Legendární polynomy - Legendre polynomials

Šest prvních Legendrových polynomů.

Ve fyzice a matematika, Legendární polynomy (pojmenoval podle Adrien-Marie Legendre, který je objevil v roce 1782) jsou systémem úplných a ortogonální polynomy s obrovským počtem matematických vlastností a mnoha aplikacemi. Mohou být definovány mnoha způsoby a různé definice zdůrazňují různé aspekty a také navrhují zobecnění a spojení s různými matematickými strukturami a fyzickými a numerickými aplikacemi.

Úzce souvisí s Legendrovými polynomy související legendární polynomy, Legendární funkce Legendrovy funkce druhého druhu a související funkce Legendre.

Definice konstrukcí jako ortogonální systém

V tomto přístupu jsou polynomy definovány jako ortogonální systém s ohledem na váhovou funkci ${ displaystyle w (x) = 1}$ přes interval ${ displaystyle [-1,1]}$. To znamená, ${ displaystyle P_ {n} (x)}$ je polynom stupně ${ displaystyle n}$, takový, že

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) , dx = 0 quad { text {if}} n neq m.}$

Toto určuje polynomy úplně až do celkového měřítka, které je stanoveno standardizací${ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$. Že se jedná o konstruktivní definici, je vidět takto: ${ displaystyle P_ {0} (x) = 1}$ je jediný správně standardizovaný polynom stupně 0. ${ displaystyle P_ {1} (x)}$ musí být kolmé na ${ displaystyle P_ {0}}$, vedoucí k ${ displaystyle P_ {1} (x) = x}$, a ${ displaystyle P_ {2} (x)}$ je určena náročností ortogonality na ${ displaystyle P_ {0}}$ a ${ displaystyle P_ {1}}$, a tak dále. ${ displaystyle P_ {n}}$ je stanovena náročností ortogonality na všechny ${ displaystyle P_ {m}}$ s ${ displaystyle m$. To dává ${ displaystyle n}$ podmínky, které spolu se standardizací ${ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$ opravuje vše ${ displaystyle n + 1}$ koeficienty v ${ displaystyle P_ {n} (x)}$. S prací lze systematicky určit všechny koeficienty každého polynomu, což vede k explicitnímu vyjádření v pravomocích ${ displaystyle x}$ uvedeny níže.

Tato definice ${ displaystyle P_ {n}}$je nejjednodušší. Neodvolává se na teorii diferenciálních rovnic. Zadruhé, úplnost polynomů bezprostředně vyplývá z úplnosti mocnin 1, ${ displaystyle x, x ^ {2}, x ^ {3}, ldots}$. Nakonec je definujeme pomocí ortogonality s ohledem na nejviditelnější váhovou funkci v konečném intervalu a nastavíme Legendrovy polynomy jako jeden ze tří klasické ortogonální polynomické systémy. Další dva jsou Laguerrovy polynomy, které jsou kolmé nad půl čarou ${ displaystyle [0, infty)}$a Hermitovy polynomy, kolmé přes celou čáru ${ displaystyle (- infty, infty)}$, s váhovými funkcemi, které jsou nejpřirozenějšími analytickými funkcemi, které zajišťují konvergenci všech integrálů.

Definice pomocí generující funkce

Legendrovy polynomy lze také definovat jako koeficienty při formálním rozšíření pravomocí ${ displaystyle t}$ z generující funkce^[1]

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} P_ {n} (x) t ^ {n } ,.}$

(2)

Koeficient ${ displaystyle t ^ {n}}$ je polynom v ${ displaystyle x}$ stupně ${ displaystyle n}$. Rozšiřuje se na ${ displaystyle t ^ {1}}$ dává

${ displaystyle P_ {0} (x) = 1 ,, quad P_ {1} (x) = x.}$

Expanze do vyšších objednávek je stále těžkopádnější, ale je možné ji provádět systematicky a opět vede k jedné z níže uvedených explicitních forem.

