Romanovského polynomy - Romanovski polynomials - Wikipedia

v matematika, Romanovského polynomy jsou jednou ze tří konečných podmnožin skutečných ortogonálních polynomů objevených Vsevolod Romanovsky^[1] (Romanovski ve francouzském přepisu) v kontextu funkcí rozdělení pravděpodobnosti ve statistice. Tvoří ortogonální podmnožinu obecnější rodiny málo známých Routhovy polynomy představil Edward John Routh^[2] v roce 1884. Termín Romanovského polynomy navrhl Raposo,^[3] s odkazem na takzvané „pseudo-Jacobiho polynomy v Leskyho klasifikačním schématu.^[4] Zdá se důslednější označovat je jako Romanovski – Routhovy polynomy, analogicky s podmínkami Romanovski – Bessel a Romanovski – Jacobi používá Lesky pro dvě další sady ortogonálních polynomů.

Na rozdíl od standardních klasických ortogonálních polynomů se uvažované polynomy liší, pokud jde pouze o libovolné parametry konečný počet z nich je kolmý, jak je podrobněji popsáno níže.

Diferenciální rovnice pro Romanovského polynomy

Romanovského polynomy řeší následující verzi hypergeometrická diferenciální rovnice

{ displaystyle { begin {aligned} & s (x) {R_ {n} ^ {( alpha, beta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {( alpha, beta)} ( x) {R_ {n} ^ {( alpha, beta)}} '(x) + lambda _ {n} R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = 0, [4pt] & qquad x in (- infty, + infty), quad s (x) = left (1 + x ^ {2} right), quad t_ {1} ^ {( alpha, beta)} (x) = 2 beta x + alpha, quad lambda _ {n} = - n (2 beta + n-1). end {zarovnáno}}}

(1)

Kupodivu byly vynechány ze standardních učebnic speciální funkce v matematické fyzice^[5]^[6] a v matematice^[7]^[8] a jinde v matematické literatuře jsou jen relativně vzácní.^[9]^[10]^[11]

The váhové funkce jsou

{ displaystyle w ^ {( alpha, beta)} (x) = vlevo (1 + x ^ {2} vpravo) ^ { beta -1} exp vlevo (- alpha operatorname {arccot } x vpravo);}

(2)

řeší Pearsonovu diferenciální rovnici

{ displaystyle [s (x) w (x)] '= t (x) w (x), quad s (x) = 1 + x ^ {2},}

(3)

který zajišťuje sebeobsluha diferenciálního operátora hypergeometrie obyčejná diferenciální rovnice.

Pro $α = 0$ a $β < 0$ , váhová funkce Romanovských polynomů má tvar Cauchyovo rozdělení, odkud jsou přidružené polynomy také označovány jako Cauchyovy polynomy^[12] v jejich aplikacích v teorii náhodných matic.^[13]

Rodriguesův vzorec určuje polynom $R (α, β) n (X)$ tak jako

{ displaystyle R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = N_ {n} { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { frac { mathrm {d} ^ {n}} { mathrm {d} x ^ {n}}} left (w ^ {( alpha, beta)} (x) s (x) ^ {n} right), quad 0 leq n,}

(4)

kde $N n$ je normalizační konstanta. Tato konstanta souvisí s koeficientem $C n$ termínu studia $n$ v polynomu $R (α, β) n (X)$ výrazem

{ displaystyle N_ {n} = { frac {(-1) ^ {n} n! , c_ {n}} { prod _ {k = 0} ^ {n-1} lambda _ {n} ^ {(k)}}}, quad lambda _ {n} = - n left ({t_ {n} ^ {( alpha, beta)}} '+ { tfrac {1} {2} } (n-1) s '' (x) vpravo),}

(5)

který platí pro $n \geq 1$ .

