Legendární vlnka - Legendre wavelet

v funkční analýza, kompaktně podporováno vlnky odvozený od Legendární polynomy jsou pojmenovány Legendární vlnky nebo sférické harmonické vlnky.^[1] Legendární funkce mají rozšířené aplikace, ve kterých sférický souřadný systém je vhodné.^[2][3][4] Stejně jako u mnoha vlnek neexistuje žádný pěkný analytický vzorec pro popis těchto harmonických sférických vlnek. The dolní propust spojený s Legendrem multirezoluční analýza je konečná impulzní odezva (FIR) filtr.

Ve většině aplikací jsou obvykle preferovány vlnky spojené s FIR filtry.^[3] Další přitažlivou funkcí je, že filtry Legendre jsou lineární fáze FIR (tj. Multirezoluční analýza spojená s lineární fáze filtry). Tyto vlnky byly implementovány dne MATLAB (sada nástrojů wavelet). Ačkoli jsou kompaktní vlnky podporovány, legdN nejsou ortogonální (ale pro N = 1).^[5]

Legendární multirezoluční filtry

Přidružené Legendrovy polynomy jsou kolatitudinální část sférických harmonických, které jsou společné pro všechny separace Laplaceovy rovnice ve sférických polárních souřadnicích.^[2] Radiální část řešení se liší od jednoho potenciálu k druhému, ale harmonické jsou vždy stejné a jsou důsledkem sférické symetrie. Sférické harmonické ${displaystyle P_ {n} (z)}$ jsou řešení Legendre ${displaystyle 2 ^ {nd}}$-řádková diferenciální rovnice, n celé číslo:

${displaystyle left (1-z ^ {2} ight) {frac {d ^ {2} y} {dz ^ {2}}} - 2z {frac {dy} {dz}} + n (n + 1) y = 0.}$

${displaystyle P_ {n} (cos (heta))}$ k definování vyhlazovacího filtru lze použít polynomy ${displaystyle H (omega)}$ multirezoluční analýzy (MRA).^[6] Odpovídající okrajové podmínky pro MRA jsou ${displaystyle | H (0) | = 1}$ a ${displaystyle | H (pi) | = 0}$, lze vyhlazovací filtr MRA definovat tak, aby velikost dolní propusti ${displaystyle | H (omega) |}$ lze přidružit k Legendrovým polynomům podle: ${displaystyle u = 2n + 1.}$

${displaystyle | H_ {u} (omega) | = left | {frac {P_ {u} left (cos left ({frac {omega} {2}} ight) ight)} {P_ {u} cos (0)} } hned |}$

Ilustrativní příklady funkcí přenosu filtrů pro Legendre MRA jsou uvedeny na obrázku 1 pro ${displaystyle u = 1,3,5.}$ Pro filtr se projevuje chování při nízkém průchodu H, podle očekávání. Počet nul uvnitř ${displaystyle -pi$ se rovná stupni Legendrova polynomu. Proto sjet bočních laloků s frekvencí je snadno ovládán parametrem ${displaystyle u}$.

Obrázek 1 - Velikost přenosové funkce pro vyhlazovací filtry Multiresolution Legendre. Filtr ${displaystyle | H_ {u} (omega) |}$ pro objednávky 1, 3 a 5.

Funkce přenosu dolní propustí je dána vztahem

${displaystyle H_ {u} (omega) = - e ^ {- ju {frac {omega -pi} {2}}} P_ {u} vlevo (protože vlevo ({frac {omega} {2}} vpravo) vpravo) }$

Přenosová funkce filtru pro horní propust ${displaystyle G_ {u} (omega)}$ je vybrán podle Kvadraturní zrcadlový filtr stav,^[6][7] poddajný:

${displaystyle H_ {u} (omega) = - e ^ {- j {(u -2)} {frac {omega} {2}}} P_ {u} vlevo (hřích vlevo ({frac {omega} {2} } hned) hned)}$

Vskutku, ${displaystyle | G_ {u} (0) | = 0}$ a ${displaystyle | G_ {u} (pi) | = 1}$, podle očekávání.

Legendární multirezoluční filtrační koeficienty

Je provedeno vhodné fázové přiřazení, aby se správně nastavila přenosová funkce ${displaystyle H_ {u} (omega)}$ do formuláře

${displaystyle H_ {u} (omega) = {frac {1} {sqrt {2}}} součet _ {kin Z} h_ {k} ^ {u} e ^ {- jomega k}}$

Filtrační koeficienty ${displaystyle {h_ {k}} _ {kin mathbb {Z}}}$ jsou dány:

${displaystyle h_ {k} ^ {u} = - {frac {sqrt {2}} {2 ^ {2u}}} {jiné {2k} {k}} {jiné {2u -2k} {u -k}} }$

ze kterého symetrie:

${displaystyle {h_ {k} ^ {u}} = {h_ {u -k} ^ {u}},}$

následuje. Jsou jen ${displaystyle u +1}$ nenulové koeficienty filtru zapnuty ${displaystyle H_ {n} (omega)}$, takže vlnky Legendre mají kompaktní podporu pro každé liché celé číslo ${displaystyle u}$.

