Rodriguesův vzorec - Rodrigues formula - Wikipedia

V matematice Rodriguesův vzorec (dříve nazývaný Slonovina – Jacobiho vzorec) je vzorec pro Legendární polynomy nezávisle představil Olinde Rodrigues  (1816 ), Sir James Ivory  (1824 ) a Carl Gustav Jacobi  (1827 ). Název „Rodriguesův vzorec“ zavedl Heine v roce 1878 poté, co Hermite v roce 1865 poukázal na to, že jej jako první objevil Rodrigues. Termín je také používán k popisu podobných vzorců pro jiné ortogonální polynomy. Askey (2005) podrobně popisuje historii Rodriguesova vzorce.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle {P_ {n} (x) } _ {n = 0} ^ { infty}}$ být posloupností ortogonálních polynomů splňujících podmínku ortogonality

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} P_ {m} (x) P_ {n} (x) w (x) dx = K_ {m, n} delta _ {m, n},}$

kde, ${ displaystyle w (x)}$ je vhodná váhová funkce, ${ displaystyle K_ {m, n}}$ jsou konstanty a ${ displaystyle delta _ {m, n}}$ je delta Kronecker. Pokud funkce hmotnosti ${ displaystyle w (x)}$ splňuje následující diferenciální rovnici (nazvanou Pearsonova diferenciální rovnice),

${ displaystyle { frac {w '(x)} {w (x)}} = { frac {A (x)} {B (x)}},}$

kde ${ displaystyle A (x)}$ je polynom s maximálním stupněm 1 a ${ displaystyle B (x)}$ je polynom s maximálním stupněm 2 a dále s limity

${ displaystyle lim _ {x rightarrow a} w (x) B (x) = 0, qquad lim _ {x rightarrow b} w (x) B (x) = 0,}$

pak lze ukázat, že ${ displaystyle P_ {n} (x)}$ uspokojuje opakovací vztah formuláře,

${ displaystyle P_ {n} (x) = { frac {c_ {n}} {w (x)}} { frac { mathrm {d} ^ {n}} { mathrm {d} x ^ { n}}} doleva [B (x) ^ {n} w (x) doprava],}$

pro některé konstanty ${ displaystyle c_ {n}}$. Tento vztah se nazývá Rodriguesův vzorec, nebo prostě Rodriguesův vzorec.^[1]

Nejznámějšími aplikacemi vzorců typu Rodrigues jsou vzorce pro polynomy Legendre, Laguerre a Hermite:

Rodrigues uvedl svůj vzorec pro Legendární polynomy ${ displaystyle P_ {n}}$:

${ displaystyle P_ {n} (x) = {1 nad 2 ^ {n} n!} {d ^ {n} nad dx ^ {n}} left [(x ^ {2} -1) ^ {n} vpravo].}$

Laguerrovy polynomy jsou obvykle označeny L₀, L₁, ..., a Rodriguesův vzorec lze psát jako

${ displaystyle L_ {n} (x) = { frac {e ^ {x}} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo (e ^ { -x} x ^ {n} right) = { frac {1} {n!}} left ({ frac {d} {dx}} - 1 right) ^ {n} x ^ {n} ,}$

Rodriguesův vzorec pro Poustevnický polynom lze psát jako

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = left (2x - { frac {d} {dx}} right) ^ {n} cdot 1}$.

Podobné vzorce platí pro mnoho dalších posloupností ortogonálních funkcí vyplývajících z Sturm-Liouvilleovy rovnice, a ty se také v tomto případě nazývají Rodriguesův vzorec (nebo Rodriguesův vzorec typu), zvláště když je výsledná sekvence polynomiální.

Reference

• Askey, Richarde (2005), „Dokument z roku 1839 o permutacích: jeho vztah k Rodriguesově vzorci a další vývoj“, Altmann, Simón L .; Ortiz, Eduardo L. (eds.), Matematika a sociální utopie ve Francii: Olinde Rodrigues a jeho dobaDějiny matematiky, 28„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 105–118, ISBN  978-0-8218-3860-0
• Ivory, James (1824), „Na obrázku nezbytném k udržení rovnováhy homogenní tekuté hmoty, která se točí kolem osy“, Filozofické transakce Královské společnosti v LondýněKrálovská společnost 114: 85–150, doi:10.1098 / rstl.1824.0008, JSTOR  107707
• Jacobi, C. G. J. (1827), „Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 - 2xz + z²)^1/2 entstehen. “, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 2: 223–226, doi:10,1515 / crll.1827.2.223, ISSN  0075-4102, S2CID  120291793
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Olinde Rodrigues“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Rodrigues, Olinde (1816), „De l'attraction des sphéroïdes“, Korespondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Diplomová práce pro Přírodovědeckou fakultu Pařížské univerzity), 3 (3): 361–385