Je možné získat vyšší ${ displaystyle P_ {n}}$bez uchýlení se k přímému rozšíření Taylorovy série. Rov.2 se liší s ohledem na t na obou stranách a přeskupit získat

${ displaystyle { frac {xt} { sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = left (1-2xt + t ^ {2} right) sum _ {n = 1} ^ { infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1} ,.}$

Nahrazení kvocientu druhé odmocniny s jeho definicí v rovnici.2, a vyrovnání koeficientů pravomocí t ve výsledné expanzi dává Vzorec rekurze kapoty

${ displaystyle (n + 1) P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) xP_ {n} (x) -nP_ {n-1} (x) ,.}$

Tento vztah spolu s prvními dvěma polynomy P₀ a P₁, umožňuje všechny ostatní generovat rekurzivně.

Přístup generující funkce je přímo spojen s vícepólová expanze v elektrostatice, jak je vysvětleno níže, a je to, jak byly polynomy poprvé definovány Legendrem v roce 1782.

Definice pomocí diferenciální rovnice

Třetí definice je z hlediska řešení Legendrovy diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac {d} {dx}} doleva [ doleva (1-x ^ {2} doprava) { frac {dP_ {n} (x)} {dx}} doprava] + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0 ,.}$

(1)

Tato diferenciální rovnice má pravidelné singulární body na X = ±1 pokud se tedy hledá řešení pomocí standardu Frobenius nebo výkonová řada Metoda, řada o původu bude konvergovat pouze pro |X| < 1 obecně. Když n je celé číslo, řešení P_n(X) to je pravidelné na X = 1 je také pravidelný na X = −1a řada pro toto řešení končí (tj. je to polynom). Ortogonálnost a úplnost těchto řešení je nejlépe vidět z hlediska Teorie Sturm – Liouville. Diferenciální rovnici přepíšeme jako problém vlastních čísel,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ( left (1-x ^ {2} right) { frac {d} {dx}} right) P (x) = - lambda P (x) ,,}$

s vlastním číslem ${ displaystyle lambda}$ místo ${ displaystyle n (n + 1)}$. Pokud požadujeme, aby řešení bylo pravidelné na${ displaystyle x = pm 1}$, operátor diferenciálu vlevo je Hermitian. Zjistí se, že vlastní čísla mají formu n(n + 1), s ${ displaystyle n = 0,1,2, ldots}$a vlastní funkce jsou ${ displaystyle P_ {n} (x)}$. Ortogonalita a úplnost této sady řešení vyplývá najednou z širšího rámce teorie Sturm – Liouville.

Diferenciální rovnice připouští další, nepolynomiální řešení, Legendární funkce druhého druhu ${ displaystyle Q_ {n}}$.Dvouparametrické zobecnění (Rov.1) se nazývá Legendrova Všeobecné diferenciální rovnice, řešena Přidružené legendární polynomy. Legendární funkce jsou řešení Legendrovy diferenciální rovnice (zobecněné nebo ne) s ne-celé číslo parametry.

Ve fyzickém nastavení vzniká Legendrova diferenciální rovnice přirozeně, kdykoli to někdo vyřeší Laplaceova rovnice (a související parciální diferenciální rovnice ) oddělením proměnných v sférické souřadnice. Z tohoto hlediska jsou vlastní funkce úhlové části laplaciánského operátoru sférické harmonické, z nichž Legendrovy polynomy jsou (až do multiplikativní konstanty) podmnožinou, která je ponechána neměnnou rotací kolem polární osy. Polynomy se zobrazují jako ${ displaystyle P_ {n} ( cos theta)}$ kde ${ displaystyle theta}$ je polární úhel. Tento přístup k Legendrovým polynomům poskytuje hluboké spojení s rotační symetrií. Mnoho z jejich vlastností, které se pracně nacházejí pomocí analytických metod - například věta o sčítání - lze snáze najít pomocí metod symetrie a teorie grup a získají hluboký fyzický a geometrický význam.

Ortonální normalita a úplnost

Standardizace ${ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$ opravuje normalizaci Legendrových polynomů (s ohledem na L² norma na intervalu −1 ≤ X ≤ 1). Protože také jsou ortogonální s ohledem na stejnou normu lze dva výroky spojit do jediné rovnice,

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) , dx = { frac {2} {2n + 1}} delta _ {mn} ,}$

(kde δ_mn označuje Kroneckerova delta, rovno 1, pokud m = n a 0 jinak) .Tato normalizace se nejsnadněji zjistí použitím Rodriguesův vzorec, uvedeny níže.