Tabulka I - Vyhlazování koeficientů FIR filtru Legendre pro ${displaystyle u = 1,3,5}$ (${displaystyle N}$ je vlnkový řád.)

	${displaystyle u = 1 (N = 1)}$	${displaystyle u = 3 (N = 2)}$	${displaystyle u = 5 (N = 3)}$
${displaystyle h_ {0}}$	${displaystyle - {frac {sqrt {2}} {2}}}$	${displaystyle -5 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -63 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {1}}$	${displaystyle - {frac {sqrt {2}} {2}}}$	${displaystyle -3 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -35 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {2}}$		${displaystyle -3 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -30 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {3}}$		${displaystyle -5 {frac {sqrt {2}} {16}}}$	${displaystyle -30 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {4}}$			${displaystyle -35 {frac {sqrt {2}} {256}}}$
${displaystyle h_ {5}}$			${displaystyle -63 {frac {sqrt {2}} {256}}}$

N.B. Mínusový signál lze potlačit.

Implementace MATLABu vlnek Legendre

Legendární vlnky lze snadno načíst do MATLAB sada nástrojů wavelet — Soubory m umožňující výpočet transformace waveletů Legendre, podrobnosti a filtr jsou k dispozici (freeware). Konečná šířka podpěry rodiny Legendre je označena legd (zkrácený název). Vlnky: „legdN“. Parametr N v rodině legdN se nachází podle ${displaystyle 2N = u +1}$ (délka filtrů MRA).

Legendární vlnky lze odvodit z nízkoprůchodového rekonstrukčního filtru iterační procedurou ( kaskádový algoritmus ). Vlna má kompaktní podporu a jsou použity filtry AMR s konečnou impulsní odezvou (FIR) (tabulka 1). První vlnka rodiny Legendrových je přesně známá Haarova vlnka. Obrázek 2 ukazuje vznikající vzor, ​​který postupně vypadá jako tvar vlnky.

Obrázek 2 - Tvar legendárních vlnek stupně ${displaystyle u = 3}$ (legd2) odvozené po 4 a 8 iteraci kaskádového algoritmu. Tvar legendárních vlnek stupně ${displaystyle u = 5}$ (legd3) odvozené kaskádovým algoritmem po 4 a 8 iteracích kaskádového algoritmu.

Tvar vlnky Legendre lze vizualizovat pomocí příkazu wavemenu v MATLABu. Obrázek 3 ukazuje vlnku legd8 zobrazenou pomocí MATLABu. Legendrové polynomy jsou také spojeny s rodinami oken.^[8]

Obrázek 3 - vlnkové zobrazení legd8 přes MATLAB pomocí příkazu wavemenu.

Pakety legendárních vlnek

Wavelet pakety (WP) systémy odvozené od vlnek Legendre lze také snadno dosáhnout. Obrázek 5 ilustruje funkce WP odvozené od legd2.

Obrázek 5 - Legendre (legd2) Wavelet Packets W systémové funkce: WP od 0 do 9.

Reference

Bibliografie

• M.M.S. Lira, H.M. de Oliveira, M.A. Carvalho Jr, R.M.C. Souza, Kompaktně podporované vlnky odvozené od Legendrových polynomů: Sférické harmonické vlnky, In: Výpočetní metody v aplikacích obvodů a systémů, N.E. Mastorakis, I.A. Stahopulos, C. Manikopoulos, G.E. Antoniou, V.M. Mladenov, I.F. Gonos Eds., Tisk WSEAS, s. 211–215, 2003. ISBN  960-8052-88-2. Dostupné v ee.ufpe.br
• A. A. Colomer a A. A. Colomer, adaptivní komprese dat EKG pomocí diskrétní legendární transformace, Zpracování digitálních signálů, 7, 1997, s. 222–228.
• A.G.Ramm, A.I. Zaslavsky, X-Ray Transform, Legendre Transform a Envelopes, J. z matematiky. Analýza a Appl., 183, str. 528–546, 1994.
• C. Herley, M. Vetterli, Ortogonalizace kompaktně podporovaných vlnkových základen, Proces digitálního signálu IEEE. Dílna, 13. - 16. září, s. 1.7.1 - 1.7.2, 1992.
• S. Mallat, Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation, Transakce IEEE na analýze vzorů a strojové inteligenci, 11. července, str. 674–693, 1989.
• M. Vetterli, C. Herly, Wavelets and Filter Banks: Theory and Design, IEEE Trans. o akustice, řeči a zpracování signálu, 40, 9, s. 2207, 1992.
• M. Jaskula, nová rodina Windows založená na modifikovaných legendárních polynomech, IEEE Instrum. And Measurement Technol. Konf., Anchorage, AK, květen 2002, str. 553–556.