B-spline - B-spline

The hlavní část tohoto článku možná bude třeba přepsat. Použijte průvodce rozvržením elektrody zajistit, aby tato část dodržovala normy Wikipedie a obsahovala všechny důležité podrobnosti. (Srpna 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

B-spline s kontrolními body / kontrolním polygonem a vyznačenými křivkami komponent

V matematický podpole z numerická analýza, a B-spline nebo základní spline je spline funkce, která má minimální Podpěra, podpora s ohledem na daný stupeň, hladkost, a doména rozdělit. Libovolnou spline funkci daného stupně lze vyjádřit jako a lineární kombinace B-splajnů tohoto stupně. Kardinál B-splajny mají uzly, které jsou od sebe ve stejné vzdálenosti. Lze použít B-splajny křivka a numerická diferenciace experimentálních dat.

v počítačem podporovaný design a počítačová grafika, funkce spline jsou konstruovány jako lineární kombinace B-splajnů se sadou řídicích bodů.

Úvod

The období „B-spline“ vytvořil Isaac Jacob Schoenberg^[1] a je zkratka pro základní spline.^[2] Funkce spline řádu ${displaystyle n}$ je po částech polynomiální funkce stupně ${displaystyle n-1}$ v proměnné ${displaystyle x}$. Místa, kde se kousky setkávají, se nazývají uzly. Klíčovou vlastností spline funkcí je, že mohou být a jejich deriváty spojité, v závislosti na multiplicitě uzlů.

B-splines řádu ${displaystyle n}$ jsou základní funkce pro spline funkce stejného řádu definované přes stejné uzly, což znamená, že všechny možné spline funkce lze vytvořit z a lineární kombinace B-splajnů a pro každou funkci spline existuje pouze jedna jedinečná kombinace.^[3]

Definice

Kardinální kvadratický B-spline s uzlovým vektorem (0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3) a kontrolními body (0, 0, 1, 0, 0) a jeho první derivací

Kardinální kubický B-spline s uzlovým vektorem (−2, −2, −2, −2, −1, 0, 1, 2, 2, 2, 2) a kontrolními body (0, 0, 0, 6, 0, 0, 0) a jeho první derivace

Kardinální kvartální B-spline s uzlovým vektorem (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5) a kontrolními body (0, 0, 0, 0, 1 , 0, 0, 0, 0) a jeho první a druhý derivát

Spline objednávky ${displaystyle n}$ je po částech polynomiální funkce stupně ${displaystyle n-1}$ v proměnné ${displaystyle x}$. Hodnoty ${displaystyle x}$ kde se části polynomu setkávají, jsou označovány jako uzly ${displaystyle t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {n}}$ a roztříděny do neklesajícího pořadí. Když jsou uzly odlišné, první ${displaystyle n-2}$ deriváty polynomických částí jsou spojité napříč každým uzlem. Když ${displaystyle r}$ uzly jsou shodné, pak pouze první ${displaystyle n-r-1}$ derivace spline jsou spojité napříč tímto uzlem.

Pro danou sekvenci uzlů existuje, až do měřítka, jedinečný spline ${displaystyle B_ {i, n} (x)}$ uspokojující

${displaystyle B_ {i, n} (x) = left {{egin {array} {ll} 0 & mathrm {if} quad x$

Pokud k tomu přidáme další omezení, které ${displaystyle sum _ {i} B_ {i, n} (x) = 1}$ pro všechny ${displaystyle x}$ mezi prvním a posledním uzlem, poté faktor změny měřítka ${displaystyle B_ {i, n} (x)}$ stane se opraveným. Výsledný ${displaystyle B_ {i, n} (x)}$ funkce spline se nazývají B-splajny.

Alternativně lze B-splajny definovat konstrukcí pomocí rekurzního vzorce Cox – de Boor. Daná sekvence uzlů ${displaystyle ldots, t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, ldots}$, pak jsou B-splajny řádu 1 definovány

${displaystyle B_ {i, 1} (x): = left {{egin {matrix} 1 & mathrm {if} quad t_ {i} leq x$

Tyto uspokojují ${displaystyle sum _ {i} B_ {i, 1} (x) = 1}$ pro všechny ${displaystyle x}$ protože pro všechny ${displaystyle x}$ přesně jeden z ${displaystyle B_ {i, 1} (x) = 1}$a všechny ostatní jsou nulové.

