Cotangent komplex - Cotangent complex

v matematika the kotangensový komplex je zhruba univerzální linearizace a morfismus geometrických nebo algebraických objektů. Cotangentní komplexy byly původně definovány ve zvláštních případech řadou autorů. Luc Illusie, Daniel Quillen, a M. André nezávisle přišli s definicí, která funguje ve všech případech.

Motivace

Předpokládejme to X a Y jsou algebraické odrůdy a to F : X → Y je morfismus mezi nimi. Kotangensový komplex F je univerzálnější verze příbuzného Kählerovy diferenciály Ω_X/Y. Nejzákladnější motivací pro takový objekt je přesná posloupnost Kählerových diferenciálů spojených se dvěma morfismy. Li Z je další odrůda, a pokud G : Y → Z je další morfismus, pak existuje přesná sekvence

${ displaystyle f ^ {*} Omega _ {Y / Z} až Omega _ {X / Z} až Omega _ {X / Y} na 0,}$

V určitém smyslu jsou tedy relativní Kählerovy diferenciály a pravý přesný funktor. (Doslova to však není pravda, protože kategorie algebraických odrůd není abelianská kategorie, a proto pravost přesnost není definována.) Ve skutečnosti před definicí kotangensového komplexu existovalo několik definic funktorů, které by mohly rozšířit posloupnost dále doleva, například Funktory Lichtenbaum – Schlessinger Tⁱ a imperfekční moduly. Většina z nich byla motivována teorie deformace.

Tato sekvence je přesná vlevo, pokud jde o morfismus F je hladký. Pokud Ω připustil první odvozený funktor, pak by přesnost nalevo znamenala, že spojující homomorfismus zmizel, a to by jistě byla pravda, kdyby první odvozený funktor z Fať už to bylo cokoli, zmizelo. Je proto rozumné spekulovat, že první odvozený funktor hladkého morfismu zmizí. Navíc, když byl některý z funktorů, který rozšířil posloupnost Kählerových diferenciálů, aplikován na hladký morfismus, také zmizel, což naznačuje, že kotangensový komplex hladkého morfismu může být ekvivalentní Kählerovým diferenciálům.

Další přirozenou přesnou sekvencí související s Kählerovými diferenciály je společná přesná sekvence. Li F je uzavřený ponor s ideálním svazkem Já, pak existuje přesná sekvence

${ displaystyle I / I ^ {2} až f ^ {*} Omega _ {Y / Z} až Omega _ {X / Z} až 0,}$

Toto je rozšíření přesné sekvence výše: Vlevo je nový termín, běžný svazek Fa relativní diferenciály Ω_X/Y zmizely, protože uzavřené ponoření je formálně unramified. Li F je zahrnutí hladké podvariety, pak je tato sekvence krátkou přesnou sekvencí.^[1] To naznačuje, že kotangensový komplex zahrnutí hladké odrůdy je ekvivalentní běžnému svazku posunutému o jeden člen.

Počáteční práce na kotangensových komplexech

Kotangensový komplex sahá nejméně do SGA 6 VIII 2, kde Pierre Berthelot dal definici kdy F je vyhladitelný morfismus, což znamená, že existuje schéma PROTI a morfismy i : X → PROTI a h : PROTI → Y takhle F = Ahoj, i je uzavřené ponoření a h je hladký morfismus. (Například všechny projektivní morfismy jsou hladké, protože PROTI lze považovat za projektivní balíček Y.) V tomto případě definuje kotangensový komplex F jako objekt v odvozená kategorie z koherentní snopy X jak následuje:

• ${ displaystyle L_ {0} ^ {X / Y} = i ^ {*} Omega _ {V / Y},}$

• Li J je ideál X v PROTI, pak ${ displaystyle L_ {1} ^ {X / Y} = J / J ^ {2} = i ^ {*} J,}$

• ${ displaystyle L_ {i} ^ {X / Y} = 0}$ pro všechny ostatní i,

• Diferenciál ${ displaystyle L_ {1} ^ {X / Y} až L_ {0} ^ {X / Y}}$ je pullback spolu i zařazení J ve svazku struktury ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {V}}$ z PROTI následuje univerzální derivace ${ displaystyle d: { mathcal {O}} _ {V} na Omega _ {V / Y}.}$

• Všechny ostatní diferenciály jsou nulové.

