V matematice je Produkt Khatri – Rao je definován jako[1] [2]
A ∗ B = ( A i j ⊗ B i j ) i j { displaystyle mathbf {A} ast mathbf {B} = left ( mathbf {A} _ {ij} otimes mathbf {B} _ {ij} right) _ {ij}} ve kterém ij -tý blok je mi stri × nj qj Produkt Kronecker odpovídajících bloků A a B , za předpokladu počtu řadových a sloupcových oddílů obou matice je roven. Velikost produktu je pak (Σi mi stri j nj qj .
Například pokud A a B oba jsou 2 × 2 dělené matice, např .:
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] , B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] = [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] , { displaystyle mathbf {A} = left [{ begin {pole} {c | c} mathbf {A} _ {11} & mathbf {A} _ {12} hline mathbf {A} _ {21} & mathbf {A} _ {22} end {pole}} right] = left [{ begin {array} {cc | c} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 hline 7 & 8 & 9 end {array}} right], quad mathbf {B} = left [{ begin {array} {c | c} mathbf {B} _ {11} & mathbf {B} _ {12} hline mathbf {B} _ {21} & mathbf {B} _ {22} end {array}} right] = left [{ begin {array} {c | c c} 1 & 4 & 7 hline 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end {array}} right],} získáváme:
A ∗ B = [ A 11 ⊗ B 11 A 12 ⊗ B 12 A 21 ⊗ B 21 A 22 ⊗ B 22 ] = [ 1 2 12 21 4 5 24 42 14 16 45 72 21 24 54 81 ] . { displaystyle mathbf {A} ast mathbf {B} = left [{ begin {pole} {c | c} mathbf {A} _ {11} otimes mathbf {B} _ {11} & mathbf {A} _ {12} otimes mathbf {B} _ {12} hline mathbf { A} _ {21} otimes mathbf {B} _ {21} & mathbf {A} _ {22} otimes mathbf {B} _ {22} end {array}} right] = left [{ begin {pole} {cc | c c} 1 & 2 & 12 & 21 4 & 5 & 24 & 42 hline 14 & 16 & 45 & 72 21 & 24 & 54 & 81 end {array}} right].} Toto je submatice Produkt Tracy – Singh ze dvou matic (každý oddíl v tomto příkladu je oddíl v rohu okna Produkt Tracy – Singh ) a může se také nazývat blokový produkt Kronecker.
Sloupcový produkt Khatri – Rao Sloupově Produkt Kronecker dvou matic lze také nazvat produktem Khatri – Rao. Tento produkt předpokládá, že oddíly matic jsou jejich sloupce. V tomto případě m 1 = m str 1 = str n = q j : nj = strj = 1mp × n A a B . Použití matic z předchozích příkladů s rozdělenými sloupci:
C = [ C 1 C 2 C 3 ] = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] , D = [ D 1 D 2 D 3 ] = [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] , { displaystyle mathbf {C} = left [{ begin {pole} {c | c | c} mathbf {C} _ {1} & mathbf {C} _ {2} & mathbf {C} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {c | c | c} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end {array}} right], quad mathbf {D} = left [{ begin {array} {c | c | c} mathbf {D} _ {1} & mathbf {D} _ {2} & mathbf {D} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {c | c | c} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end {array}} right],} aby:
C ∗ D = [ C 1 ⊗ D 1 C 2 ⊗ D 2 C 3 ⊗ D 3 ] = [ 1 8 21 2 10 24 3 12 27 4 20 42 8 25 48 12 30 54 7 32 63 14 40 72 21 48 81 ] . { displaystyle mathbf {C} ast mathbf {D} = left [{ begin {pole} {c | c | c} mathbf {C} _ {1} otimes mathbf {D} _ {1} & mathbf {C} _ {2} otimes mathbf {D} _ {2} & mathbf {C} _ {3} otimes mathbf {D} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {c | c | c} 1 & 8 & 21 2 & 10 & 24 3 & 12 & 27 4 & 20 & 42 8 & 25 & 48 12 & 30 & 54 7 & 32 & 63 14 & 40 & 72 21 & 48 & 81 end {pole}} vpravo].} Tato sloupcová verze produktu Khatri – Rao je užitečná v přístupech lineární algebry k analytickému zpracování dat[3] [4] [5]
V roce 1996 byl k odhadu navržen sloupcový produkt Khatri-Rao Úhel příjezdu (AOAs) a zpoždění vícecestných signálů[6] [7] digitální anténní pole .