To, že jsou polynomy úplné, znamená následující. Vzhledem k jakékoli po částech spojité funkci ${ displaystyle f (x)}$ s konečně mnoha diskontinuitami v intervalu [−1,1], posloupnost součtů

${ displaystyle f_ {n} (x) = součet _ { ell = 0} ^ {n} a _ { ell} P _ { ell} (x)}$

konverguje v průměru k ${ displaystyle f (x)}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$, pokud vezmeme

${ displaystyle a _ { ell} = { frac {2 ell +1} {2}} int _ {- 1} ^ {1} f (x) P _ { ell} (x) , dx. }$

Tato vlastnost úplnosti je základem všech rozšíření popsaných v tomto článku a je často uvedena ve formuláři

${ displaystyle sum _ { ell = 0} ^ { infty} { frac {2 ell +1} {2}} P _ { ell} (x) P _ { ell} (y) = delta (xy),}$

s −1 ≤ X ≤ 1 a −1 ≤ y ≤ 1.

Rodriguesův vzorec a další explicitní vzorce

Obzvláště kompaktní výraz pro polynomy Legendre je dán Rodriguesův vzorec:

${ displaystyle P_ {n} (x) = { frac {1} {2 ^ {n} n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} (x ^ {2 } -1) ^ {n} ,.}$

Tento vzorec umožňuje odvození velkého počtu vlastností ${ displaystyle P_ {n}}$je. Mezi nimi jsou explicitní reprezentace jako

${ displaystyle { begin {aligned} P_ {n} (x) & = { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ {2} (x-1) ^ {nk} (x + 1) ^ {k}, P_ {n} (x) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { binom {n + k} {k}} vlevo ({ frac {x-1} {2}} vpravo) ^ {k}, P_ {n } (x) & = { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {[{ frac {n} {2}}]}} (- 1) ^ {k } { binom {n} {k}} { binom {2n-2k} {n}} x ^ {n-2k}, P_ {n} (x) & = 2 ^ {n} sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} { binom {n} {k}} { binom { frac {n + k-1} {2}} {n}}, end {zarovnáno }}}$

kde poslední, který je také bezprostřední z rekurzního vzorce, vyjadřuje Legendrovy polynomy jednoduchými monomiemi a zahrnuje zobecněná forma binomického koeficientu.

Prvních několik Legendrových polynomů je:

${ displaystyle { begin {array} {r | r} n & P_ {n} (x) hline 0 & 1 1 & x 2 & { tfrac {1} {2}} vlevo (3x ^ {2} -1 right) 3 & { tfrac {1} {2}} left (5x ^ {3} -3x right) 4 & { tfrac {1} {8}} left (35x ^ { 4} -30x ^ {2} +3 right) 5 & { tfrac {1} {8}} left (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x right) 6 & { tfrac {1} {16}} vlevo (231x ^ {6} -315x ^ {4} + 105x ^ {2} -5 vpravo) 7 & { tfrac {1} {16}} vlevo (429x ^ {7} -693x ^ {5} + 315x ^ {3} -35x vpravo) 8 & { tfrac {1} {128}} vlevo (6435x ^ {8} -12012x ^ {6} + 6930x ^ {4} -1260x ^ {2} +35 vpravo) 9 & { tfrac {1} {128}} vlevo (12155x ^ {9} -25740x ^ {7} + 18018x ^ {5} -4620x ^ {3} + 315x vpravo) 10 & { tfrac {1} {256}} vlevo (46189x ^ {10} -109395x ^ {8} + 90090x ^ {6} -30030x ^ {4} + 3465x ^ {2} -63 vpravo) hline end {pole}}}$

Grafy těchto polynomů (až n = 5) jsou zobrazeny níže:

Aplikace Legendrových polynomů

Rozšíření 1 /r potenciál

Legendrovy polynomy byly poprvé představeny v roce 1782 Adrien-Marie Legendre^[2] jako koeficienty při rozšiřování Newtonovský potenciál

