Bavlněný snop - Cotangent sheaf - Wikipedia

V algebraické geometrii, vzhledem k morfismu F: X → S režimů, kotangensový svazek na X je svazek z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ - moduly že představuje (nebo klasifikuje) S-derivace ^[1] ve smyslu: pro všechny ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ - moduly F, existuje izomorfismus

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ( Omega _ {X / S}, F) = operatorname {Der} _ {S} ({ mathcal {O }} _ {X}, F)}

to přirozeně závisí na F. Jinými slovy, kotangensový svazek je charakterizován univerzální vlastností: existuje rozdíl ${ displaystyle d: { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X / S}}$ takový, že jakýkoli S-derivace ${ displaystyle D: { mathcal {O}} _ {X} do F}$ faktory jako ${ displaystyle D = alpha circ d}$ s nějakým ${ displaystyle alpha: Omega _ {X / S} až F}$ .

V případě X a S jsou afinní schémata, výše uvedená definice znamená, že ${ displaystyle Omega _ {X / S}}$ je modul Kählerovy diferenciály. Standardní způsob konstrukce kotangensového svazu (např. Hartshorne, kap. II. § 8) je přes diagonální morfismus (což se rovná lepení modulů Kählerových diferenciálů na afinních mapách, aby se získal globálně definovaný kotangensový svazek.) duální modul kotangensového svazu na schématu X se nazývá tangenta snop na X a je někdy označován ${ displaystyle Theta _ {X}}$ .^[2]

Existují dvě důležité přesné sekvence:

Li S →T je tedy morfismus schémat
${ displaystyle f ^ {*} Omega _ {S / T} k Omega _ {X / T} k Omega _ {X / S} k 0.}$
Li Z je uzavřeným podsystémem X s ideálním svazkem Já, pak
${ displaystyle I / I ^ {2} to Omega _ {X / S} otimes _ {O_ {X}} { mathcal {O}} _ {Z} to Omega _ {Z / S} do 0.}$ ^[3]^[4]

Kotangensový svazek je úzce spjat s hladkost odrůdy nebo schématu. Například algebraická odrůda je hladký dimenze n právě když Ω_X je místně volný svazek hodnosti n.^[5]

Konstrukce prostřednictvím diagonálního morfismu

Nechat ${ displaystyle f: X až S}$ být morfismem schémat jako v úvodu a Δ: X → X ×_S X diagonální morfismus. Pak je obraz Δ místně uzavřeno; tj. uzavřený v nějaké otevřené podmnožině Ž z X ×_S X (obrázek je uzavřen, právě když F je oddělené ). Nechat Já být ideálním svazkem Δ (X) v Ž. Jeden pak dá:

{ displaystyle Omega _ {X / S} = Delta ^ {*} (I / I ^ {2})}

a kontroluje, zda tento svazek modulů splňuje požadovanou univerzální vlastnost kotangensového svazku (Hartshorne, Ch II. Poznámka 8.9.2). Konstrukce zejména ukazuje, že kotangensový svazek je kvazi-koherentní. Je koherentní, pokud S je Noetherian a F je konečného typu.

Výše uvedená definice znamená, že kotangens svazuje X je omezení na X z společný svazek na diagonální vložení X přes S.

Viz také: svazek hlavních částí.

Vztah k tautologickému svazku linek

Kotangensový svazek na projektivním prostoru souvisí s tautologický svazek linek Ó(-1) následující přesnou posloupností: psaní ${ displaystyle mathbf {P} _ {R} ^ {n}}$ pro projektivní prostor přes prsten R,

{ displaystyle 0 to Omega _ { mathbf {P} _ {R} ^ {n} / R} až { mathcal {O}} _ { mathbf {P} _ {R} ^ {n} } (- 1) ^ { oplus (n + 1)} do { mathcal {O}} _ { mathbf {P} _ {R} ^ {n}} do 0.}

(Viz také Třída Chern # Složitý projektivní prostor.)

Cotangent stack

K tomuto pojmu viz § 1

A. Beilinson a V. Drinfeld, Kvantování Hitchinova integrovatelného systému a Hecke eigensheaves [1]^[6]

Tam je kotangensový svazek na algebraickém svazku X je definován jako relativní Spec symetrické algebry dotyčnicového svazku X. (Poznámka: obecně, pokud E je místně volný svazek konečné pozice, ${ displaystyle mathbf {Spec} ( operatorname {Sym} ({ check {E}}))}$ je algebraický vektorový svazek souhlasí s E.^{[Citace je zapotřebí ]})

Viz také: Hitchinova fibrace (kotangensová hromada ${ displaystyle operatorname {Bun} _ {G} (X)}$ je celkový prostor Hitchinovy fibrace.)

Poznámky

^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/08RL
^ Stručně řečeno to znamená:
${ displaystyle Theta _ {X} { přesahující { mathrm {def}} {=}} { mathcal {H}} om _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ( Omega _ {X }, { mathcal {O}} _ {X}) = { mathcal {D}} er ({ mathcal {O}} _ {X}).}$
^ Hartshorne, Ch. II, návrh 8.12.
^ https://mathoverflow.net/q/79956 stejně jako (Hartshorne, Ch. II, Věta 8.17.)
^ Hartshorne, Ch. II, Věta 8.15.
^ viz také: § 3 http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Sept22(Dmodstack1).pdf