Produkt rozdělující obličej Produkt dělení tváří matric
Alternativní koncept maticového produktu, který využívá řádkové dělení matic s daným počtem řádků, navrhl V. Slyusar [8] [7] [9] [10] [11] [12]
Tato maticová operace byla pojmenována „produkt dělení tváří“ matic[9] [11]
C = [ C 1 C 2 C 3 ] = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] , D = [ D 1 D 2 D 3 ] = [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] , { displaystyle mathbf {C} = left [{ begin {array} {cc} mathbf {C} _ {1} hline mathbf {C} _ {2} hline mathbf { C} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 hline 4 & 5 & 6 hline 7 & 8 & 9 end {array}} right] , quad mathbf {D} = left [{ begin {array} {c} mathbf {D} _ {1} hline mathbf {D} _ {2} hline mathbf { D} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {ccc} 1 & 4 & 7 hline 2 & 5 & 8 hline 3 & 6 & 9 end {array}} right] ,} výsledek lze získat:[7] [9] [11]
C ∙ D = [ C 1 ⊗ D 1 C 2 ⊗ D 2 C 3 ⊗ D 3 ] = [ 1 4 7 2 8 14 3 12 21 8 20 32 10 25 40 12 30 48 21 42 63 24 48 72 27 54 81 ] . { displaystyle mathbf {C} bullet mathbf {D} = left [{ begin {array} {c} mathbf {C} _ {1} otimes mathbf {D} _ {1} hline mathbf {C} _ {2} otimes mathbf {D} _ {2} hline mathbf {C} _ {3} otimes mathbf {D} _ {3} konec {array}} right] = left [{ begin {array} {cccccccc} 1 & 4 & 7 & 2 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 hline 8 & 20 & 32 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 hline 21 & 42 & 63 & 24 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81 end)} right.} right. Hlavní vlastnosti Přemístit V. Slyusar , 1996[7] [9] [10] ( A ∙ B ) T = A T ∗ B T { displaystyle left ( mathbf {A} bullet mathbf {B} right) ^ { textyf {T}} = { textbf {A}} ^ { textyf {T}} ast mathbf { B} ^ { textyf {T}}} Bilinearita a asociativita [7] [9] [10]
A ∙ ( B + C ) = A ∙ B + A ∙ C , ( B + C ) ∙ A = B ∙ A + C ∙ A , ( k A ) ∙ B = A ∙ ( k B ) = k ( A ∙ B ) , ( A ∙ B ) ∙ C = A ∙ ( B ∙ C ) , { displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} bullet ( mathbf {B} + mathbf {C}) & = mathbf {A} bullet mathbf {B} + mathbf {A} bullet mathbf {C}, ( mathbf {B} + mathbf {C}) bullet mathbf {A} & = mathbf {B} bullet mathbf {A} + mathbf {C} bullet mathbf {A}, (k mathbf {A}) bullet mathbf {B} & = mathbf {A} bullet (k mathbf {B}) = k ( mathbf {A} bullet mathbf {B}), ( mathbf {A} bullet mathbf {B}) bullet mathbf {C} & = mathbf {A} bullet ( mathbf {B} bullet mathbf {C}), end {zarovnáno}}} kde A , B a C jsou matice a k je skalární ,
A ∙ B = B ∙ A { displaystyle a bullet mathbf {B} = mathbf {B} odrážka} [10] A { displaystyle a} vektor ,Vlastnost smíšeného produktu (V. Slyusar , 1997[10] ( A ∙ B ) ( A T ∗ B T ) = ( A A T ) ∘ ( B B T ) { displaystyle ( mathbf {A} kulka mathbf {B}) vlevo ( mathbf {A} ^ { textyf {T}} ast mathbf {B} ^ { textyf {T}} vpravo ) = left ( mathbf {A} mathbf {A} ^ { textyf {T}} doprava) circ left ( mathbf {B} mathbf {B} ^ { textyf {T}} že jo)} ( A ∙ B ) ( C ∗ D ) = ( A C ) ∘ ( B D ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {B}) ( mathbf {C} ast mathbf {D}) = ( mathbf {A} mathbf {C}) circ ( mathbf { B} mathbf {D})} ( A ∙ B ∙ C ∙ D ) ( L ∗ M ∗ N ∗ P ) = ( A L ) ∘ ( B M ) ∘ ( C N ) ∘ ( D P ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {B} bullet mathbf {C} bullet mathbf {D}) ( mathbf {L} ast mathbf {M} ast mathbf {N } ast mathbf {P}) = ( mathbf {A} mathbf {L}) circ ( mathbf {B} mathbf {M}) circ ( mathbf {C} mathbf {N}) circ ( mathbf {D} mathbf {P})} [13] ( A ∗ B ) T ( A ∗ B ) = ( A T A ) ∘ ( B T B ) { displaystyle ( mathbf {A} ast mathbf {B}) ^ { textyf {T}} ( mathbf {A} ast mathbf {B}) = ( mathbf {A} ^ { textyf {T}} mathbf {A}) circ ( mathbf {B} ^ { textyf {T}} mathbf {B})} [14] ∘ { displaystyle circ} Produkt Hadamard , ( A ∘ B ) ∙ ( C ∘ D ) = ( A ∙ C ) ∘ ( B ∙ D ) { displaystyle ( mathbf {A} circ mathbf {B}) bullet ( mathbf {C} circ mathbf {D}) = ( mathbf {A} bullet mathbf {C}) circ ( mathbf {B} bullet mathbf {D})} [10] A ⊗ ( B ∙ C ) = ( A ⊗ B ) ∙ C { displaystyle mathbf {A} otimes ( mathbf {B} bullet mathbf {C}) = ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) bullet mathbf {C}} [7] ( A ⊗ B ) ( C ∗ D ) = ( A C ) ∗ ( B D ) { displaystyle ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) ( mathbf {C} ast mathbf {D}) = ( mathbf {A} mathbf {C}) ast ( mathbf { B} mathbf {D})} [14] ( A ∙ B ) ( C ⊗ D ) = ( A C ) ∙ ( B D ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {B}) ( mathbf {C} otimes mathbf {D}) = ( mathbf {A} mathbf {C}) bullet ( mathbf { B} mathbf {D})} [11] [13] ( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) . . . ( C ⊗ S ) = ( A B . . . C ) ∙ ( L M . . . S ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {L}) ( mathbf {B} otimes mathbf {M}) ... ( mathbf {C} otimes mathbf {S}) = ( mathbf {A} mathbf {B} ... mathbf {C}) bullet ( mathbf {L} mathbf {M} ... mathbf {S})} C T ∙ d T = C T ⊗ d T { displaystyle c ^ { textyf {T}} odrážka d ^ { textyf {T}} = c ^ { textyf {T}} často d ^ { textyf {T}}} [10] C ∗ d = C ⊗ d { displaystyle c ast d = c mnohokrát d} C { displaystyle c} d { displaystyle d} vektory , ( A ∗ C T ) d = ( A ∗ d T ) C { displaystyle ( mathbf {A} ast c ^ { textyf {T}}) d = ( mathbf {A} ast d ^ { textyf {T}}) c} [15] d T ( C ∙ A T ) = C T ( d ∙ A T ) { displaystyle d ^ { textyf {T}} (c kulka mathbf {A} ^ { textyf {T}}) = c ^ { textyf {T}} (d kulka mathbf {A} ^ { textyf {T}})} ( A ∙ B ) ( C ⊗ d ) = ( A C ) ∘ ( B d ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {B}) (c otimes d) = ( mathbf {A} c) circ ( mathbf {B} d)} [16] C { displaystyle c} d { displaystyle d} vektory (jedná se o kombinaci vlastností 3 a 8), ( A ∙ B ) ( M N C ⊗ Q P d ) = ( A M N C ) ∘ ( B Q P d ) , { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {B}) ( mathbf {M} mathbf {N} c otimes mathbf {Q} mathbf {P} d) = ( mathbf {A} mathbf {M} mathbf {N} c) circ ( mathbf {B} mathbf {Q} mathbf {P} d),} F ( C ( 1 ) X ⋆ C ( 2 ) y ) = ( F C ( 1 ) ∙ F C ( 2 ) ) ( X ⊗ y ) = F C ( 1 ) X ∘ F C ( 2 ) y { displaystyle { mathcal {F}} (C ^ {(1)} x star C ^ {(2)} y) = ({ mathcal {F}} C ^ {(1)} odrážka { mathcal {F}} C ^ {(2)}) (x ot yy) = { mathcal {F}} C ^ {(1)} x circ { mathcal {F}} C ^ {(2) } y} ⋆ { displaystyle star} konvoluce a F { displaystyle { mathcal {F}}} Fourierova transformační matice (tento výsledek se vyvíjí z počítat skicu vlastnosti[17] A ∙ B = ( A ⊗ 1 C T ) ∘ ( 1 k T ⊗ B ) { displaystyle mathbf {A} bullet mathbf {B} = ( mathbf {A} otimes mathbf {1_ {c}} ^ { textyf {T}}) circ ( mathbf {1_ {k }} ^ { textyf {T}} otimes mathbf {B})} [18] A { displaystyle mathbf {A}} r × C { displaystyle r times c} B { displaystyle mathbf {B}} r × k { displaystyle r times k} 1 C { displaystyle mathbf {1_ {c}}} C { displaystyle c} 1 k { displaystyle mathbf {1_ {k}}} k { displaystyle k} M ∙ M = ( M ⊗ 1 T ) ∘ ( 1 T ⊗ M ) { displaystyle mathbf {M} kulka mathbf {M} = ( mathbf {M} otimes mathbf {1} ^ { textyf {T}}) circ ( mathbf {1} ^ { textyf {T}} otimes mathbf {M})} [19] M { displaystyle mathbf {M}} r × C { displaystyle r times c} ∘ { displaystyle circ} 1 { displaystyle mathbf {1}} C { displaystyle c} M ∙ M = M [ ∘ ] ( M ⊗ 1 T ) { displaystyle mathbf {M} bullet mathbf {M} = mathbf {M} [ circ] ( mathbf {M} otimes mathbf {1} ^ { textyf {T}})} [ ∘ ] { displaystyle [ circ]} penetrační produkt na obličej matic[11] P ∗ N = ( P ⊗ 1 C ) ∘ ( 1 k ⊗ N ) { displaystyle mathbf {P} ast mathbf {N} = ( mathbf {P} otimes mathbf {1_ {c}}) circ ( mathbf {1_ {k}} otimes mathbf {N })} P { displaystyle mathbf {P}} C × r { displaystyle c times r} N { displaystyle mathbf {N}} k × r { displaystyle k times r} Ž d A = w ∙ A { displaystyle mathbf {W_ {d}} mathbf {A} = mathbf {w} bullet mathbf {A}} [10] proti E C ( A T Ž d A ) = ( A ∙ A ) T w { displaystyle vec ( mathbf {A} ^ { textyf {T}} mathbf {W_ {d}} mathbf {A}) = ( mathbf {A} kulka mathbf {A}) ^ { textyf {T}} mathbf {w}} [19] w { displaystyle mathbf {w}} Ž d { displaystyle mathbf {W_ {d}}} proti E C ( A ) { displaystyle vec ( mathbf {A})} A { displaystyle mathbf {A}} ( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) . . . ( C ⊗ S ) ( K. ∗ T ) = ( A B . . . C K. ) ∘ ( L M . . . S T ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {L}) ( mathbf {B} otimes mathbf {M}) ... ( mathbf {C} otimes mathbf {S}) ( mathbf {K} ast mathbf {T}) = ( mathbf {A} mathbf {B} ... mathbf {C} mathbf {K}) circ ( mathbf {L} mathbf {M } ... mathbf {S} mathbf {T})} [11] [13] ( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) . . . ( C ⊗ S ) ( C ⊗ d ) = ( A B . . . C C ) ∘ ( L M . . . S d ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {L}) ( mathbf {B} otimes mathbf {M}) ... ( mathbf {C} otimes mathbf {S}) (c otimes d) = ( mathbf {A} mathbf {B} ... mathbf {C} c) circ ( mathbf {L} mathbf {M} ... mathbf {S} d)} ( A ∙ L ) ( B ⊗ M ) . . . ( C ⊗ S ) ( P C ⊗ Q d ) = ( A B . . . C P C ) ∘ ( L M . . . S Q d ) { displaystyle ( mathbf {A} bullet mathbf {L}) ( mathbf {B} otimes mathbf {M}) ... ( mathbf {C} otimes mathbf {S}) ( mathbf {P} c otimes mathbf {Q} d) = ( mathbf {A} mathbf {B} ... mathbf {C} mathbf {P} c) circ ( mathbf {L} mathbf {M} ... mathbf {S} mathbf {Q} d)} C { displaystyle c} d { displaystyle d} vektory ( [ 1 0 0 1 1 0 ] ∙ [ 1 0 1 0 0 1 ] ) ( [ 1 1 1 − 1 ] ⊗ [ 1 1 1 − 1 ] ) ( [ σ 1 0 0 σ 2 ] ⊗ [ ρ 1 0 0 ρ 2 ] ) ( [ X 1 X 2 ] ∗ [ y 1 y 2 ] ) = ( [ 1 0 0 1 1 0 ] ∙ [ 1 0 1 0 0 1 ] ) ( [ 1 1 1 − 1 ] [ σ 1 0 0 σ 2 ] [ X 1 X 2 ] ⊗ [ 1 1 1 − 1 ] [ ρ 1 0 0 ρ 2 ] [ y 1 y 2 ] ) = [ 1 0 0 1 1 0 ] [ 1 1 1 − 1 ] [ σ 1 0 0 σ 2 ] [ X 1 X 2 ] ∘ [ 1 0 1 0 0 1 ] [ 1 1 1 − 1 ] [ ρ 1 0 0 ρ 2 ] [ y 1 y 2 ] . { displaystyle { begin {zarovnáno} & quad left ({ begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} bullet { begin {bmatrix} 1 & 0 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} right) left ({ begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} otimes { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix} } right) left ({ begin {bmatrix} sigma _ {1} & 0 0 & sigma _ {2} end {bmatrix}} otimes { begin {bmatrix} rho _ {1 } & 0 0 & rho _ {2} end {bmatrix}} right) left ({ begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} end {bmatrix}} ast { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} right) [5pt] & quad = left ({ begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} bullet { begin {bmatrix} 1 & 0 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} right) left ({ begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} sigma _ {1} & 0 0 & sigma _ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} end {bmatrix }} , otimes , { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} rho _ {1} & 0 0 & rho _ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} right) [5pt] & quad = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 a 1 1 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bm atrix}} { begin {bmatrix} sigma _ {1} & 0 0 & sigma _ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} konec {bmatrix}} , circ , { begin {bmatrix} 1 & 0 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} { začátek {bmatrix} rho _ {1} & 0 0 & rho _ {2} konec {bmatrix}} { begin {bmatrix} y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} . end {zarovnáno}}}