Berthelot dokazuje, že tato definice je nezávislá na výběru PROTI^[2] a že pro hladký a dokonalý morfismus křižovatky je tento komplex dokonalý.^[3] Dále dokazuje, že pokud G : Y → Z je další hladký úplný křižovatkový morfismus a pokud je splněn další technický stav, pak existuje přesný trojúhelník

${ displaystyle mathbf {L} f ^ {*} L _ { bullet} ^ {Y / Z} do L _ { bullet} ^ {X / Z} do L _ { bullet} ^ {X / Y} to mathbf {L} f ^ {*} L _ { bullet} ^ {Y / Z} [1].}$

Definice kotangensového komplexu

Správná definice kotangensového komplexu začíná v homotopické nastavení. Quillen a André spolupracovali s zjednodušující komutativní prsteny, zatímco Illusie pracoval s jednoduchým prstencem topoi. Pro zjednodušení budeme uvažovat pouze případ zjednodušených komutativních prstenů. Předpokládejme to A a B jsou jednoduché prsteny a to B je A-algebra. Vyberte rozlišení ${ displaystyle r: P ^ { bullet} do B}$ z B zjednodušeným zdarma A-algebry. Použití diferenciálního funktoru Kähler na ${ displaystyle P ^ { bullet}}$ produkuje simpliciál B-modul. Celkový komplex tohoto zjednodušeného objektu je kotangensový komplex L^B/A. Morfismus r indukuje morfismus z kotangensového komplexu na Ω_B/A volal augmentační mapa. V kategorii homotopy zjednodušené A-algebry (nebo zjednodušené prstencovité topoi), tato konstrukce se rovná převzetí levého derivovaného funktoru Kählerova diferenciálního funktoru.

Vzhledem k komutativnímu čtverci takto:

existuje morfismus kotangentních komplexů ${ displaystyle L ^ {B / A} další _ {B} D až L ^ {D / C}}$ který respektuje augmentační mapy. Tato mapa je vytvořena výběrem bezplatného zjednodušeného postupu C-algebra rozlišení D, řekněme ${ displaystyle s: Q ^ { bullet} až D.}$ Protože ${ displaystyle P ^ { bullet}}$ je volný objekt, složený hr lze pozvednout k morfismu ${ displaystyle P ^ { bullet} na Q ^ { bullet}.}$ Aplikování funktoriality Kählerových diferenciálů na tento morfismus dává požadovaný morfismus kotangentních komplexů. Zejména vzhledem k homomorfismům ${ displaystyle A až B až C,}$ tím se vytvoří sekvence

${ displaystyle L ^ {B / A} další _ {B} C až L ^ {C / A} až L ^ {C / B}.}$

Existuje spojovací homomorfismus,

${ displaystyle L ^ {C / B} doleva (L ^ {B / A} krát _ {B} C doprava) [1],}$

což tuto sekvenci promění v přesný trojúhelník.

Kotangensový komplex lze také definovat v jakémkoli kombinatoriu kategorie modelu M. Předpokládejme to ${ displaystyle f: A až B}$ je morfismus v M. Kotangensový komplex ${ displaystyle L ^ {f}}$ (nebo ${ displaystyle L ^ {B / A}}$) je objekt v kategorii spekter v ${ displaystyle M_ {B // B}}$. Pár skládatelných morfismů, ${ displaystyle f: A až B}$ a ${ displaystyle g: B až C}$ indukuje přesný trojúhelník v kategorii homotopy,

${ displaystyle L ^ {B / A} otimes _ {B} C na L ^ {C / A} na L ^ {C / B} doleva (L ^ {B / A} otimes _ {B} C right) [1].}$

Vlastnosti kotangensového komplexu

Výměna ploché základny

Předpokládejme to B a C jsou A-algebry takové, že ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {q} ^ {A} (B, C) = 0}$ pro všechny q > 0. Pak existují kvazi-izomorfismy^[4]

