}$ v ${ displaystyle X}$ podle ${ displaystyle x sim y}$ -li ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ . Nechat ${ displaystyle Y}$ být kvocientovým prostorem ${ displaystyle X / sim}$ a ${ displaystyle p dvojtečka X až Y}$ kanonická projekce, která mapuje každý bod ${ displaystyle X}$ do třídy ekvivalence, která ji obsahuje. Definujte metriku ${ displaystyle rho}$ v ${ displaystyle Y}$ podle ${ displaystyle rho (a, b) = d (p ^ {- 1} (a), p ^ {- 1} (b))}$ pro každý pár ${ displaystyle a, b v Y}$ . Je to snadné ukázat ${ displaystyle rho}$ je skutečně metrika a ${ displaystyle rho}$ definuje kvocient topologie na ${ displaystyle Y}$ .
^ Simon, Barry (2015). Komplexní kurz analýzy. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1470410995.

Reference

Arkhangel'skii, A.V .; Pontryagin, L.S. (1990). Obecná topologie I: Základní koncepty a konstrukce teorie dimenzí. Encyklopedie matematických věd. Springer. ISBN 3-540-18178-4.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Protiklady v topologii (nové vydání). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.
Willard, Stephen (2004) [1970], Obecná topologie (Doveru dotisk vydání z roku 1970), Addison-Wesley
Tento článek obsahuje materiál z pseudometrického prostoru PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.
"Příklad pseudometrického prostoru". PlanetMath.

[1] "Pseudometrická topologie". PlanetMath.

[2] Willard, str. 23

[3] Cain, George (léto 2000). „Kapitola 7: Kompletní pseudometrické mezery“ (PDF). Archivováno od původního dne 7. října 2020. Citováno 7. října 2020.

[4] Howes, Norman R. (1995). Moderní analýza a topologie. New York, NY: Springer. str. 27. ISBN 0-387-97986-7. Citováno 10. září 2012. Nechat ${ displaystyle (X, d)}$ být pseudo-metrický prostor a definovat vztah ekvivalence ${ displaystyle sim}$ v ${ displaystyle X}$ podle ${ displaystyle x sim y}$ -li ${ displaystyle d (x, y) = 0}$ . Nechat ${ displaystyle Y}$ být kvocientovým prostorem ${ displaystyle X / sim}$ a ${ displaystyle p dvojtečka X až Y}$ kanonická projekce, která mapuje každý bod ${ displaystyle X}$ do třídy ekvivalence, která ji obsahuje. Definujte metriku ${ displaystyle rho}$ v ${ displaystyle Y}$ podle ${ displaystyle rho (a, b) = d (p ^ {- 1} (a), p ^ {- 1} (b))}$ pro každý pár ${ displaystyle a, b v Y}$ . Je to snadné ukázat ${ displaystyle rho}$ je skutečně metrika a ${ displaystyle rho}$ definuje kvocient topologie na ${ displaystyle Y}$ .

[5] Simon, Barry (2015). Komplexní kurz analýzy. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1470410995.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]