B-splajny vyššího řádu jsou definovány rekurzí

${displaystyle B_ {i, k + 1} (x): = omega _ {i, k} (x) B_ {i, k} (x) + [1-omega _ {i + 1, k} (x) ] B_ {i + 1, k} (x),}$

kde

${displaystyle omega _ {i, k} (x): = {egin {cases} {frac {x-t_ {i}} {t_ {i + k} -t_ {i}}}, & t_ {i + k} eq t_ {i} 0, a {ext {jinak}} konec {případů}}.}$

Vlastnosti

Funkce B-spline je kombinací flexibilních pásů, které procházejí počtem bodů, které se nazývají kontrolní body, a vytvářejí hladké křivky. Tyto funkce umožňují vytvářet a spravovat složité tvary a povrchy pomocí řady bodů. Funkce B-spline a Bézierovy funkce se rozsáhle používají v metodách optimalizace tvarů.^[4]

B-spline objednávky ${displaystyle n}$ je po částech polynomiální funkce stupně ${displaystyle n-1}$ v proměnné ${displaystyle x}$. Je definováno přes ${displaystyle 1 + n}$ umístění ${displaystyle t_ {j}}$, nazývané uzly nebo zarážky, které musí být v sestupném pořadí ${displaystyle t_ {j} leq t_ {j + 1}}$. B-spline přispívá pouze v rozsahu mezi prvním a posledním z těchto uzlů a jinde je nulová. Pokud je každý uzel oddělen stejnou vzdáleností ${displaystyle h}$ (kde ${displaystyle h = t_ {j + 1} -t_ {j}}$) od svého předchůdce se uzlový vektor a odpovídající B-splajny nazývají „uniformní“ (viz níže kardinální B-spline).

Pro každý interval konečných uzlů, kde je nenulový, je B-spline polynom stupně ${displaystyle n-1}$. B-spline je a spojitá funkce na uzlech.^{[poznámka 1]} Když jsou všechny uzly patřící do B-spline odlišné, jeho derivace jsou také spojité až do derivace stupně ${displaystyle n-2}$. Pokud jsou uzly shodné při dané hodnotě ${displaystyle x}$, kontinuita derivačního řádu je snížena o 1 pro každý další shodný uzel. B-splajny mohou sdílet podmnožinu svých uzlů, ale dva B-splajny definované přes přesně stejné uzly jsou identické. Jinými slovy, B-spline je jednoznačně definována svými uzly.

Jeden rozlišuje vnitřní uzly a koncové body. Vnitřní uzly pokrývají ${displaystyle x}$-doména, o kterou se někdo zajímá. Protože jeden B-spline již přesahuje ${displaystyle 1 + n}$ uzlů, z toho vyplývá, že vnitřní uzly je třeba rozšířit o ${displaystyle n-1}$ koncové body na každé straně, které poskytují plnou podporu prvnímu a poslednímu B-spline, které ovlivňují vnitřní intervaly uzlů. Na hodnotách koncových bodů nezáleží, obvykle se první nebo poslední vnitřní uzel pouze opakuje.

Užitečnost B-splajnů spočívá ve skutečnosti, že každá spline funkce řádu ${displaystyle n}$ na dané sadě uzlů lze vyjádřit jako lineární kombinaci B-splajnů:

${displaystyle S_ {n, mathbf {t}} (x) = součet _ {i} alfa _ {i} B_ {i, n} (x).}$

B-splines hrají roli základní funkce pro prostor funkce spline, odtud název. Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že všechny kusy mají v uzlech stejné vlastnosti kontinuity v rámci jejich individuálního rozsahu podpory.^[5]

Výrazy pro polynomiální části lze odvodit pomocí Cox – de Boorova rekurzního vzorce^[6]

${displaystyle B_ {i, 0} (x): = left {{egin {matrix} 1 & mathrm {if} quad t_ {i} leq x$

${displaystyle B_ {i, k} (x): = {frac {x-t_ {i}} {t_ {i + k} -t_ {i}}} B_ {i, k-1} (x) + { frac {t_ {i + k + 1} -x} {t_ {i + k + 1} -t_ {i + 1}}} B_ {i + 1, k-1} (x).}$^[7]

