Hochschildova homologie - Hochschild homology

v matematika, Hochschildova homologie (a kohomologie) je teorie homologie pro asociativní algebry přes prsteny. Existuje také teorie jisté Hochschildovy homologie funktory. Hochschildovu kohomologii představil Gerhard Hochschild  (1945 ) pro algebry nad a pole a rozšířeno na algebry nad obecnějšími kruhy o Henri Cartan a Samuel Eilenberg  (1956 ).

Definice Hochschildovy homologie algeber

Nechat k být pole, A an asociativní k-algebra, a M an A-bimodul. Obalující algebra A je tenzorový produkt ${displaystyle A ^ {e} = Aotimes A ^ {o}}$ z A s jeho opačná algebra. Bimoduly skončily A jsou v podstatě stejné jako moduly nad obklopující algebrou A, tedy zejména A a M lze považovat za A^E- moduly. Cartan a Eilenberg (1956) definoval Hochschildovu homologii a kohomologickou skupinu A s koeficienty v M z hlediska Tor funktor a Ext funktor podle

${displaystyle HH_ {n} (A, M) = operatorname {Tor} _ {n} ^ {A ^ {e}} (A, M)}$

${displaystyle HH ^ {n} (A, M) = operatorname {Ext} _ {A ^ {e}} ^ {n} (A, M)}$

Hochschildův komplex

Nechat k ložisko, A an asociativní k-algebra to je projektivní k-modul a M an A-bimodul. Budeme psát ${displaystyle A ^ {vícekrát}}$ pro n-složit tenzorový produkt z A přes k. The řetězový komplex která vede k Hochschildově homologii je dána

${displaystyle C_ {n} (A, M): = Motimes A ^ {otimes n}}$

s hraničním operátorem ${displaystyle d_ {i}}$ definován

${displaystyle {egin {aligned} d_ {0} (motimes a_ {1} otimes cdots otimes a_ {n}) & = ma_ {1} otimes a_ {2} cdots otimes a_ {n} d_ {i} (motivy a_ {1} otimes cdots otimes a_ {n}) & = motimes a_ {1} otimes cdots otimes a_ {i} a_ {i + 1} otimes cdots otimes a_ {n} d_ {n} (motimes a_ {1} otimes cdots otimes a_ {n}) & = a_ {n} motimes a_ {1} otd cdots otimes a_ {n-1} konec {zarovnáno}}}$

kde ${displaystyle a_ {i}}$ je v A pro všechny ${displaystyle 1leq ileq n}$ a ${displaystyle min M}$. Pokud to necháme

${displaystyle b = součet _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} d_ {i},}$

pak ${displaystyle bcirc b = 0}$, tak ${displaystyle (C_ {n} (A, M), b)}$ je řetězový komplex volal Hochschildův komplexa jeho homologie je Hochschildova homologie z A s koeficienty v M.

Poznámka

Mapy ${displaystyle d_ {i}}$ jsou obličejové mapy dělat rodinu moduly ${displaystyle (C_ {n} (A, M), b)}$ A zjednodušený objekt v kategorie z k-modul, tj. funktor Δ^Ó → k-mod, kde Δ je kategorie simplex a k-mod je kategorie k- moduly. Zde Δ^Ó je opačná kategorie Δ. The mapy degenerace jsou definovány

${displaystyle s_ {i} (a_ {0} otimes cdots otimes a_ {n}) = a_ {0} otimes cdots otimes a_ {i} otimes 1otimes a_ {i + 1} otimes cdots otimes a_ {n}.}$

Hochschildova homologie je homologií tohoto zjednodušeného modulu.

Hochschildova homologie funktorů

The zjednodušený kruh ${displaystyle S ^ {1}}$ je zjednodušený objekt v kategorii ${displaystyle operatorname {Fin} _ {*}}$ konečně špičatých množin, tj. funktoru ${displaystyle Delta ^ {o} o operatorname {Fin} _ {*}.}$ Pokud tedy F je funktor ${displaystyle Fcolon operatorname {Fin} o k-mathrm {mod}}$, skládáním získáme jednoduchý modul F s ${displaystyle S ^ {1}}$.

${displaystyle Delta ^ {o} {overset {S ^ {1}} {longrightarrow}} operatorname {Fin} _ {*} {overset {F} {longrightarrow}} k {ext {-mod}}.}$

Homologií tohoto zjednodušeného modulu je Hochschildova homologie funktoru F. Výše uvedená definice Hochschildovy homologie komutativních algeber je zvláštním případem F je Funktor dneška.