Vztah mezi polynomy Romanovského a Jacobiho

Jak ukázal Askey, tuto konečnou sekvenci skutečných ortogonálních polynomů lze vyjádřit pomocí Jacobiho polynomů imaginárního argumentu, a proto se často označuje jako komplexizované Jacobiho polynomy.^[14] Jmenovitě Romanovského rovnice (1) lze formálně získat z Jacobiho rovnice,^[15]

{ displaystyle { begin {aligned} & left (1-x ^ {2} right) {P_ {n} ^ {( gamma, delta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {( gamma, delta)} (x) {P_ {n} ^ {( gamma, delta)}} '(x) + lambda _ {n} P_ {n} ^ {( gamma, delta)} (x) = 0, [4pt] & qquad t_ {1} ^ {( gamma, delta)} (x) = delta - gamma - ( gamma + delta +2) x, quad lambda _ {n} = n (n + gamma + delta +1), quad x in left [-1,1 right], end {aligned}}}

(6)

prostřednictvím náhrad, opravdu $X$ ,

{ displaystyle x to ix, quad { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} to -i { frac { mathrm {d}} {{ mathrm { d}} x}}, quad gamma = delta ^ { ast} = beta -1 + { frac { alpha i} {2}},}

(7)

v tom případě jeden najde

{ displaystyle R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = i ^ {n} P_ {n} ^ { left ( beta -1 + { frac {i} {2}} alpha, beta -1 - { frac {i} {2}} alpha right)} (ix),}

(8)

(s vhodně zvolenými normalizačními konstantami pro Jacobiho polynomy). Složité Jacobiho polynomy vpravo jsou definovány pomocí (1.1) v Kuijlaars et al. (2003)^[16] což zajišťuje, že (8) jsou skutečné polynomy v x. Vzhledem k tomu, že citovaní autoři diskutují neermitské (komplexní) podmínky ortogonality pouze pro skutečné Jacobiho indexy, překrývání mezi jejich analýzou a definicí (8) Romanovských polynomů existuje pouze v případě, že α = 0. Zkoumání tohoto zvláštního případu však vyžaduje více zkoumání nad rámec tohoto článku. Všimněte si invertibility (8) podle

{ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = (- i) ^ {n} R_ {n} ^ { left (i ( alpha - beta), { frac {1} {2}} ( alpha + beta) +1) right)} (- ix),}

(9)

kam teď, $P (α, β) n (X)$ je skutečný Jacobiho polynom a

{ displaystyle R_ {n} ^ { left (i ( alpha - beta), { frac {1} {2}} ( alpha + beta) +1) right)} (- ix)}

by byl komplexní Romanovského polynom.

Vlastnosti Romanovských polynomů

Explicitní konstrukce

Opravdu $α, β$ a $n = 0, 1, 2, ...$ , funkce $R (α, β) n (X)$ lze definovat pomocí Rodriguesova vzorce v rovnici (4) tak jako

{ displaystyle R_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) equiv { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { frac {{ rm {d}} ^ {n}} {{ rm {d}} x ^ {n}}} left (w ^ {( alpha, beta)} (x) s (x) ^ {n }že jo),}

(10)

kde $w (α, β)$ je stejná váhová funkce jako v (2), a $s (X) = 1 + X 2$ je koeficient druhé derivace hypergeometrická diferenciální rovnice jako v (1).

Všimněte si, že jsme vybrali normalizační konstanty $N n = 1$ , což je ekvivalentní volbě koeficientu nejvyššího stupně v polynomu, jak je dán rovnicí (5). Má formu

{ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {n!}} prod _ {k = 0} ^ {n-1} { bigl (} 2 beta (nk) + n (n-1 ) -k (k-1) { bigr)}, quad n geq 1.}

(11)

Všimněte si také, že koeficient $C n$ nezávisí na parametru $α$ , ale pouze na $β$ a pro konkrétní hodnoty $β$ , $C n$ zmizí (tj. pro všechny hodnoty

{ displaystyle beta = { frac {k (k-1) -n (n-1)} {2 (n-k)}}}

kde $k = 0, ..., n - 1$ ). Toto pozorování představuje problém řešený níže.