To znamená ${displaystyle B_ {j, 0} (x)}$ je po částech konstantní jedna nebo nula udávající, který uzel se rozprostírá X je v (nula, pokud je rozsah uzlů j se opakuje). Rekurzivní rovnice má dvě části:

${displaystyle {frac {x-t_ {i}} {t_ {i + k} -t_ {i}}}}$

rampy od nuly do jedné jako X jde od ${displaystyle t_ {i}}$ na ${displaystyle t_ {i + k}}$ a

${displaystyle {frac {t_ {i + k + 1} -x} {t_ {i + k + 1} -t_ {i + 1}}}}$

rampy od jedné do nuly jako X jde od ${displaystyle t_ {i + 1}}$ na ${displaystyle t_ {i + k + 1}}$. Korespondence Bs jsou nula mimo tyto příslušné rozsahy. Například, ${displaystyle B_ {i, 1} (x)}$ je trojúhelníková funkce to je nula dole ${displaystyle x = t_ {i}}$, rampy k jednomu v ${displaystyle x = t_ {i + 1}}$ a zpět na nulu a dále ${displaystyle x = t_ {i + 2}}$. Protože však základní funkce B-spline mají místní Podpěra, podpora, B-splajny se obvykle počítají pomocí algoritmů, které nepotřebují hodnotit základní funkce, kde jsou nulové, jako např de Boorův algoritmus.

Tento vztah vede přímo k FORTRAN -kódovaný algoritmus BSPLV, který generuje hodnoty B-spline řádu n na X.^[8] Následující schéma ukazuje, jak jednotlivé části objednávky n je lineární kombinace částí B-splines řádu n-1 nalevo.

${displaystyle {egin {matrix} && 0 & 0 & 0 && B_ {i-2,2} & B_ {i-1,1} & B_ {i, 0} && B_ {i-1,2} & B_ {i, 1 } & 0 && B_ {i, 2} & 0 & && 0 end {matrix}}}$

Aplikace rekurzního vzorce s uzly v ${displaystyle (0,1,2,3)}$ dává kousky jednotného B-spline řádu 3

${displaystyle B_ {1} = x ^ {2} / 2qquad 0leq x <1}$

${displaystyle B_ {2} = (- 2x ^ {2} + 6x-3) / 2qquad 1leq x <2}$

${displaystyle B_ {3} = (3-x) ^ {2} / 2qquad 2leq x <3}$

Tyto kousky jsou zobrazeny v diagramu. Vlastnosti kontinuity kvadratické spline funkce a její první derivace na vnitřních uzlech jsou znázorněny následovně

${displaystyle {mbox {At}} x = 1, B_ {1} = B_ {2} = 0,5; {frac {dB_ {1}} {dx}} = {frac {dB_ {2}} {dx}} = 1}$

${displaystyle {mbox {At}} x = 2, B_ {2} = B_ {3} = 0,5; {frac {dB_ {2}} {dx}} = {frac {dB_ {3}} {dx}} = -1}$

Druhá derivace B-spline stupně 2 je na uzlech nespojitá:

${displaystyle {frac {d ^ {2} B_ {1}} {dx ^ {2}}} = 1, {frac {d ^ {2} B_ {2}} {dx ^ {2}}} = - 2 , {frac {d ^ {2} B_ {3}} {dx ^ {2}}} = - 1.}$

Byly navrženy rychlejší varianty de Boorova algoritmu, ale trpí relativně nižší stabilitou.^[9][10]

Kardinál B-spline

Kardinál B-spline má neustálé oddělení, h, mezi uzly. Kardinál B-splines pro danou objednávku n jsou jen vzájemně posunuté kopie. Lze je získat z jednodušší definice.^[11]

${displaystyle B_ {i, n, t} (x) = {frac {x-t_ {i}} {h}} n [0, tečky, n] (cdot -t_ {i}) _ {+} ^ { n-1}}$

Zápis „zástupný symbol“ se používá k označení, že nth dělený rozdíl funkce ${displaystyle (t-x) _ {+} ^ {n-1}}$ ze dvou proměnných t a X je třeba brát opravou X a zvažuje ${displaystyle (t-x) _ {+} ^ {n-1}}$ jako funkce t sama.

Kardinální B-spline má rovnoměrně rozmístěné uzly, proto se interpolace mezi uzly rovná konvoluci s vyhlazovacím jádrem.

