Hilbertsův pátý problém - Hilberts fifth problem - Wikipedia

Hilbertův pátý problém je pátým matematickým problémem z seznam problémů zveřejněn v roce 1900 matematikem David Hilbert, a týká se charakterizace Lež skupiny.

Teorie Lieových skupin popisuje spojitá symetrie v matematice; jeho význam tam a v teoretická fyzika (například teorie kvarků ) stabilně rostl ve dvacátém století. Stručně řečeno, teorie Lieových grup je společným základem teorie skupin a teorie topologické potrubí. Otázka, kterou Hilbert položil, byla akutní, aby to bylo přesné: existuje nějaký rozdíl, pokud je to omezení hladké potrubí je uložen?

Očekávaná odpověď byla záporná ( klasické skupiny, nejcentrálnější příklady v teorii Lieových grup, jsou plynulá potrubí). To se nakonec potvrdilo na počátku 50. let. Vzhledem k tomu, že Hilbert neměl k dispozici přesný pojem „potrubí“, existuje prostor pro diskusi o formulaci problému v současném matematickém jazyce.

Klasická formulace

Dlouhodobě přijímaná formulace spočívala v tom, že otázkou bylo charakterizovat Lieovy skupiny jako topologické skupiny to bylo také topologické potrubí. Z hlediska bližšího těm, které by Hilbert použil, blízko prvek identity E skupiny G v otázce existuje otevřená sada U v Euklidovský prostor obsahující Ea na některé otevřené podmnožině PROTI z U tady je průběžné mapování

F : PROTI × PROTI → U

který uspokojuje skupinové axiomy kde jsou definovány. To je fragment typického lokálně euklidovská topologická skupina. Problém je pak to ukázat F je plynulá funkce u E (protože topologické skupiny jsou homogenní prostory, vypadají všude stejně jako poblíž E).

Jiným způsobem, jak to vyjádřit, je to možné třída diferencovatelnosti z F na tom nezáleží: skupinové axiomy sbalí celek C k gamut.

Řešení

Prvním významným výsledkem bylo John von Neumann v roce 1933,[1] pro kompaktní skupiny. The místně kompaktní abelianská skupina případ vyřešil v roce 1934 Lev Pontryagin. Konečné řešení, přinejmenším v této interpretaci toho, co měl na mysli Hilbert, přišlo s prací Andrew Gleason, Deane Montgomery a Leo Zippin v padesátých letech.

V roce 1953 Hidehiko Yamabe získal konečnou odpověď na Hilbertův pátý problém:[2]

Pokud je připojena místně kompaktní skupina G je projektivní limit posloupnosti Lieových skupin, a pokud G „potom nemá žádné malé podskupiny“ (podmínka definovaná níže) G je Lieova skupina.

Tato otázka je však stále diskutována, protože v literatuře existují další taková tvrzení, která jsou do značné míry založena na různých interpretacích Hilbertovy výpovědi o problému, kterou podávají různí badatelé.[3]

Obecněji řečeno, každá lokálně kompaktní, téměř propojená skupina je projektivní limit skupiny Lie. Pokud vezmeme v úvahu obecnou lokálně kompaktní skupinu G a připojená součást identity G0, máme příponu skupiny

G0 → G → G/G0.

Jako zcela odpojená skupina G/G0 má otevřenou kompaktní podskupinu a pullback G' takové otevřené kompaktní podskupiny je otevřená, téměř propojená podskupina G. Tímto způsobem máme hladkou strukturu G, protože je homeomorfní pro (G' × G' )/G0, kde G'/G0 je diskrétní sada.

Alternativní formulace

Jiný pohled je takový G by mělo být považováno za transformační skupina, spíše než abstraktně. To vede k formulaci Hilbert – Smith domněnka, který byl prokázán pro v roce 2013.

Žádné malé podskupiny

Důležitou podmínkou v teorii je žádné malé podskupiny. Topologická skupina Gnebo dílčí část skupiny jako F výše se říká, že má žádné malé podskupiny pokud existuje sousedství N z E neobsahující žádnou podskupinu větší než {E}. Například kruhová skupina splňuje podmínku, zatímco p-adická celá čísla Zp tak jako aditivní skupina ne, protože N bude obsahovat podskupiny: pk Zp, pro všechna velká celá čísla k. To poskytuje představu o tom, jaká je obtížnost problému. V případě domněnky Hilbert-Smith jde o známou redukci toho, zda Zp může věrně jednat o a uzavřené potrubí. Gleason, Montgomery a Zippin charakterizovali Lieovy skupiny místně kompaktní skupiny jako ti, kteří nemají malé podskupiny.

Nekonečné rozměry

Vědci také uvažovali o Hilbertově pátém problému, aniž by předpokládali konečná rozměrnost. Poslední kapitola Benyamini a Lindenstrauss diskutovat o práci Per Enflo, o Hilbertově pátém problému bez kompaktnost.

Viz také

Poznámky

  1. ^ John, von Neumann (1933). "Analytický parametr Die Einführung v topologischen Gruppen". Annals of Mathematics. 34 (1): 170–190. doi:10.2307/1968347. JSTOR  1968347.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  2. ^ Podle Morikuni (1961, str. i)
  3. ^ Přehled těchto tvrzení (avšak zcela ignorujících příspěvky Yamabe) a nový naleznete v Rosinger (1998, s. xiii – xiv a s. 169–170)

Reference