Pro pozdější použití explicitně napíšeme polynomy stupňů 0, 1 a 2,

{ displaystyle { begin {aligned} R_ {0} ^ {( alpha, beta)} (x) & = 1, [6pt] R_ {1} ^ {( alpha, beta)} ( x) & = { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} left (w '^ {( alpha, beta)} (x) s (x) + s '(x) w ^ {( alpha, beta)} (x) right) [6pt] & = t ^ {( alpha, beta)} (x) = 2 beta x + alpha , [6pt] R_ {2} ^ {( alpha, beta)} (x) & = { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} left (s ^ {2} (x) w '^ {( alpha, beta)} (x) + 2s (x) s '(x) w ^ {( alpha, beta)} (x) right) & = { frac {1} {w ^ {( alpha, beta)} (x)}} { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} left (s (x) w ^ {( alpha, beta)} (x) left (t ^ {( alpha , beta)} (x) + s '(x) pravý) pravý) [6pt] & = levý (2x + t ^ {( alfa, beta)} (x) pravý) t ^ {( alpha, beta)} (x) + left (2 + t '^ {( alpha, beta)} (x) right) s (x) [6pt] & = (2 beta +1) (2 beta +2) x ^ {2} +2 (2 beta +1) alpha x + vlevo (2 beta + alpha ^ {2} +2 vpravo), end {zarovnaný}}}

které jsou odvozeny od Rodriguesova vzorce (10) ve spojení s Pearson's ODE (3).

Ortogonalita

Dva polynomy, $R (α, β) m (X)$ a $R (α, β) n (X)$ s $m \neq n$ , jsou kolmé,^[3]

{ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} w ^ {( alpha, beta)} (x) R_ {m} ^ {( alpha, beta)} (x) R_ { n} ^ {( alpha, beta)} (x) = 0}

(12)

jen tehdy,

{ displaystyle m + n <1-2 beta.}

(13)

Jinými slovy, pro libovolné parametry je pouze konečný počet Romanovských polynomů ortogonálních. Tato vlastnost se označuje jako konečná ortogonalita. V některých zvláštních případech, kdy parametry závisí konkrétním způsobem na polynomiálním stupni, lze dosáhnout nekonečné ortogonality.

To je případ verze rovnice (1), se kterým se v souvislosti s přesnou rozpustností kvantově-mechanického problému v USA znovu setkali nezávisle trigonometrický potenciál Rosen-Morse a popsáno v Compean & Kirchbach (2006).^[17] Tam polynomiální parametry $α$ a $β$ již nejsou libovolné, ale jsou vyjádřeny z hlediska potenciálních parametrů, $A$ a $b$ a stupeň $n$ polynomu podle vztahů,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} alpha to alpha _ {n} = { frac {2b} {n + 1 + a}}, quad beta to beta _ {n} = - ( a + n + 1) +1, quad n = 0,1,2, ldots, infty. end {zarovnáno}}}

(14)

Odpovídajícím způsobem, $λ n$ se jeví jako $λ n = - n (2 A + n - 1)$ , zatímco váhová funkce získá tvar

{ displaystyle left (1 + x ^ {2} right) ^ {- (a + n + 1)} exp left (- { frac {2b} {n + a + 1}} operatorname { arccot} x vpravo).}

Nakonec jednorozměrná proměnná, $X$ , ve společnosti Compean & Kirchbach (2006)^[17] byl vzat jako

{ displaystyle x = cot left ({ frac {r} {d}} right),}

kde $r$ je radiální vzdálenost, zatímco ${ displaystyle d}$ je vhodný parametr délky. Ve společnosti Compean & Kirchbach^[17] bylo prokázáno, že rodina Romanovských polynomů odpovídající nekonečné posloupnosti párů parametrů,

{ displaystyle left ( alpha _ {1}, beta _ {1} right), left ( alpha _ {2} beta _ {2} right), ldots, left ( alpha _ {n} beta _ {n} vpravo), ldots, quad n longrightarrow infty,}

(15)

je kolmý.