Příklad, pokud chceme interpolovat tři hodnoty mezi uzly B-spline (${displaystyle {extbf {b}}}$), můžeme signál zapsat jako:

${displaystyle {extbf {x}} = [{extbf {b}} _ {1}, 0,0, {extbf {b}} _ {2}, 0,0, {extbf {b}} _ {3} , 0,0, ...., {extbf {b}} _ {n}, 0,0]}$

Konvoluce signálu ${displaystyle {extbf {x}}}$ s funkcí obdélníku ${displaystyle {extbf {h}} = [1 / 3,1 / 3,1 / 3]}$ dává interpolované hodnoty b-spline prvního řádu. Interpolace B-spline druhého řádu je konvoluce s funkcí obdélníku dvakrát ${displaystyle {extbf {y}} = {extbf {x}} * {extbf {h}} * {extbf {h}}}$, iterativní filtrací s funkcí obdélníku se získá interpolace vyššího řádu.

Rychlou interpolaci b-spline na jednotné doméně vzorku lze provést iterační střední filtrací. Alternativně se funkce obdélníku rovná Sinc ve Fourierově doméně. Proto se kubická spline interpolace rovná vynásobení signálu ve Fourierově doméně se Sinc ^ 4.

Vidět Irwin – Hall distribuce # Zvláštní případy pro algebraické výrazy pro kardinální B-splajny stupně 1-4.

P-spline

Termín P-spline znamená „penalizovaný B-spline“. Vztahuje se k použití reprezentace B-spline, kde jsou koeficienty určovány částečně údaji, která mají být namontováno, a částečně další trestná funkce jehož cílem je vnutit hladkost vyhnout se nadměrné vybavení.^[12]

Dvou- a vícerozměrné P-spline aproximace dat lze použít Produkt rozdělující obličej matic k minimalizaci výpočtových operací.^[13]

Derivační výrazy

Derivace B-spline stupně k je jednoduše funkcí B-splajnů stupně k-1.^[14]

${displaystyle {frac {dB_ {i, k} (x)} {dx}} = kleft ({frac {B_ {i, k-1} (x)} {t_ {i + k} -t_ {i}} } - {frac {B_ {i + 1, k-1} (x)} {t_ {i + k + 1} -t_ {i + 1}}} hned)}$

To z toho vyplývá

${displaystyle {frac {d} {dx}} součet _ {i} alfa _ {i} B_ {i, k} = součet _ {i = r-k + 2} ^ {s-1} k {frac {alfa _ {i} -alpha _ {i-1}} {t_ {i + k} -t_ {i}}} B_ {i, k-1} dne [t_ {r} .t_ {s}]}$

což ukazuje, že existuje jednoduchý vztah mezi derivací spline funkce a B-splajny stupně o jeden méně.

Okamžiky jednorozměrných B-splajnů

Jednorozměrné B-splajny, tj. B-splajny, kde polohy uzlů leží v jedné dimenzi, lze použít k reprezentaci funkcí 1-d hustoty pravděpodobnosti ${displaystyle p (x)}$. Příkladem je vážený součet ${displaystyle i}$ B-spline základní funkce řádu ${displaystyle n}$, z nichž každý je plošně normalizován na jednotu (tj. není přímo vyhodnocován pomocí standardního de-Boorova algoritmu)

${displaystyle p (x) = součet _ {i} c_ {i} cdot B_ {i, n, {extbf {norma}}} (x)}$

as normalizačním konstantním omezením ${displaystyle sum _ {i} c_ {i} = 1}$K-tý surový okamžik ${displaystyle mu _ {k}}$ normalizovaného B-spline ${displaystyle B_ {i, n, {extbf {norma}}}}$ lze zapsat jako Carlsonův Dirichletův průměr ${displaystyle R_ {k}}$,^[15] což lze vyřešit přesně pomocí integrálního obrysu a iteračního součtu ^[16] tak jako

