Dirichletův průměr - Dirichlet average

Dirichletovy průměry jsou průměry funkcí pod Dirichletova hustota. Důležité jsou průměry dirichletů, které mají určitou strukturu argumentů, a to

${ displaystyle F ( mathbf {b}; mathbf {z}) = int f ( mathbf {u} cdot mathbf {z}) , d mu _ {b} ( mathbf {u} ),}$

kde ${ displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {z} = součet _ {i} ^ {N} u_ {i} cdot z_ {i}}$ a ${ displaystyle d mu _ {b} ( mathbf {u}) = u_ {1} ^ {b_ {1} -1} cdots u_ {N} ^ {b_ {N} -1} d mathbf { u}}$ je Dirichletova míra s rozměremN. Byly představeny matematikem Bille C. Carlsonem v 70. letech, který si všiml, že jednoduchá představa tohoto typu průměrování zobecňuje a sjednocuje mnoho speciálních funkcí, mezi nimi i zobecněné hypergeometrické funkce nebo různé ortogonální polynomy:^[1]. Hrají také důležitou roli při řešení eliptické integrály (vidět Carlsonova symetrická forma ) a jsou připojeny ke statistickým aplikacím různými způsoby, například v Bayesovská analýza.^[2]

Pozoruhodné Dirichletovy průměry

Některé Dirichletovy průměry jsou tak zásadní, že jsou pojmenovány. Některé jsou uvedeny níže.

Funkce R.

Funkce (Carlson) R je Dirichletův průměr ${ displaystyle x ^ {n}}$,

${ displaystyle R_ {n} ( mathbf {b}, mathbf {z}) = int ( mathbf {u} cdot mathbf {z}) ^ {n} , d mu _ {b} ( mathbf {u})}$

s ${ displaystyle n}$. Někdy ${ displaystyle R_ {n} ( mathbf {b}, mathbf {z})}$ je také označen ${ displaystyle R (-n; mathbf {b}, mathbf {z})}$.

Přesná řešení:

Pro ${ displaystyle n geq 0, n in mathbb {N}}$ je možné napsat přesné řešení ve formě iteračního součtu^[3]

${ displaystyle R_ {n} ( mathbf {b}, mathbf {z}) = { frac { gama (n + 1) gama (b)} { gama (b + n)}} cdot D_ {n} { text {with}} D_ {n} = { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {N} b_ {i} cdot z_ {i} ^ {k} right) cdot D_ {nk}}$

kde ${ displaystyle D_ {0} = 1}$, ${ displaystyle N}$ je rozměr ${ displaystyle mathbf {b}}$ nebo ${ displaystyle mathbf {z}}$ a ${ displaystyle b = součet b_ {i}}$.

S-funkce

Funkce (Carlson) S je Dirichletův průměr ${ displaystyle e ^ {x}}$,

${ displaystyle S ( mathbf {b}, mathbf {z}) = int exp ( mathbf {u} cdot mathbf {z}) , d mu _ {b} ( mathbf {u }).}$

Reference