${ displaystyle { frac {1} { left | mathbf {x} - mathbf {x} ' right |}} = { frac {1} { sqrt {r ^ {2} + {r' } ^ {2} -2r {r '} cos gamma}}} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} { frac {{r'} ^ { ell}} {r ^ { ell +1}}} P _ { ell} ( cos gamma),}$

kde r a r′ jsou délky vektorů X a X′ respektive a y je úhel mezi těmito dvěma vektory. Série konverguje, když r > r′. Výraz dává gravitační potenciál spojené s a bodová hmotnost nebo Coulombův potenciál spojené s a bodový náboj. Expanze pomocí Legendrových polynomů může být užitečná například při integraci tohoto výrazu do spojité distribuce hmoty nebo náboje.

Legendární polynomy se vyskytují v řešení Laplaceova rovnice statické potenciál, ∇² Φ (X) = 0v bezplatné oblasti vesmíru pomocí metody oddělení proměnných, Kde okrajové podmínky mít osovou symetrii (bez závislosti na azimutální úhel ). Kde ẑ je osa symetrie a θ je úhel mezi polohou pozorovatele a ẑ osa (zenitový úhel), řešení potenciálu bude

${ displaystyle Phi (r, theta) = součet _ { ell = 0} ^ { infty} vlevo (A _ { ell} r ^ { ell} + B _ { ell} r ^ {- ( ell +1)} vpravo) P _ { ell} ( cos theta) ,.}$

A_l a B_l mají být stanoveny podle okrajových podmínek každého problému.^[3]

Objevují se také při řešení Schrödingerova rovnice ve třech rozměrech pro centrální sílu.

Legendární polynomy v multipólových expanzích

Legendrovy polynomy jsou také užitečné při rozšiřování funkcí formuláře (to je stejné jako dříve, psáno trochu jinak):

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {1+ eta ^ {2} -2 eta x}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} eta ^ {k} P_ {k} (x),}$

které přirozeně vznikají v vícepólové expanze. Levá strana rovnice je generující funkce pro Legendrovy polynomy.

Jako příklad lze uvést elektrický potenciál Φ (r,θ) (v sférické souřadnice ) kvůli bodový náboj nachází se na z- osa v z = A (viz obrázek vpravo) se mění jako

${ displaystyle Phi (r, theta) propto { frac {1} {R}} = { frac {1} { sqrt {r ^ {2} + a ^ {2} -2ar cos theta}}}.}$

Pokud je poloměr r pozorovacího bodu P je větší než A, potenciál může být rozšířen v Legendrových polynomech

${ displaystyle Phi (r, theta) propto { frac {1} {r}} součet _ {k = 0} ^ { infty} vlevo ({ frac {a} {r}} vpravo) ^ {k} P_ {k} ( cos theta),}$

kde jsme definovali η = A/r < 1 a X = cos θ. Tato expanze se používá k vývoji normálu vícepólová expanze.

Naopak, pokud je poloměr r pozorovacího bodu P je menší než A, potenciál může být stále rozšířen v Legendrových polynomech, jak je uvedeno výše, ale s A a r vyměnili. Tato expanze je základem vnitřní vícepólová expanze.

Legendární polynomy v trigonometrii

Goniometrické funkce cos nθ, označovaný také jako Čebyševovy polynomy T_n(cos θ) ≡ cos nθ, lze také rozšířit na více pólů pomocí legendárních polynomů P_n(cos θ). Prvních několik objednávek je následující:

${ displaystyle { begin {aligned} T_ {0} ( cos theta) & = 1 && = P_ {0} ( cos theta), [4pt] T_ {1} ( cos theta) & = cos theta && = P_ {1} ( cos theta), [4pt] T_ {2} ( cos theta) & = cos 2 theta && = { tfrac {1} {3 }} { bigl (} 4P_ {2} ( cos theta) -P_ {0} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {3} ( cos theta) & = cos 3 theta && = { tfrac {1} {5}} { bigl (} 8P_ {3} ( cos theta) -3P_ {1} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {4} ( cos theta) & = cos 4 theta && = { tfrac {1} {105}} { bigl (} 192P_ {4} ( cos theta) - 80P_ {2} ( cos theta) -7P_ {0} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {5} ( cos theta) & = cos 5 theta && = { tfrac {1} {63}} { bigl (} 128P_ {5} ( cos theta) -56P_ {3} ( cos theta) -9P_ {1} ( cos theta) { bigr)}, [4pt] T_ {6} ( cos theta) & = cos 6 theta && = { tfrac {1} {1155}} { bigl (} 2560P_ {6} ( cos theta) -1152P_ {4} ( cos theta) -220P_ {2} ( cos theta) -33P_ {0} ( cos theta) { bigr)}. end {zarovnáno}}}$