${displaystyle mu _ {k} = R_ {k} (mathbf {m}; mathbf {t}) = int _ {- infty} ^ {infty} x ^ {k} cdot B_ {i, n, {extbf {norma }}} (x | t_ {1} tečky t_ {j}) dx = {frac {gama (k + 1) gama (m)} {gama (m + k)}} cdot D_ {k} (mathbf {m }, mathbf {t})}$

s

${displaystyle D_ {k} = {frac {1} {k}} limity součtu _ {u = 1} ^ {k} vlevo [vlevo (limity součtu _ {i = 1} ^ {j} m_ {i} cdot { t_ {i}} ^ {u} ight) D_ {ku} ight]}$

a ${displaystyle D_ {0} = 1}$. Tady, ${displaystyle mathbf {t}}$ představuje vektor s ${displaystyle j}$ pozice uzlů a ${displaystyle mathbf {m}}$ vektor s multiplicitou příslušných uzlů. Lze tedy vypočítat jakýkoli okamžik funkce hustoty pravděpodobnosti ${displaystyle p (x)}$ reprezentovaný součtem základních funkcí B-spline přesně, aniž by se uchýlil k numerickým technikám.

Vztah k Bézierovi po částech / kompozitu

A Bézierova křivka je také polynomiální křivka definovatelná pomocí rekurze z křivek nižšího stupně stejné třídy a zakódovaná z hlediska kontrolních bodů, ale klíčovým rozdílem je, že všechny termíny v rekurzi pro segment Bézierovy křivky mají stejnou definiční doménu (obvykle ${displaystyle [0,1]}$) vzhledem k tomu, že podporuje dva termíny v rekurzi B-spline jsou různé (nejvzdálenější podintervaly nejsou běžné). To znamená Bézierovu křivku stupně ${displaystyle n}$ dána ${displaystyle mgg n}$ kontrolní body se skládají z asi ${displaystyle m / n}$ většinou nezávislé segmenty, zatímco B-spline se stejnými parametry plynule přechází z podintervalu do podintervalu. Abychom získali něco srovnatelného s Bézierovou křivkou, bylo by nutné uložit přechodové podmínky mezi hladkostmi, což by vedlo k určitému způsobu Bézierova splajnu (pro který by mnoho požadavků na hladkost bylo určeno).

A po částech / složená Bézierova křivka je řada Bézierových křivek spojených alespoň s C0 kontinuita (poslední bod jedné křivky se shoduje s počátečním bodem další křivky). V závislosti na aplikaci mohou být přidány další požadavky na hladkost (například spojitost C1 nebo C2).^[17] Kontinuální křivky C1 mají stejné tečny v bodě zlomu (kde se obě křivky setkávají). Kontinuální křivky C2 mají v bodě zlomu identické zakřivení.^[18]

Pro získání kontinuity C2 ztrácí Bézierova křivka lokální kontrolu, protože pro vynucení kontinuity C2 jsou kontrolní body na sobě závislé. Pokud se pohne jeden kontrolní bod, je třeba znovu vyhodnotit celý spline. B-splajny mají kontinuitu C2 i lokální ovládání, ale ztrácejí interpolační vlastnost po částech Bézier.^[19]

Křivka

Obvykle v přizpůsobení křivky, sada datových bodů je opatřena křivkou definovanou nějakou matematickou funkcí. Například běžné typy přizpůsobení křivek používají polynom nebo sadu exponenciální funkce. Pokud neexistuje žádný teoretický základ pro výběr fitovací funkce, může být křivka vybavena spline funkcí složenou ze součtu B-splajnů, pomocí metody nejmenší čtverce.^{[20][poznámka 2]} To znamená, že Objektivní funkce pro minimalizaci nejmenších čtverců je pro spline funkci stupně k,

${displaystyle U = součet _ {mathrm {all}, x} doleva {W (x) doleva [y (x) -sum _ {i} alfa _ {i} B_ {i, k, t} (x) noc] ight} ^ {2}}$

W (x) je váha a y (x) je vztažná hodnota na X. Koeficienty ${displaystyle alpha _ {i}}$ jsou parametry, které mají být stanoveny. Hodnoty uzlů mohou být pevné nebo také mohou být považovány za parametry.