${ displaystyle { begin {sladěno} L ^ {B otimes _ {A} C / C} & cong C otimes _ {A} L ^ {B / A} L ^ {B otimes _ { A} C / A} & cong left (L ^ {B / A} otimes _ {A} C right) oplus left (B otimes _ {A} L ^ {C / A} right ) end {zarovnáno}}}$

Li C je byt A-algebra, pak podmínka, že ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {q} ^ {A} (B, C)}$ zmizí pro q > 0 je automatické. První vzorec pak dokazuje, že konstrukce kotangensového komplexu je lokální na základně v plochá topologie.

Mizející vlastnosti

Nechat F : A → B. Pak:^[5][6]

• Li B je lokalizace z A, pak L^B/A = 0.

• Li F je étale morphism, pak L^B/A = 0.

• Li F je hladký morfismus, pak L^B/A je kvazi-izomorfní vůči Ω_B/A. Zejména má projektivní rozměr nula.

• Li F je místní morfismus úplné křižovatky, pak L^B/A má projektivní rozměr nanejvýš jeden.

• Li A je Noetherian, B = A/Já, a Já je potom generováno pravidelnou posloupností ${ displaystyle I / I ^ {2}}$ je projektivní modul a L^B/A je kvazi-izomorfní ${ displaystyle I / I ^ {2} [1].}$

Příklady

Hladká schémata

Nechat ${ displaystyle X v operatorname {Sch} / S}$ být hladký. Pak je kotangensový komplex ${ displaystyle Omega _ {X / S}}$. V Berthelotově rámci je to jasné tím, že vezmeme ${ displaystyle V = X}$. Obecně platí, že étale je lokálně zapnutý ${ displaystyle S, X}$ je konečný dimenzionální afinní prostor a morfismus ${ displaystyle X až S}$ je projekce, takže se můžeme omezit na situaci, kdy ${ displaystyle S = operatorname {Spec} (A)}$ a ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (A [x_ {1}, ldots, x_ {n}]).}$ Můžeme přijmout rozlišení ${ displaystyle operatorname {Spec} (A [x_ {1}, ldots, x_ {n}])}$ být mapou identity a pak je jasné, že kotangensový komplex je stejný jako Kählerovy diferenciály.

Uzavřené vložení do hladkých schémat

Nechat ${ displaystyle i: X až Y}$ být uzavřeným začleněním hladkých schémat do ${ displaystyle { text {Sch}} / S}$. Pomocí přesného trojúhelníku odpovídajícím morfismům ${ displaystyle X až Y až S}$, můžeme určit kotangensový komplex ${ displaystyle mathbf {L} _ {X / Y}}$. Za tímto účelem si všimněte, že v předchozím příkladu jsou kotangensové komplexy ${ displaystyle mathbf {L} _ {X / S}}$ a ${ displaystyle mathbf {L} _ {Y / S}}$ se skládají z Kählerových diferenciálů ${ displaystyle Omega _ {X / S}}$ a ${ displaystyle Omega _ {Y / S}}$ v nultém stupni a ve všech ostatních stupních jsou nulové. Přesný trojúhelník to naznačuje ${ displaystyle mathbf {L} _ {X / Y}}$ je nenulová pouze v prvním stupni a v tomto stupni jde o jádro mapy ${ displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ {X / S} až mathbf {L} _ {Y / S}.}$ Toto jádro je společný svazek a přesná posloupnost je přesná posloupnost, takže v prvním stupni ${ displaystyle mathbf {L} _ {X / Y}}$ je společný svazek ${ displaystyle C_ {X / Y}}$.