Další vlastností je výraz pro hřích (n + 1)θ, který je

${ displaystyle { frac { sin (n + 1) theta} { sin theta}} = součet _ { ell = 0} ^ {n} P _ { ell} ( cos theta) P_ {n- ell} ( cos theta).}$

Legendární polynomy v opakujících se neuronových sítích

A rekurentní neuronová síť který obsahuje a d-dimenzionální paměťový vektor, ${ displaystyle mathbf {m} in mathbb {R} ^ {d}}$, lze optimalizovat tak, aby jeho neurální aktivity vyhovovaly lineární časově invariantní systém dané následujícím reprezentace stavového prostoru:

${ displaystyle theta { dot { mathbf {m}}} (t) = A mathbf {m} (t) + Bu (t)}$

${ displaystyle { begin {aligned} A & = left [a right] _ {ij} in mathbb {R} ^ {d times d} { text {,}} quad && a_ {ij} = left (2i + 1 right) { begin {cases} -1 & i$

V tomto případě je posuvné okno ${ displaystyle u}$ přes minulost ${ displaystyle theta}$ jednotky času je nejlépe aproximován lineární kombinací prvního ${ displaystyle d}$ posunuté Legendrovy polynomy, vážené společně prvky ${ displaystyle mathbf {m}}$ v čase ${ displaystyle t}$:

${ displaystyle u (t- theta ') přibližně součet _ { ell = 0} ^ {d-1} { widetilde {P}} _ { ell} left ({ frac { theta' } { theta}} right) , m _ { ell} (t) { text {,}} quad 0 leq theta ' leq theta { text {.}}}$

V kombinaci s hluboké učení metodami, lze tyto sítě vycvičit, aby překonaly dlouhodobá krátkodobá paměť jednotky a související architektury při použití méně výpočetních zdrojů.^[4]

Další vlastnosti Legendrových polynomů

Legendární polynomy mají určitou paritu. To znamená, že jsou sudý nebo lichý,^[5] podle

${ displaystyle P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x) ,.}$

Další užitečnou vlastností je

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} P_ {n} (x) , dx = 0 { text {pro}} n geq 1,}$

což vyplývá z uvažování vztahu ortogonality s ${ displaystyle P_ {0} (x) = 1}$. Je to vhodné, když je série Legendre ${ displaystyle sum _ {i} a_ {i} P_ {i}}$ se používá k aproximaci funkce nebo experimentálních dat: průměrný série v daném intervalu [−1, 1] je jednoduše dána předním koeficientem roztažnosti ${ displaystyle a_ {0}}$.

Jelikož diferenciální rovnice a vlastnost ortogonality jsou nezávislé na změně měřítka, jsou definice Legendrových polynomů „standardizovány“ (někdy se jim říká „normalizace“, ale skutečná norma není 1) tím, že jsou zmenšeny tak, aby

${ displaystyle P_ {n} (1) = 1 ,.}$

Derivace v koncovém bodě je dána vztahem

${ displaystyle P_ {n} '(1) = { frac {n (n + 1)} {2}} ,.}$

The Nerovnost Askey – Gasper pro Legendrovy polynomy čte

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} P_ {j} (x) geq 0 , quad { text {pro}} x geq -1 ,.}$

Legendrovy polynomy a skalární součin z jednotkové vektory lze rozšířit pomocí sférické harmonické použitím

${ Displaystyle P _ { ell} vlevo (r cdot r ' right) = { frac {4 pi} {2 ell +1}} sum _ {m = - ell} ^ { ell } Y _ { ell m} ( theta, varphi) Y _ { ell m} ^ {*} ( theta ', varphi') ,,}$

kde jednotkové vektory r a r′ mít sférické souřadnice (θ,φ) a (θ′,φ′), resp.