Li M = T ( 1 ) ∙ ⋯ ∙ T ( C ) { displaystyle M = T ^ {(1)} odrážka tečky odrážka T ^ {(c)}} T ( 1 ) , … , T ( C ) { displaystyle T ^ {(1)}, tečky, T ^ {(c)}} T { displaystyle T} T 1 , … , T m ∈ R d { displaystyle T_ {1}, tečky, T_ {m} in mathbb {R} ^ {d}} E [ ( T 1 X ) 2 ] = ‖ X ‖ 2 2 { displaystyle E [(T_ {1} x) ^ {2}] = | x | _ {2} ^ {2}} E [ ( T 1 X ) str ] 1 / str ≤ A str ‖ X ‖ 2 { displaystyle E [(T_ {1} x) ^ {p}] ^ {1 / p} leq { sqrt {ap}} | x | _ {2}} pak | ‖ M X ‖ 2 − ‖ X ‖ 2 | < ε ‖ X ‖ 2 { displaystyle | | Mx | _ {2} - | x | _ {2} | < varepsilon | x | _ {2}} 1 − δ { displaystyle 1- delta} X { displaystyle x} m = ( 4 A ) 2 C ε − 2 log 1 / δ + ( 2 A E ) ε − 1 ( log 1 / δ ) C . { displaystyle m = (4a) ^ {2c} varepsilon ^ {- 2} log 1 / delta + (2ae) varepsilon ^ {- 1} ( log 1 / delta) ^ {c}.} Zejména pokud jsou záznamy z T { displaystyle T} ± 1 { displaystyle pm 1} m = Ó ( ε − 2 log 1 / δ + ε − 1 ( 1 C log 1 / δ ) C ) { displaystyle m = O ( varepsilon ^ {- 2} log 1 / delta + varepsilon ^ {- 1} ({ tfrac {1} {c}} log 1 / delta) ^ {c} )} Johnson – Lindenstraussovo lemma z m = Ó ( ε − 2 log 1 / δ ) { displaystyle m = O ( varepsilon ^ {- 2} log 1 / delta)} ε { displaystyle varepsilon}
Blokovat produkt rozdělování obličeje Transponovaný produkt blokování obličeje v kontextu víceúrovňového radarového modelu
[13] Podle definice V. Slyusar [7] [11] dělené matice s daným počtem řádků v blocích
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] , B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] , { displaystyle mathbf {A} = left [{ begin {pole} {c | c} mathbf {A} _ {11} & mathbf {A} _ {12} hline mathbf {A} _ {21} & mathbf {A} _ {22} end {pole}} right], quad mathbf {B} = left [{ begin {array} {c | c} mathbf {B} _ {11} & mathbf {B} _ {12} hline mathbf {B} _ {21} & mathbf {B} _ {22} end {array}} že jo],} lze napsat jako:
A [ ∙ ] B = [ A 11 ∙ B 11 A 12 ∙ B 12 A 21 ∙ B 21 A 22 ∙ B 22 ] { displaystyle mathbf {A} [ bullet] mathbf {B} = left [{ begin {pole} {c | c} mathbf {A} _ {11} bullet mathbf {B} _ {11} & mathbf {A} _ {12} bullet mathbf {B} _ {12} hline mathbf { A} _ {21} bullet mathbf {B} _ {21} & mathbf {A} _ {22} bullet mathbf {B} _ {22} end {array}} right]} The transponovaný blokový produkt na dělení obličeje (nebo Blokovat sloupcovou verzi produktu Khatri – Rao) ze dvou dělené matice s daným počtem sloupců v blocích má zobrazení:[7] [11]
A [ ∗ ] B = [ A 11 ∗ B 11 A 12 ∗ B 12 A 21 ∗ B 21 A 22 ∗ B 22 ] { displaystyle mathbf {A} [ ast] mathbf {B} = left [{ begin {pole} {c | c} mathbf {A} _ {11} ast mathbf {B} _ {11} & mathbf {A} _ {12} ast mathbf {B} _ {12} hline mathbf { A} _ {21} ast mathbf {B} _ {21} & mathbf {A} _ {22} ast mathbf {B} _ {22} end {array}} right]} Hlavní vlastnosti Přemístit : ( A [ ∗ ] B ) T = A T [ ∙ ] B T { displaystyle left ( mathbf {A} [ ast] mathbf {B} right) ^ { textyf {T}} = { textbf {A}} ^ { textyf {T}} [ odrážka ] mathbf {B} ^ { textyf {T}}} [13] Aplikace Produkt Face-štípání a produkt Block Face-štípání použitý v tenzor -maticová teorie digitální anténní pole . Tyto operace se používají také v Umělá inteligence a Strojové učení systémy k minimalizaci konvoluce a tenzorová skica operace,[16] Zpracování přirozeného jazyka modely a hypergrafické modely podobnosti,[20] Zobecněný model lineárního pole v statistika [19] P-spline aproximace údajů.[18]