Místní úplná křižovatka

Obecněji řečeno, místní úplný křižovatkový morfismus ${ displaystyle X až Y}$ s hladkým cílem má kotangensový komplex s dokonalou amplitudou ${ displaystyle [-1,0].}$ To je dáno komplexem

${ displaystyle I / I ^ {2} to Omega _ {Y} | _ {X}.}$

Například kotangensový komplex zkroucené kubiky ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ je dán komplexem

${ displaystyle { mathcal {O}} (- 2) oplus { mathcal {O}} (- 2) oplus { mathcal {O}} (- 2) { xrightarrow {s}} Omega _ { mathbb {P} ^ {3}} | _ {X}.}$

Cotangentní komplexy v Gromov-Wittenově teorii

v Teorie Gromov – Witten matematici studují enumerativní geometrické invarianty n-špičatých křivek na prostorech. Obecně existují algebraické komíny

${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, beta)}$

což jsou modulové prostory map

${ displaystyle pi: C až X}$

z rodu ${ displaystyle g}$ křivky s ${ displaystyle n}$ propíchnutí pevného cíle. Protože enumerativní geometrie studuje obecné chování takových map, vyžaduje teorie deformace, která řídí tyto druhy problémů, deformaci křivky ${ displaystyle C}$, mapa ${ displaystyle pi}$a cílový prostor ${ displaystyle X}$. Naštěstí všechny tyto teoretické informace o deformaci mohou být sledovány kotangensovým komplexem ${ displaystyle mathbf {L} _ {C / X} ^ { odrážka}}$. Pomocí rozlišovacího trojúhelníku

${ displaystyle pi ^ {*} mathbf {L} _ {X} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {C} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {C / X} ^ { bullet} to}$

spojené se složením morfismů

${ displaystyle C xrightarrow { pi} X rightarrow { text {Spec}} ( mathbb {C})}$

kotangensový komplex lze vypočítat v mnoha situacích. Ve skutečnosti pro složité potrubí ${ displaystyle X}$, jeho kotangensový komplex je dán vztahem ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1}}$a hladký ${ displaystyle n}$- propíchnutá křivka ${ displaystyle C}$, to je dáno ${ displaystyle Omega _ {C} ^ {1} (p_ {1} + cdots + p_ {n})}$. Z obecné teorie trojúhelníkové kategorie, kotangensový komplex ${ displaystyle mathbf {L} _ {C / X} ^ { odrážka}}$ je pro kužel kvazi-izomorfní

${ displaystyle { text {Cone}} ( pi ^ {*} mathbf {L} _ {X} ^ { bullet} to mathbf {L} _ {C} ^ { bullet}) simeq { text {Cone}} ( pi ^ {*} Omega _ {X} ^ {1} to Omega _ {C} ^ {1} (p_ {1} + cdots + p_ {n}) )}$

Viz také

• André – Quillenova kohomologie
• Teorie deformace
• Kodaira-Spencer třída
• Atiyah třída

Poznámky

Reference

Aplikace

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

Odkaz

• André, M. (1974), Homologie des Algèbres CommutativesGrundlehren der mathematischen Wissenschaften, 206, Springer-Verlag
• Berthelot, Pierre; Alexandre Grothendieck, Luc Illusie, eds. (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Přednášky z matematiky 225) (ve francouzštině), Berlín; New York: Springer-Verlag, xii + 700CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz) CS1 maint: další text: seznam autorů (odkaz)
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), „Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la kolaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 32: 5–361, doi:10.1007 / BF02732123, ISSN  1618-1913
• Grothendieck, Alexandre (01/07/1969), KATEGORIE cofibrées Aditiva a komplexní kotangens relatif, Přednášky z matematiky 79 (ve francouzštině), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-04248-8 Zkontrolujte hodnoty data v: | datum = (Pomoc)
• Harrison, D. K. (1962), „Komutativní algebry a kohomologie“, Transakce Americké matematické společnostiAmerická matematická společnost, 104 (2): 191–204, doi:10.2307/1993575, JSTOR  1993575
• Illusie, Luc (2009) [1971], Complexe Cotangent et Déformations I, Přednášky z matematiky 239 (ve francouzštině), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-05686-7
• Lichtenbaum; Schlessinger (1967), „kotangensový komplex morfismu“, Transakce Americké matematické společnosti, 128: 41–70, doi:10.1090 / s0002-9947-1967-0209339-1
• Quillen, Daniel (1970), O (ko-) homologii komutativních kruhů, Proc. Symp. Čistá mat., XVII, Americká matematická společnost