Vztahy opakování

Jak bylo diskutováno výše, Legendrovy polynomy se řídí třídobou relací opakování známou jako Bonnetův rekurzní vzorec

${ displaystyle (n + 1) P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) xP_ {n} (x) -nP_ {n-1} (x)}$

a

${ displaystyle { frac {x ^ {2} -1} {n}} { frac {d} {dx}} P_ {n} (x) = xP_ {n} (x) -P_ {n-1 }(X),}$

nebo s alternativním výrazem, který také platí v koncových bodech

${ displaystyle { frac {d} {dx}} P_ {n + 1} (x) = (n + 1) P_ {n} (x) + x { frac {d} {dx}} P_ {n }(X),.}$

Užitečné pro integraci Legendrových polynomů je

${ displaystyle (2n + 1) P_ {n} (x) = { frac {d} {dx}} { bigl (} P_ {n + 1} (x) -P_ {n-1} (x) { bigr)} ,.}$

Z výše uvedeného je vidět také to

${ displaystyle { frac {d} {dx}} P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) P_ {n} (x) + { bigl (} 2 (n-2) +1 { bigr)} P_ {n-2} (x) + { bigl (} 2 (n-4) +1 { bigr)} P_ {n-4} (x) + cdots}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { frac {d} {dx}} P_ {n + 1} (x) = { frac {2P_ {n} (x)} { left | P_ {n} right | ^ { 2}}} + { frac {2P_ {n-2} (x)} { left | P_ {n-2} right | ^ {2}}} + cdots}$

kde ||P_n|| je normou v daném intervalu −1 ≤ X ≤ 1

${ displaystyle | P_ {n} | = { sqrt { int _ {- 1} ^ {1} { bigl (} P_ {n} (x) { bigr)} ^ {2} , dx}} = { sqrt { frac {2} {2n + 1}}} ,.}$

Asymptoty

Asymptoticky pro ${ displaystyle ell to infty}$^[6]

${ displaystyle { begin {aligned} P _ { ell} ( cos theta) & = { sqrt { frac { theta} { sin theta}}}} , J_ {0} (( ell +1/2) theta) + { mathcal {O}} doleva ( ell ^ {- 1} doprava) & = { frac {2} { sqrt {2 pi ell sin theta}}} cos left ( left ( ell + { tfrac {1} {2}} right) theta - { frac { pi} {4}} right) + { mathcal {O}} left ( ell ^ {- 3/2} right), quad theta in (0, pi), end {zarovnáno}}}$

a pro argumenty o velikosti větší než 1

${ displaystyle { begin {aligned} P _ { ell} left ({ frac {1} { sqrt {1-e ^ {2}}}} right) & = I_ {0} ( ell e ) + { mathcal {O}} left ( ell ^ {- 1} right) & = { frac {1} { sqrt {2 pi ell e}}} { frac {( 1 + e) ​​^ { frac { ell +1} {2}}} {(1-e) ^ { frac { ell} {2}}}} + { mathcal {O}} vlevo ( ell ^ {- 1} right) ,, end {zarovnáno}}}$

kde J₀ a Já₀ jsou Besselovy funkce.

Nuly

Všechno ${ displaystyle n}$ nuly ${ displaystyle P_ {n} (x)}$ jsou skutečné, navzájem odlišné a leží v intervalu ${ displaystyle (-1,1)}$. Dále, pokud je považujeme za dělení intervalu ${ displaystyle [-1,1]}$ do ${ displaystyle n + 1}$ podintervaly, každý podinterval bude obsahovat přesně jednu nulu ${ displaystyle P_ {n + 1}}$. Toto se nazývá prokládací vlastnost. Z důvodu paritního majetku je zřejmé, že pokud ${ displaystyle x_ {k}}$ je nula ${ displaystyle P_ {n} (x)}$, takže je ${ displaystyle -x_ {k}}$. Tyto nuly hrají důležitou roli v numerické integraci založené na Gaussova kvadratura. Specifická kvadratura založená na ${ displaystyle P_ {n}}$je známá jako Gauss-Legendreova kvadratura.