Hlavním problémem při použití tohoto procesu je stanovení počtu uzlů, které se mají použít, a místa, kde by měly být umístěny. de Boor navrhuje různé strategie řešení tohoto problému. Například vzdálenost mezi uzly se zmenšuje úměrně se zakřivením (2. derivací) dat.^{[Citace je zapotřebí ]} Bylo zveřejněno několik přihlášek. Například použití B-splajnů pro montáž jednoduchých Lorentzian a Gaussian křivky byly zkoumány. Byly vypočítány optimální funkce splajnu stupňů 3-7 včetně, založené na symetrickém uspořádání 5, 6 a 7 uzlů a byla použita metoda pro vyhlazení a diferenciaci spektroskopických křivek.^[21] Ve srovnatelné studii byla dvourozměrná verze Savitzky-Golayovo filtrování a metoda spline přinesla lepší výsledky než klouzavý průměr nebo Čebyševovo filtrování.^[22]

Počítačem podporovaný design a počítačová grafika

v počítačem podporovaný design a počítačová grafika spline křivka je někdy reprezentována jako ${displaystyle C (t)}$, parametrická křivka nějakého skutečného parametru ${displaystyle t}$. V tomto případě křivka ${displaystyle C (t)}$ lze považovat za dvě nebo tři samostatné souřadnicové funkce ${displaystyle (x (t), y (t))}$nebo ${displaystyle (x (t), y (t), z (t))}$. Souřadnicové funkce ${displaystyle x (t)}$, ${displaystyle y (t)}$ a ${displaystyle z (t)}$ jsou jednotlivé funkce spline se společnou sadou hodnot uzlů ${displaystyle t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {n}}$.

Protože B-splajny tvoří základní funkce, lze každou z souřadnicových funkcí vyjádřit jako lineární součet B-splajnů, takže máme

${displaystyle {egin {aligned} X (t) & = součet _ {i} x_ {i} B_ {i, n} (t), Y (t) & = součet _ {i} y_ {i} B_ { i, n} (t), Z (t) & = součet _ {i} z_ {i} B_ {i, n} (t). end {zarovnáno}}}$

Váhy ${displaystyle x_ {i}}$, ${displaystyle y_ {i}}$ a ${displaystyle z_ {i}}$ lze kombinovat a vytvářet body ${displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ ve 3D prostoru. Tyto body ${displaystyle P_ {i}}$ jsou běžně známé jako kontrolní body.

V opačném pořadí definuje parametrická křivka posloupnost kontrolních bodů, hodnoty uzlů a pořadí B-spline. Toto znázornění křivky řídicími body má několik užitečných vlastností:

1. Kontrolní body ${displaystyle P_ {i}}$ definovat křivku. Pokud jsou všechny kontrolní body nějakým způsobem transformovány společně, například překládány, rotovány, zmenšeny nebo přesunuty jakoukoli afinní transformací, je odpovídající křivka transformována stejným způsobem.
2. Protože B-splajny jsou nenulové jen pro konečný počet intervalů uzlů, je-li posunut jeden kontrolní bod, odpovídající změna parametrické křivky je jen přes rozsah parametrů intervalů malého počtu uzlů.
3. Protože ${displaystyle sum _ {i} B_ {i, n} (x) = 1}$a vždy ${displaystyle B_ {i, n} (x) geq 0}$, pak křivka zůstane uvnitř ohraničovacího rámečku kontrolních bodů. Křivka také v jistém smyslu široce sleduje kontrolní body.

Méně žádoucí vlastností je, že parametrická křivka neinterpoluje kontrolní body. Křivka obvykle neprochází kontrolními body.

NURBS

NURBS křivka - polynomická křivka definovaná v homogenních souřadnicích (modrá) a její projekce na rovinu - racionální křivka (červená)

v počítačem podporovaný design, počítačem podporovaná výroba, a počítačová grafika, mocným rozšířením B-splajnů je nejednotná racionální B-splajny (NURBS). NURBS jsou v podstatě B-splajny homogenní souřadnice. Stejně jako B-splajny jsou definovány jejich řádem, vektorem uzlu a sadou kontrolních bodů, ale na rozdíl od jednoduchých B-splajnů mají kontrolní body každý váhu. Když je váha rovna 1, je NURBS jednoduše B-spline a jako takový NURBS zobecňuje jak B-splajny, tak Bézierovy křivky a povrchy, přičemž primárním rozdílem je vážení kontrolních bodů, díky čemuž jsou křivky NURBS „racionální“.

Vyhodnocením NURBS při různých hodnotách parametrů lze křivku vystopovat prostorem; podobně vyhodnocením povrchu NURBS při různých hodnotách dvou parametrů lze povrch reprezentovat v kartézském prostoru.