Viz také Poznámky ^ Khatri C. G., C. R. Rao (1968). „Řešení některých funkčních rovnic a jejich aplikace k charakterizaci rozdělení pravděpodobnosti“ . Sankhya 30 : 167–180. Archivovány od originál dne 2010-10-23. Citováno 2008-08-21 . ^ Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), „Nerovnosti zahrnující produkty Khatri – Rao z pozitivních semitečných matic“, E-poznámky z aplikované matematiky , 2 : 117–124 ^ Viz např. H. D. Macedo a J.N. Oliveira. Lineární algebra přístup k OLAP . Formal Aspects of Computing, 27 (2): 283–307, 2015. ^ Lev-Ari, Hanoch (01.01.2005). „Efektivní řešení lineárních maticových rovnic s aplikací na multistatické zpracování anténního pole“ . Komunikace v informačních a systémech . 05 (1): 123–130. doi :10.4310 / CIS.2005.v5.n1.a5 ISSN 1526-7555 . ^ Masiero, B .; Nascimento, V. H. (2017-05-01). „Přehodnocení transformace pole Kronecker“ . Dopisy pro zpracování signálu IEEE . 24 (5): 525–529. Bibcode :2017ISPL ... 24..525M . doi :10.1109 / LSP.2017.2674969 . ISSN 1070-9908 . ^ Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Společný odhad úhlu a zpoždění (JADE) pro signály ve vícecestných prostředích . Záznam konference třicáté asilomarské konference o signálech, systémech a počítačích. - DOI: 10.1109 / acssc.1996.599145 ^ A b C d E F G h Slyusar, V. I. (27. prosince 1996). „Konečné produkty v maticích v radarových aplikacích“ (PDF) . Radioelektronika a komunikační systémy. - 1998, roč. 41; Číslo 3 : 50–53. ^ Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): „Interaction Terms in Distance-Based Regression,“ Komunikace ve statistice - teorie a metody , 38:19, s. 3501 [1] ^ A b C d E Slyusar, V. I. (1997-05-20). „Analytický model digitálního anténního pole na základě produktů dělících matice (PDF) . Proc. ICATT-97, Kyiv : 108–109. ^ A b C d E F G h Slyusar, V. I. (1997-09-15). "Nové operace maticového produktu pro aplikace radarů" (PDF) . Proc. Přímé a inverzní problémy teorie elektromagnetických a akustických vln (DIPED-97), Lviv. : 73–74. ^ A b C d E F G h Slyusar, V. I. (13. března 1998). "Rodina produktů tváře matic a její vlastnosti" (PDF) . Kybernetika a systémová analýza C / C Kibernetiky I Sistemnyi Analiz. 1999 . 35 (3): 379–384. doi :10.1007 / BF02733426 . ^ Slyusar, V. I. (2003). "Zobecněné produkty tváře matic v modelech digitálních anténních polí s neidentickými kanály" (PDF) . Radioelektronika a komunikační systémy . 46 (10): 9–17. ^ A b C d E Vadym Slyusar. Nové maticové operace pro DSP (Přednáška). Duben 1999. - DOI: 10.13140 / RG.2.2.31620.76164 / 1 ^ A b C. Radhakrishna Rao . Odhad heteroscedastických odchylek v lineárních modelech. / / Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, č. 329 (březen, 1970), str. 161–172^ Kasiviswanathan, Shiva Prasad a kol. «Cena soukromého uvolnění kontingenčních tabulek a spektra náhodných matic s korelovanými řádky.» Sborník čtyřicátého druhého sympózia ACM o teorii práce s počítačem. 2010. ^ A b C d Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Téměř optimální náčrt tenzoru. Publikováno 2019. Matematika, Informatika, ArXiv ^ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Rychlá a škálovatelná polynomiální jádra prostřednictvím explicitních map funkcí . Mezinárodní konference SIGKDD o získávání znalostí a dolování dat. Sdružení pro výpočetní techniku. doi :10.1145/2487575.2487591 . ^ A b Eilers, Paul H.C .; Marx, Brian D. (2003). "Vícerozměrná kalibrace s teplotní interakcí pomocí dvourozměrné penalizované regrese signálu". Chemometrie a inteligentní laboratorní systémy . 66 (2): 159–174. doi :10.1016 / S0169-7439 (03) 00029-7 . ^ A b C Currie, I.D .; Durban, M .; Eilers, P. H. C. (2006). "Zobecněné modely lineárního pole s aplikacemi pro vícerozměrné vyhlazování". Journal of the Royal Statistical Society 68 (2): 259–280. doi :10.1111 / j.1467-9868.2006.00543.x . ^ Bryan Bischof. Tenzory společného výskytu vyšších řádů pro hypergrafy prostřednictvím dělení tváří. Publikováno 15. února 2020, Matematika, Informatika, ArXiv Reference