Z této vlastnosti a skutečností, že ${ displaystyle P_ {n} ( pm 1) neq 0}$, z toho vyplývá, že ${ displaystyle P_ {n} (x)}$ má ${ displaystyle n-1}$ místní minima a maxima v ${ displaystyle (-1,1)}$. Ekvivalentně ${ displaystyle dP_ {n} (x) / dx}$ má ${ displaystyle n-1}$ nuly v ${ displaystyle (-1,1)}$.

Bodová hodnocení

Parita a normalizace implikují hodnoty na hranici ${ displaystyle x = pm 1}$ být

${ displaystyle P_ {n} (1) = 1 ,, quad P_ {n} (- 1) = { begin {cases} 1 & { text {for}} quad n = 2m - 1 & { text {pro}} quad n = 2m + 1 ,. end {případy}}}$

Na počátku ${ displaystyle x = 0}$ lze ukázat, že hodnoty jsou dány

${ displaystyle P_ {n} (0) = { begin {cases} { frac {(-1) ^ {m}} {4 ^ {m}}} { tbinom {2m} {m}} = { frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {2m}}} { frac {(2m)!} { left (m! right) ^ {2}}} & { text {pro }} quad n = 2m 0 & { text {pro}} quad n = 2m + 1 ,. end {případů}}}$

Legendární polynomy s transformovaným argumentem

Posunuté Legenomovy polynomy

The posunul legendární polynomy jsou definovány jako

${ displaystyle { widetilde {P}} _ {n} (x) = P_ {n} (2x-1) ,}$.

Zde funkce „řazení“ X ↦ 2X − 1 je afinní transformace že bijectively mapy interval [0,1] do intervalu [−1,1], což znamená, že polynomy P̃_n(X) jsou kolmé na [0,1]:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { widetilde {P}} _ {m} (x) { widetilde {P}} _ {n} (x) , dx = { frac {1 } {2n + 1}} delta _ {mn} ,.}$

Explicitní výraz pro posunuté polynomy Legendre je dán vztahem

${ displaystyle { widetilde {P}} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { binom {n + k} {k}} (- x) ^ {k} ,.}$

Analog z Rodriguesův vzorec pro posunuté polynomy Legendre je

${ displaystyle { widetilde {P}} _ {n} (x) = { frac {1} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo ( x ^ {2} -x right) ^ {n} ,.}$

Prvních několik posunutých Legendrových polynomů je:

${ displaystyle { begin {array} {r | r} n & { widetilde {P}} _ {n} (x) hline 0 & 1 1 & 2x-1 2 & 6x ^ {2} -6x + 1 3 & 20x ^ {3} -30x ^ {2} + 12x-1 4 & 70x ^ {4} -140x ^ {3} + 90x ^ {2} -20x + 1 5 & 252x ^ {5} -630x ^ {4} + 560x ^ {3} -210x ^ {2} + 30x-1 end {pole}}}$

Legendární racionální funkce

The Legendární racionální funkce jsou posloupností ortogonální funkce na [0, ∞). Získávají se složením Cayleyova transformace s Legendrovými polynomy.

Racionální legendární funkce stupně n je definován jako:

${ displaystyle R_ {n} (x) = { frac { sqrt {2}} {x + 1}} , P_ {n} vlevo ({ frac {x-1} {x + 1}} že jo),.}$

Oni jsou vlastní funkce jednotného čísla Sturm – Liouvilleův problém:

${ displaystyle (x + 1) částečné _ {x} (x částečné _ {x} ((x + 1) v (x))) + lambda v (x) = 0}$

s vlastními hodnotami

${ displaystyle lambda _ {n} = n (n + 1) ,.}$

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Rychlá neformální derivace Legendrova polynomu v kontextu kvantové mechaniky vodíku
• „Legendární polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld vstup na legendární polynomy
• Článek Jamese B. Calverta o Legendrových polynomech z jeho osobní sbírky matematiky
• Legendrové polynomy od Carlyle E. Moore
• Legendární polynomy z Hyperfyziky