Generující funkce

Ve Weberovi (2007)^[18] polynomy $Q (α n, β n + n) ν (X)$ , s $β n + n = - A$ a doplňující k $R (α n, β n) n (X)$ byly studovány, generovány následujícím způsobem:

{ displaystyle Q _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n right)} (x) = { frac {1} {w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)}}} { frac {{ mathrm {d}} ^ { nu}} {{ mathrm {d}} x ^ { nu}}} w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} right)} (x) left (1 + x ^ {2} right) ^ {n}. }

(16)

Při zohlednění vztahu

{ displaystyle w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} right)} (x) left (1 + x ^ {2} right) ^ { delta} = w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + delta right)} (x),}

(17)

Rovnice (16) se stává ekvivalentem

{ displaystyle { begin {aligned} Q _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n right)} (x) & = { frac {1} { w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)}}} { frac {{ mathrm {d}} ^ { nu}} {{ mathrm {d}} x ^ { nu}}} w ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} (x) left (1 + x ^ {2} right) ^ { nu} [4pt] & = R _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right) } (x), end {zarovnáno}}}

(18)

a tak spojuje komplementární s hlavními Romanovského polynomy.

Hlavním lákadlem komplementárních polynomů je, že jejich generující funkce lze vypočítat v uzavřené formě.^[19] Takový generující funkce, psaný pro Romanovského polynomy na základě rovnice (18) s parametry v (14), a proto s odkazem na nekonečnou ortogonalitu, byl zaveden jako

{ displaystyle G ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} right)} (x, y) = sum _ { nu = 0} ^ { infty} R _ { nu } ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} (x) { frac {y ^ { nu}} { nu!}}.}

(19)

Značkové rozdíly mezi Weberem^[18] a ty zde použité jsou shrnuty následovně:

$G (α n, β n) (X, y)$ tady versus $Q (X, y; α,- A)$ tam, $α$ tam místo $α n$ tady,
$A = - β n - n$ , a
$Q (α,- A) ν (X)$ v rovnici (15) ve Weberovi^[18] souhlasí s $R (α n, β n + n - ν) ν (X)$ tady.

Diskutující generující funkce získaná Weberem^[18] nyní zní:

{ displaystyle G ^ {( alpha _ {n}, beta _ {n})} (x, y) = left (1 + x ^ {2} right) ^ {- beta _ {n} -n + 1} exp left ( alpha _ {n} operatorname {arccot} x right) left (1+ left (x + y left (1 + x ^ {2} right) ) right) ^ {2} right) ^ {- left (- beta _ {n} -n + 1 right)} exp left (- alpha _ {n} operatorname {arccot} left ( x + y vlevo (1 + x ^ {2} vpravo) vpravo) vpravo.}

(20)

Vztahy opakování

Vztahy opakování mezi nekonečnou ortogonální řadou Romanovských polynomů s parametry ve výše uvedených rovnicích (14) vyplývá z generující funkce,^[18]

{ displaystyle nu { bigl (} nu + 1-2 ( beta _ {n} + n) { bigr)} R _ { nu -1} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu +1 right)} (x) + { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}} R _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} (x) = 0,}

(21)

a

{ displaystyle R _ { nu +1} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu -1 right)} (x) = { bigl (} alpha _ {n} -2x (- beta _ {n} -n + nu +1) { bigr)} R _ { nu} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu right)} - ​​ nu left (1 + x ^ {2} right) { bigl (} 2 (- beta _ {n} -n) + nu +1 { bigr) } R _ { nu -1} ^ { left ( alpha _ {n}, beta _ {n} + n- nu +1 right)},}

(22)

jako rovnice (10) a (23) Webera (2007)^[18] resp.