Funktor dneška

A kostra pro kategorii konečně špičatých množin je dána objekty

${displaystyle n _ {+} = {0,1, ldots, n},}$

kde 0 je základní bod a morfismy jsou základní mapy zachovávající sady map. Nechat A být komutativní k-algebra a M být symetrický A-bimodul^{[je třeba další vysvětlení ]}. Funktor Loday ${displaystyle L (A, M)}$ je uveden na objektech v ${displaystyle operatorname {Fin} _ {*}}$ podle

${displaystyle n _ {+} mapsto Motimes A ^ {otimes n}.}$

Morfismus

${displaystyle f: m _ {+} o n _ {+}}$

je poslán k morfismu ${displaystyle f _ {*}}$ dána

${displaystyle f _ {*} (a_ {0} otimes cdots otimes a_ {n}) = b_ {0} otimes cdots otimes b_ {m}}$

kde

${displaystyle forall jin {0, ldots, n}: qquad b_ {j} = {egin {cases} prod _ {iin f ^ {- 1} (j)} a_ {i} & f ^ {- 1} (j) eq emptyset 1 & f ^ {- 1} (j) = konec prázdné sady {případy}}}$

Další popis Hochschildovy homologie algeber

Hochschildova homologie komutativní algebry A s koeficienty symetricky A-bimodul M je homologie spojená s kompozicí

${displaystyle Delta ^ {o} {overset {S ^ {1}} {longrightarrow}} operatorname {Fin} _ {*} {overset {{mathcal {L}} (A, M)} {longrightarrow}} k {ext {-mod}},}$

a tato definice souhlasí s výše uvedenou definicí.

Topologická Hochschildova homologie

Výše uvedenou konstrukci komplexu Hochschild lze přizpůsobit obecnějším situacím, a to nahrazením kategorie (komplexů) k- moduly podle ∞-kategorie (vybaven tenzorovým produktem) C, a A asociativní algebrou v této kategorii. Aplikuje se na kategorii C = Sp z spektra, a A být Spektrum Eilenberg – MacLane spojené s obyčejným prstenem R výnosy topologická Hochschildova homologie, označeno THH (R). (Non-topologická) Hochschildova homologie zavedená výše může být reinterpretována podle těchto linií tím, že se vezme za C the odvozená kategorie z ${displaystyle mathbb {Z}}$-moduly (jako ∞-kategorie).

Výměna tenzorových produktů nad sférické spektrum tenzorovými produkty ${displaystyle mathbb {Z}}$ (nebo spektrum Eilenberg – MacLane ${displaystyle Hmathbb {Z}}$) vede k přirozené srovnávací mapě ${displaystyle THH (R) o HH (R)}$. Indukuje izomorfismus na homotopických skupinách ve stupních 0, 1 a 2. Obecně se však liší a THH má tendenci poskytovat jednodušší skupiny než HH. Například,

${displaystyle THH (mathbb {F} _ {p}) = mathbb {F} _ {p} [x],}$

${displaystyle HH (mathbb {F} _ {p}) = mathbb {F} _ {p} langle xangle}$

je polynomický kruh (s X ve stupni 2), ve srovnání s kruhem rozdělené pravomoci v jedné proměnné.

Lars Hesselholt  (2016 ) ukázal, že Funkce Hasse – Weil zeta hladké správné odrůdy ${displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ lze vyjádřit pomocí regularizované determinanty zahrnující topologickou Hochschildovu homologii.

Viz také

• Cyklická homologie

Reference

• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956), Homologická algebra, Princetonská matematická řada, 19, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04991-5, PAN  0077480
• Govorov, V.E .; Mikhalev, A.V. (2001) [1994], "Kohomologie algeber", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Hesselholt, Larsi (2016), Topologická Hochschildova homologie a funkce Hasse-Weil zeta, arXiv:1602.01980, Bibcode:2016arXiv160201980H
• Hochschild, Gerhard (1945), „O kohomologických skupinách asociativní algebry“, Annals of Mathematics, Druhá série, 46: 58–67, doi:10.2307/1969145, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969145, PAN  0011076
• Jean-Louis Loday, Cyklická homologie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften sv. 301, Springer (1998) ISBN  3-540-63074-0
• Richard S.Pierce, Asociativní algebry, Postgraduální texty z matematiky (88), Springer, 1982.
• Pirashvili, Teimuraz (2000). „Hodgeův rozklad pro Hochschildovu homologii vyššího řádu“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 33 (2): 151–179. doi:10.1016 / S0012-9593 (00) 00107-5.

externí odkazy

• Dylan G.L. Allegretti, Diferenciální formy v nekomutativních prostorech. Základní úvod do nekomutativní geometrie který používá Hochschildovu homologii ke zobecnění diferenciálních forem).
• Hochschildova kohomologie v nLab