![mathbf {A} =
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | C}
mathbf {A} _ {11} & mathbf {A} _ {12}
hline
mathbf {A} _ {21} & mathbf {A} _ {22}
end {pole}
že jo]
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c c | C}
1 & 2 & 3
4 a 5 a 6
hline
7 a 8 a 9
end {pole}
že jo]
, quad
mathbf {B} =
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | C}
mathbf {B} _ {11} & mathbf {B} _ {12}
hline
mathbf {B} _ {21} & mathbf {B} _ {22}
end {pole}
že jo]
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c c}
1 a 4 a 7
hline
2 a 5 a 8
3 a 6 a 9
end {pole}
že jo]
,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53cde028551100b310943f25b2028a764436687)
![mathbf {A} ast mathbf {B} =
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | C}
mathbf {A} _ {11} otimes mathbf {B} _ {11} & mathbf {A} _ {12} otimes mathbf {B} _ {12}
hline
mathbf {A} _ {21} otimes mathbf {B} _ {21} & mathbf {A} _ {22} otimes mathbf {B} _ {22}
end {pole}
že jo]
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c c | c c}
1 & 2 & 12 & 21
4 a 5 a 24 a 42
hline
14 & 16 & 45 & 72
21 a 24 a 54 a 81
end {pole}
že jo].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a086acf8812fc6ff3dec00cf40423b150b9942)
![mathbf {C} =
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c | C}
mathbf {C} _1 & mathbf {C} _2 & mathbf {C} _3
end {pole}
že jo]
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c | C}
1 & 2 & 3
4 a 5 a 6
7 a 8 a 9
end {pole}
že jo]
, quad
mathbf {D} =
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c | c}
mathbf {D} _1 & mathbf {D} _2 & mathbf {D} _3
end {pole}
že jo]
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c | c}
1 a 4 a 7
2 a 5 a 8
3 a 6 a 9
end {pole}
že jo]
,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311fb96a2459096ea05d8f0461e67a8b49f5ee43)
![mathbf {C} ast mathbf {D}
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c | c}
mathbf {C} _1 otimes mathbf {D} _1 & mathbf {C} _2 otimes mathbf {D} _2 & mathbf {C} _3 otimes mathbf {D} _3
end {pole}
že jo]
=
vlevo, odjet[
begin {pole} {c | c | c}
1 a 8 a 21
2 a 10 a 24
3 a 12 a 27
4 a 20 a 42
8 a 25 a 48
12 a 30 a 54
7 a 32 a 63
14 a 40 a 72
21 a 48 a 81
end {pole}
že jo].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e951f306d0dd52a9a56a35d767f2117db8a5ee6)
![{ displaystyle mathbf {C} = left [{ begin {array} {cc} mathbf {C} _ {1} hline mathbf {C} _ {2} hline mathbf { C} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 hline 4 & 5 & 6 hline 7 & 8 & 9 end {array}} right] , quad mathbf {D} = left [{ begin {array} {c} mathbf {D} _ {1} hline mathbf {D} _ {2} hline mathbf { D} _ {3} end {array}} right] = left [{ begin {array} {ccc} 1 & 4 & 7 hline 2 & 5 & 8 hline 3 & 6 & 9 end {array}} right] ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760eda68ae4a4ba9e5294dde1c55df20190648c9)