Viz také

Reference

^ Romanovski, V. (1929). "Třídy sur quelques nouvelles de polynomes orthogonaux". C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky). 188: 1023.
^ Routh, E. J. (1884). „O některých vlastnostech určitých řešení diferenciální rovnice druhého řádu“ (PDF). Proc. London Math. Soc. 16: 245. doi:10.1112 / plms / s1-16.1.245.
^ ^A ^b Raposo, A. P .; Weber, H. J .; Álvarez Castillo, D. E .; Kirchbach, M. (2007). "Romanovski polynomy ve vybraných fyzikálních problémech". Cent. Eur. J. Phys. 5 (3): 253–284. arXiv:0706.3897. Bibcode:2007CEJPh ... 5..253R. doi:10.2478 / s11534-007-0018-5.
^ Lesky, P. A. (1996). "Endliche und unendliche Systeme von kontinuierlichen klassischen Orthogonalpolynomen". Z. Angew. Matematika. Mech. (v němčině). 76 (3): 181. Bibcode:1996ZaMM ... 76..181L. doi:10.1002 / zamm.19960760317.
^ Abramowitz, M.; Stegun, I. (1972). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami (2. vyd.). New York, NY: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
^ Nikiforov, A. F .; Uvarov, V. B. (1988). Speciální funkce matematické fyziky. Basilej: Birkhäuser Verlag.
^ Szego, G. (1939). Ortogonální polynomy. 23. Providence, RI: American Mathematical Society.
^ Ismail, M. E. H. (2005). Klasické a kvantové ortogonální polynomy v jedné proměnné. Cambridge University Press.
^ Askey, R. (1987). "Integrál Ramanujanu a ortogonálních polynomů". J. Indian Math. Soc. 51: 27.
^ Askey, R. (1987). "Beta integrály a přidružené ortogonální polynomy". Teorie čísel. Poznámky k přednášce v matematice. 1395. Madras / Berlín: Springer. p. 84.
^ Zarzo Altarejos, A. (1995). Diferenciální rovnice hypergeometrického typu (PhD) (ve španělštině). Přírodovědecká fakulta, University of Granada.
^ Witte, N. S .; Forrester, P. J. (2000). Msgstr "Pravděpodobnosti mezery v konečných a zmenšených souborech náhodných matic Cauchyho". Nelinearita. 13 (6): 13–1986. arXiv:math-ph / 0009022. Bibcode:2000Nonli..13.1965W. doi:10.1088/0951-7715/13/6/305.
^ Forrester, P. J. (2010). Log-plyny a náhodné matice. Monografie London Mathematical Society. Princeton University Press.
^ Cotfas, N. (2004). "Systémy ortogonálních polynomů definované rovnicemi hypergeometrického typu s aplikací na kvantovou mechaniku". Cent. Eur. J. Phys. 2 (3): 456–466. arXiv:math-ph / 0602037. Bibcode:2004CEJPh ... 2..456C. doi:10,2478 / bf02476425.
^ Weisstein, Eric W. „Jacobiho diferenciální rovnice“. MathWorld.
^ Kuijlaars, A. B. J .; Martinez-Finkelshtein, A .; Orive, R. (2005). "Ortogonalita Jacobiho polynomů s obecnými parametry". Elektron. Trans. Číslo. Anální. 19: 1–17. arXiv:matematika / 0301037. Bibcode:Matematika 2003 ... 1037 tis.
^ ^A ^b ^C Compean, C. B .; Kirchbach, M. (2006). „Trigonometrický potenciál Rosen – Morse v supersymetrické kvantové mechanice a jeho přesná řešení“. J. Phys. A: Math. Gen. 39 (3): 547–558. arXiv:quant-ph / 0509055. Bibcode:2006JPhA ... 39..547C. doi:10.1088/0305-4470/39/3/007.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Weber, H. J. (2007). "Spojení mezi Romanovského polynomy a jinými polynomy". Středoevropský žurnál matematiky. 5 (3): 581. arXiv:0706.3153. doi:10.2478 / s11533-007-0014-4.
^ Weber, H. J. (2007). "Spojení mezi reálnými polynomiálními řešeními diferenciálních rovnic hypergeometrického typu s Rodriguesovým vzorcem". Středoevropský žurnál matematiky. 5 (2): 415–427. arXiv:0706.3003. doi:10,2478 / s11533-007-0004-6.

[1] Romanovski, V. (1929). "Třídy sur quelques nouvelles de polynomes orthogonaux". C. R. Acad. Sci. Paříž (francouzsky). 188: 1023.

[2] Routh, E. J. (1884). „O některých vlastnostech určitých řešení diferenciální rovnice druhého řádu“ (PDF). Proc. London Math. Soc. 16: 245. doi:10.1112 / plms / s1-16.1.245.

