Annihilatorova metoda - Annihilator method

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Annihilatorova metoda“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, anihilační metoda je postup používaný k nalezení konkrétního řešení určitých typů nehomogenních obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Je to podobné jako u metoda neurčených koeficientů, ale místo hádání konkrétního řešení v metoda neurčených koeficientů, konkrétní řešení je v této technice určováno systematicky. Fráze neurčené koeficienty lze také použít k označení kroku v annihilační metodě, ve kterém se počítají koeficienty.

Annihilační metoda se používá následovně. Vzhledem k ODE ${ displaystyle P (D) y = f (x)}$, najít další operátor diferenciálu ${ displaystyle A (D)}$ takhle ${ displaystyle A (D) f (x) = 0}$. Tento operátor se nazývá zničit, což dává této metodě její název. Přihlašování ${ displaystyle A (D)}$ na obě strany ODR dává homogenní ODR ${ displaystyle { big (} A (D) P (D) { big)} y = 0}$ pro které najdeme základ řešení ${ displaystyle {y_ {1}, ldots, y_ {n} }}$ jako dříve. Pak se původní nehomogenní ODR použije ke konstrukci systému rovnic omezujících koeficienty lineární kombinace tak, aby vyhovoval ODR.

Tato metoda není tak obecná jako variace parametrů v tom smyslu, že anihilátor neexistuje vždy.

Annihilator stůl

F(X)	Annihilator stůl
${ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} !}$	${ displaystyle D ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle e ^ {kx} !}$	${ displaystyle D-k !}$
${ displaystyle x ^ {n} .e ^ {kx} !}$	${ displaystyle (D-k) ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle cos (bx) ; ; mathrm {nebo} ; ; sin (bx) !}$	${ displaystyle D ^ {2} + b ^ {2} !}$
${ displaystyle x ^ {n} cos (bx) ; ; mathrm {nebo} ; ; x ^ {n} sin (bx) !}$	${ displaystyle (D ^ {2} + b ^ {2}) ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle e ^ {ax} cos (bx) ; ; mathrm {nebo} ; ; e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle (D-a) ^ {2} + b ^ {2} = D ^ {2} -2aD + a ^ {2} + b ^ {2} !}$
${ displaystyle x ^ {n} e ^ {ax} cos (bx) ; ; mathrm {nebo} ; ; x ^ {n} e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle left [(Da) ^ {2} + b ^ {2} right] ^ {n + 1} = left [D ^ {2} -2aD + a ^ {2} + b ^ {2 } vpravo] ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} + b_ {1} e ^ { pm c_ {1} x} + cdots + b_ {k} e ^ { mp c_ {k} x} !}$	${ displaystyle D ^ {n + 1} (D mp c_ {1}). cdots. (D pm c_ {k}) !}$

Li ${ displaystyle f (x)}$ skládá se ze součtu výrazů uvedených v tabulce, annihilátor je produktem příslušných annihilátorů.

Příklad

Dáno ${ displaystyle y '' - 4y '+ 5y = sin (kx)}$, ${ displaystyle P (D) = D ^ {2} -4D + 5}$Nejjednodušší zničení ${ displaystyle sin (kx)}$ je ${ displaystyle A (D) = D ^ {2} + k ^ {2}}$. Nuly ${ displaystyle A (z) P (z)}$ jsou ${ displaystyle {2 + i, 2-i, ik, -ik }}$, takže základ řešení ${ displaystyle A (D) P (D)}$ je ${ displaystyle {y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4} } = {e ^ {(2 + i) x}, e ^ {(2-i) x} , e ^ {ikx}, e ^ {- ikx} }.}$

Nastavení ${ displaystyle y = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + c_ {3} y_ {3} + c_ {4} y_ {4}}$ shledáváme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sin (kx) & = P (D) y [8pt] & = P (D) (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + c_ {3} y_ {3} + c_ {4} y_ {4}) [8pt] & = c_ {1} P (D) y_ {1} + c_ {2} P (D) y_ {2 } + c_ {3} P (D) y_ {3} + c_ {4} P (D) y_ {4} [8pt] & = 0 + 0 + c_ {3} (- k ^ {2} - 4ik + 5) y_ {3} + c_ {4} (- k ^ {2} + 4ik + 5) y_ {4} [8pt] & = c_ {3} (- k ^ {2} -4ik + 5) ( cos (kx) + i sin (kx)) + c_ {4} (- k ^ {2} + 4ik + 5) ( cos (kx) -i sin (kx)) end { zarovnaný}}}$

dávat systému

${ displaystyle i = (k ^ {2} + 4ik-5) c_ {3} + (- k ^ {2} + 4ik + 5) c_ {4}}$

${ displaystyle 0 = (k ^ {2} + 4ik-5) c_ {3} + (k ^ {2} -4ik-5) c_ {4}}$

který má řešení

${ displaystyle c_ {3} = { frac {i} {2 (k ^ {2} + 4ik-5)}}}$, ${ displaystyle c_ {4} = { frac {i} {2 (-k ^ {2} + 4ik + 5)}}}$

dávat řešení

${ displaystyle { begin {aligned} y & = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + { frac {i} {2 (k ^ {2} + 4ik-5)}} y_ {3} + { frac {i} {2 (-k ^ {2} + 4ik + 5)}} y_ {4} [8pt] & = c_ {1} y_ {1} + c_ {2 } y_ {2} + { frac {4k cos (kx) - (k ^ {2} -5) sin (kx)} {(k ^ {2} + 4ik-5) (k ^ {2} -4ik-5)}} [8pt] & = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + { frac {4k cos (kx) + (5-k ^ {2 }) sin (kx)} {k ^ {4} + 6k ^ {2} +25}}. end {zarovnáno}}}$

Toto řešení lze rozdělit na homogenní a nehomogenní části. Zejména, ${ displaystyle y_ {p} = { frac {4k cos (kx) + (5-k ^ {2}) sin (kx)} {k ^ {4} + 6k ^ {2} +25}} }$ je zvláštní integrál pro nehomogenní diferenciální rovnici a ${ displaystyle y_ {c} = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}$ je doplňkovým řešením odpovídající homogenní rovnice. Hodnoty ${ displaystyle c_ {1}}$ a ${ displaystyle c_ {2}}$ jsou určovány obvykle prostřednictvím souboru počátečních podmínek. Jelikož se jedná o rovnici druhého řádu, jsou k určení těchto hodnot nutné dvě takové podmínky.

Základní řešení ${ displaystyle y_ {1} = e ^ {(2 + i) x}}$ a ${ displaystyle y_ {2} = e ^ {(2-i) x}}$ lze dále přepsat pomocí Eulerův vzorec:

${ displaystyle e ^ {(2 + i) x} = e ^ {2x} e ^ {ix} = e ^ {2x} ( cos x + i sin x)}$

${ displaystyle e ^ {(2-i) x} = e ^ {2x} e ^ {- ix} = e ^ {2x} ( cos x-i sin x)}$

Pak ${ displaystyle c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} = c_ {1} e ^ {2x} ( cos x + i sin x) + c_ {2} e ^ {2x} ( cos xi sin x) = (c_ {1} + c_ {2}) e ​​^ {2x} cos x + i (c_ {1} -c_ {2}) e ​​^ {2x} sin x}$a vhodné přeřazení konstant dává jednodušší a srozumitelnější formu doplňkového řešení, ${ displaystyle y_ {c} = e ^ {2x} (c_ {1} cos x + c_ {2} sin x)}$.