Stejně jako B-splajny určují tvar křivky kontrolní body NURBS. Každý bod křivky se vypočítá z váženého součtu počtu kontrolních bodů. Hmotnost každého bodu se liší podle řídícího parametru. Pro křivku stupně d, vliv kteréhokoli kontrolního bodu je pouze nenulový d+1 intervaly (uzlové rozpětí) prostoru parametrů. V těchto intervalech se váha mění podle polynomiální funkce (základní funkce) stupně d. Na hranicích intervalů se základní funkce plynule pohybují na nulu, přičemž hladkost je určena stupněm polynomu.

Uzlový vektor je posloupnost hodnot parametrů, která určuje, kde a jak ovlivní kontrolní body křivku NURBS. Počet uzlů se vždy rovná počtu kontrolních bodů plus stupeň křivky plus jeden. Pokaždé, když hodnota parametru vstoupí do nového rozsahu uzlů, stane se aktivní nový kontrolní bod, zatímco starý kontrolní bod se zahodí.

Křivka NURBS má následující podobu:^[23]

${displaystyle C (u) = {frac {sum _ {i = 1} ^ {k} {N_ {i, n} (u) w_ {i} P} _ {i}} {sum _ {i = 1} ^ {k} {N_ {i, n} (u) w_ {i}}}}}$

Zde je notace následující. u je nezávislá proměnná (místo X), k je počet kontrolních bodů, N je B-spline (používá se místo B), n je polynomiální stupeň, P je kontrolní bod a w je váha. Jmenovatel je normalizační faktor, který vyhodnotí jeden, pokud jsou všechny váhy jedna.

Je obvyklé psát to jako

${displaystyle C (u) = součet _ {i = 1} ^ {k} R_ {i, n} (u) P_ {i}}$

ve kterém jsou funkce

${displaystyle R_ {i, n} (u) = {N_ {i, n} (u) w_ {i} nad součet _ {j = 1} ^ {k} N_ {j, n} (u) w_ {j }}}$

jsou známé jako racionální základní funkce.

Povrch NURBS se získá jako tenzorový produkt dvou NURBS křivek, tedy s použitím dvou nezávislých parametrů u a proti (s indexy i a j ):^[24]

${displaystyle S (u, v) = součet _ {i = 1} ^ {k} součet _ {j = 1} ^ {l} R_ {i, j} (u, v) P_ {i, j}}$

s

${displaystyle R_ {i, j} (u, v) = {frac {N_ {i, n} (u) N_ {j, m} (v) w_ {i, j}} {součet _ {p = 1} ^ {k} součet _ {q = 1} ^ {l} N_ {p, n} (u) N_ {q, m} (v) w_ {p, q}}}}$

jako racionální základní funkce.

Viz také

• Bézierova křivka
• Krabice spline
• De Boorův algoritmus
• I-spline
• M-spline
• Spline wavelet
• T-spline

Poznámky

Reference

Citované práce

• Carl de Boor (1978). Praktický průvodce po spline. Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-90356-7.
• Piegl, Les; Tiller, Wayne (1997). Kniha NURBS (2. vyd.). Springer. ISBN  978-3-540-61545-3.

Další čtení

• Richard H. Bartels; John C. Beatty; Brian A. Barsky (1987). Úvod do splajnů pro použití v počítačové grafice a geometrických modelech. Morgan Kaufmann. ISBN  978-1-55860-400-1.
• Jean Gallier (1999). Křivky a povrchy v geometrickém modelování: Teorie a algoritmy. Morgan Kaufmann. Kapitola 6. Křivky B-Spline. Tato kniha není vydána a je volně dostupná od autora.
• Hartmut Prautzsch; Wolfgang Boehm; Marco Paluszny (2002). Techniky Bézier a B-Spline. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-43761-1.
• David Salomon (2006). Křivky a povrchy pro počítačovou grafiku. Springer. Kapitola 7. Aproximace B-Spline. ISBN  978-0-387-28452-1.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "B-Spline". MathWorld.
• Ruf, Johannes. "B-splajny třetího řádu na nejednotné mřížce" (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 06.11.2013. Citováno 2012-05-02.
• bivariate B-spline od numpy
• Interaktivní B-splajny s JSXGraph
• TinySpline: opensource C-knihovna s vazbami pro různé jazyky
• Uniformní neracionální B-Splines, modelování křivek v 2D prostoru. Autor: Stefan G. Beck
• Editor B-Spline od Shukant Pal