[RAP-3] A ^b Raposo, A. P .; Weber, H. J .; Álvarez Castillo, D. E .; Kirchbach, M. (2007). "Romanovski polynomy ve vybraných fyzikálních problémech". Cent. Eur. J. Phys. 5 (3): 253–284. arXiv:0706.3897. Bibcode:2007CEJPh ... 5..253R. doi:10.2478 / s11534-007-0018-5.

[4] Lesky, P. A. (1996). "Endliche und unendliche Systeme von kontinuierlichen klassischen Orthogonalpolynomen". Z. Angew. Matematika. Mech. (v němčině). 76 (3): 181. Bibcode:1996ZaMM ... 76..181L. doi:10.1002 / zamm.19960760317.

[Abramowitz-5] Abramowitz, M.; Stegun, I. (1972). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami (2. vyd.). New York, NY: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.

[6] Nikiforov, A. F .; Uvarov, V. B. (1988). Speciální funkce matematické fyziky. Basilej: Birkhäuser Verlag.

[7] Szego, G. (1939). Ortogonální polynomy. 23. Providence, RI: American Mathematical Society.

[8] Ismail, M. E. H. (2005). Klasické a kvantové ortogonální polynomy v jedné proměnné. Cambridge University Press.

[9] Askey, R. (1987). "Integrál Ramanujanu a ortogonálních polynomů". J. Indian Math. Soc. 51: 27.

[10] Askey, R. (1987). "Beta integrály a přidružené ortogonální polynomy". Teorie čísel. Poznámky k přednášce v matematice. 1395. Madras / Berlín: Springer. p. 84.

[11] Zarzo Altarejos, A. (1995). Diferenciální rovnice hypergeometrického typu (PhD) (ve španělštině). Přírodovědecká fakulta, University of Granada.

[12] Witte, N. S .; Forrester, P. J. (2000). Msgstr "Pravděpodobnosti mezery v konečných a zmenšených souborech náhodných matic Cauchyho". Nelinearita. 13 (6): 13–1986. arXiv:math-ph / 0009022. Bibcode:2000Nonli..13.1965W. doi:10.1088/0951-7715/13/6/305.

[13] Forrester, P. J. (2010). Log-plyny a náhodné matice. Monografie London Mathematical Society. Princeton University Press.

[14] Cotfas, N. (2004). "Systémy ortogonálních polynomů definované rovnicemi hypergeometrického typu s aplikací na kvantovou mechaniku". Cent. Eur. J. Phys. 2 (3): 456–466. arXiv:math-ph / 0602037. Bibcode:2004CEJPh ... 2..456C. doi:10,2478 / bf02476425.

[15] Weisstein, Eric W. „Jacobiho diferenciální rovnice“. MathWorld.

[16] Kuijlaars, A. B. J .; Martinez-Finkelshtein, A .; Orive, R. (2005). "Ortogonalita Jacobiho polynomů s obecnými parametry". Elektron. Trans. Číslo. Anální. 19: 1–17. arXiv:matematika / 0301037. Bibcode:Matematika 2003 ... 1037 tis.

[CK-17] A ^b ^C Compean, C. B .; Kirchbach, M. (2006). „Trigonometrický potenciál Rosen – Morse v supersymetrické kvantové mechanice a jeho přesná řešení“. J. Phys. A: Math. Gen. 39 (3): 547–558. arXiv:quant-ph / 0509055. Bibcode:2006JPhA ... 39..547C. doi:10.1088/0305-4470/39/3/007.

[HJW-18] A ^b ^C ^d ^E ^F Weber, H. J. (2007). "Spojení mezi Romanovského polynomy a jinými polynomy". Středoevropský žurnál matematiky. 5 (3): 581. arXiv:0706.3153. doi:10.2478 / s11533-007-0014-4.

[19] Weber, H. J. (2007). "Spojení mezi reálnými polynomiálními řešeními diferenciálních rovnic hypergeometrického typu s Rodriguesovým vzorcem". Středoevropský žurnál matematiky. 5 (2): 415–427. arXiv:0706.3003. doi:10,2478 / s11533-007-0004-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]