![{ displaystyle mathbf {C} bullet mathbf {D} = left [{ begin {array} {c} mathbf {C} _ {1} otimes mathbf {D} _ {1} hline mathbf {C} _ {2} otimes mathbf {D} _ {2} hline mathbf {C} _ {3} otimes mathbf {D} _ {3} konec {array}} right] = left [{ begin {array} {cccccccc} 1 & 4 & 7 & 2 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 hline 8 & 20 & 32 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 hline 21 & 42 & 63 & 24 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81 end)} right.} right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8842439b57b421cb9c39414d92745f00b00bdae4)
![{ displaystyle mathbf {M} bullet mathbf {M} = mathbf {M} [ circ] ( mathbf {M} otimes mathbf {1} ^ { textyf {T}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861e013501c6602cb57058543bfe9ca9f409492d)
![{ displaystyle [ circ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae862b2ddef9fd1f7eb59ccec0f5f8ce6d30ae1)
![{displaystyle {egin{aligned}&quad left({egin{bmatrix}1&0 &11&0end{bmatrix}}ullet {egin{bmatrix}1&01&0 &1end{bmatrix}}
ight)left({egin{bmatrix}1&11&-1end{bmatrix}}otimes {egin{bmatrix}1&11&-1end{bmatrix}}
ight)left({egin{bmatrix}sigma _{1}&0 &sigma _{2}end{bmatrix}}otimes {egin{bmatrix}
ho _{1}&0 &
ho _{2}end{bmatrix}}
ight)left({egin{bmatrix}x_{1}x_{2}end{bmatrix}}ast {egin{bmatrix}y_{1}y_{2}end{bmatrix}}
ight)[5pt]&quad =left({egin{bmatrix}1&0 &11&0end{bmatrix}}ullet {egin{bmatrix}1&01&0 &1end{bmatrix}}
ight)left({egin{bmatrix}1&11&-1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}sigma _{1}&0 &sigma _{2}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}x_{1}x_{2}end{bmatrix}},otimes ,{egin{bmatrix}1&11&-1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}
ho _{1}&0 &
ho _{2}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}y_{1}y_{2}end{bmatrix}}
ight)[5pt]&quad ={egin{bmatrix}1&0 &11&0end{bmatrix}}{egin{bmatrix}1&11&-1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}sigma _{1}&0 &sigma _{2}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}x_{1}x_{2}end{bmatrix}},circ ,{egin{bmatrix}1&01&0 &1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}1&11&-1end{bmatrix}}{egin{bmatrix}
ho _{1}&0 &
ho _{2}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}y_{1}y_{2}end{bmatrix}}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41b6013987f68a19d76fdfa669fca9462076c24)
![{displaystyle E[(T_{1}x)^{2}]=|x|_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2314df29d3e99c399b8fca4812bf182de141ef4a)
![{displaystyle E[(T_{1}x)^{p}]^{1/p}leq {sqrt {ap}}|x|_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b322fc4b1f87234e363acf27136664c4097d2af)
![{displaystyle mathbf {A} =left[{egin{array}{c | c}mathbf {A} _{11}&mathbf {A} _{12}hline mathbf {A} _{21}&mathbf {A} _{22}end{array}}
ight],quad mathbf {B} =left[{egin{array}{c | c}mathbf {B} _{11}&mathbf {B} _{12}hline mathbf {B} _{21}&mathbf {B} _{22}end{array}}
ight],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b027efdf1b4ea7866bdc28bc7ac1b3809137bf)
![{displaystyle mathbf {A} [ullet ]mathbf {B} =left[{egin{array}{c | c}mathbf {A} _{11}ullet mathbf {B} _{11}&mathbf {A} _{12}ullet mathbf {B} _{12}hline mathbf {A} _{21}ullet mathbf {B} _{21}&mathbf {A} _{22}ullet mathbf {B} _{22}end{array}}
ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa06f693acbeacb0fa2efcb16170904d4a4735fd)
![{displaystyle mathbf {A} [ast ]mathbf {B} =left[{egin{array}{c | c}mathbf {A} _{11}ast mathbf {B} _{11}&mathbf {A} _{12}ast mathbf {B} _{12}hline mathbf {A} _{21}ast mathbf {B} _{21}&mathbf {A} _{22}ast mathbf {B} _{22}end{array}}
ight]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80fe3459e70e2efe4901d61ec67df754e36798f2)
![{displaystyle left(mathbf {A} [ast ]mathbf {B}
ight)^{ extsf {T}}={ extbf {A}}^{ extsf {T}}[ullet ]mathbf {B} ^{ extsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907ec4c862586658a29c538a04d6f973e129a19c)
Kategorie
Matematický portál
