Zobecněný model lineárního pole - Generalized linear array model

v statistika, zobecněný model lineárního pole (GLAM) se používá pro analýzu datových sad s maticovými strukturami. Je založen na zobecněný lineární model s návrhová matice psáno jako Produkt Kronecker.

Přehled

Zobecněný lineární model pole nebo GLAM byl představen v roce 2006.^[1] Takové modely poskytují strukturu a výpočetní postup pro přizpůsobení zobecněné lineární modely nebo GLM, jejichž modelovou matici lze zapsat jako produkt Kronecker a jejichž data lze zapsat jako pole. Ve velkém GLM poskytuje přístup GLAM velmi podstatné úspory v úložném i výpočetním čase oproti obvyklému algoritmu GLM.

Předpokládejme, že data ${displaystyle mathbf {Y}}$ je uspořádán v a ${displaystyle d}$-dimenzionální pole s velikostí ${displaystyle n_ {1} imes n_ {2} imes ldots imes n_ {d}}$; tedy odpovídající datový vektor ${displaystyle mathbf {y} = {extbf {vec}} (mathbf {Y})}$ má velikost ${displaystyle n_ {1} n_ {2} n_ {3} cdots n_ {d}}$. Předpokládejme také, že návrhová matice je ve formě

${displaystyle mathbf {X} = mathbf {X} _ {d} otimes mathbf {X} _ {d-1} otimes ldots otimes mathbf {X} _ {1}.}$

Standardní analýza GLM s datovým vektorem ${displaystyle mathbf {y}}$ a konstrukční matice ${displaystyle mathbf {X}}$ postupuje opakovaným hodnocením skórovacího algoritmu

${displaystyle mathbf {X} '{ilde {mathbf {W}}} _ {delta} mathbf {X} {hat {oldsymbol {heta}}} = mathbf {X}' {ilde {mathbf {W}}} _ { delta} {ilde {mathbf {z}}},}$

kde ${displaystyle {ilde {oldsymbol {heta}}}}$ představuje přibližné řešení ${displaystyle {oldsymbol {heta}}}$, a ${displaystyle {hat {oldsymbol {heta}}}}$ je jeho vylepšená hodnota; ${displaystyle mathbf {W} _ {delta}}$ je diagonální váhová matice s prvky

${displaystyle w_ {ii} ^ {- 1} = vlevo ({frac {částečné eta _ {i}} {částečné mu _ {i}}} vpravo) ^ {2} {ext {var}} (y_ {i} ),}$

a

${displaystyle mathbf {z} = {oldsymbol {eta}} + mathbf {W} _ {delta} ^ {- 1} (mathbf {y} - {oldsymbol {mu}})}$

je pracovní proměnná.

Výpočtově poskytuje GLAM maticové algoritmy pro výpočet lineárního prediktoru,

${displaystyle {oldsymbol {eta}} = mathbf {X} {oldsymbol {heta}}}$

a vážený vnitřní produkt

${displaystyle mathbf {X} '{ilde {mathbf {W}}} _ {delta} mathbf {X}}$

bez vyhodnocení modelové matice ${displaystyle mathbf {X}.}$

Příklad

Ve 2 rozměrech nechte ${displaystyle mathbf {X} = mathbf {X} _ {2} častěji mathbf {X} _ {1},}$ pak je zapsán lineární prediktor ${displaystyle mathbf {X} _ {1} {oldsymbol {Theta}} mathbf {X} _ {2} '}$ kde ${displaystyle {oldsymbol {Theta}}}$ je matice koeficientů; vážený vnitřní produkt se získá z ${displaystyle G (mathbf {X} _ {1}) 'mathbf {W} G (mathbf {X} _ {2})}$ a ${displaystyle mathbf {W}}$ je matice vah; tady ${displaystyle G (mathbf {M})}$ je funkce tenzoru řádků ${displaystyle r imes c}$ matice ${displaystyle mathbf {M}}$ dána^[1]

${displaystyle G (mathbf {M}) = (mathbf {M} otimes mathbf {1} ') circ (mathbf {1}' otimes mathbf {M})}$

kde ${displaystyle circ}$ znamená násobení prvku po prvku a ${displaystyle mathbf {1}}$ je vektor délky 1 ${displaystyle c}$.

Na druhou stranu funkce tenzoru řádků ${displaystyle G (mathbf {M})}$ z ${displaystyle r imes c}$ matice ${displaystyle mathbf {M}}$ je příkladem Produkt rozdělující obličej matic, který navrhl Vadym Slyusar v roce 1996:^[2][3][4][5]

${displaystyle mathbf {M} ullet mathbf {M} = (mathbf {M} otimes mathbf {1} ^ {extsf {T}}) circ (mathbf {1} ^ {extsf {T}} otimes mathbf {M})}$,

kde ${displaystyle ullet}$ prostředek Produkt rozdělující obličej.

Tyto vysokorychlostní vzorce s nízkým úložištěm se rozšiřují na ${displaystyle d}$-rozměry.

Aplikace

GLAM je navržen pro použití v ${displaystyle d}$-dimenzionální vyhlazovací problémy, kde jsou data uspořádána do pole a vyhlazovací matice je konstruována jako Kroneckerův produkt ${displaystyle d}$ jednorozměrné vyhlazovací matice.

Reference