Vložení objednávky - Order embedding
v teorie objednávek, pobočka matematika, an vkládání objednávek je zvláštní druh monotónní funkce, který poskytuje způsob, jak jeden zahrnout částečně objednaná sada do jiného. Jako Galoisova spojení, vkládání objednávek představuje pojem, který je přísně slabší než pojem objednávat izomorfismus. Obě tato oslabení lze chápat ve smyslu teorie kategorií.
Formální definice
Formálně, vzhledem k tomu, dvě částečně uspořádané sady (posety) a , a funkce je vkládání objednávek -li je obojí zachování objednávek a odrážející objednávku, tj. pro všechny a v , jeden má
Taková funkce je nezbytně nutná injekční, od té doby naznačuje a .[1] Pokud je objednávka vložena mezi dva posety a existuje, říká se to lze vložit do .
Vlastnosti
Izomorfismus řádu lze charakterizovat jako a surjektivní vkládání objednávek. V důsledku toho jakékoli vložení objednávky F omezuje na izomorfismus mezi doména S a jeho obraz F(S), který ospravedlňuje výraz „vložení“.[1] Na druhou stranu by se mohlo dobře stát, že dvě (nutně nekonečná) posety jsou vzájemně řádově zakomponovatelná do sebe, aniž by byla řádově izomorfní.
Příklad poskytuje otevřený interval z reálná čísla a odpovídající uzavřený interval . Funkce mapuje první na podmnožina druhé a druhé do podmnožiny první, viz obrázek. Objednávání obou sad přirozeným způsobem, je jak zachování řádu, tak reflexe objednávky (protože je to afinní funkce ). Přesto nemůže existovat žádný izomorfismus mezi těmito dvěma posety, protože např. má nejmenší prvek zatímco Pro podobný příklad použití arctanu k objednání vložení reálných čísel do intervalu a mapa identity pro zpětný směr viz např. Just and Weese (1996).[2]
Zasunutí je pár objednávkových map, jejichž složení je identita. V tomto případě, se nazývá oprava a musí to být vložení objednávky.[3] Ne každé vložení objednávky je však oprava. Jako triviální příklad je jedinečné vložení objednávky z prázdné posety do neprázdné posety nemá žádné zatažení, protože neexistuje žádná mapa zachovávající pořadí . Pro ilustraci zvažte sadu z dělitele ze 6, částečně objednáno X rozděluje y, viz obrázek. Zvažte vloženou podposet . Zatažení vložení bude muset poslat někam dovnitř nad oběma a , ale takové místo neexistuje.
Další perspektivy
Na posety lze přímo pohlížet z mnoha hledisek a vkládání objednávek je natolik základní, že mají tendenci být viditelné odkudkoli. Například:
- (Model teoreticky ) A poset je sada vybavená (reflexivní, antisymetrická a tranzitivní) binární relace. Vložení objednávky A → B je izomorfismus z A do základní konstrukce z B.
- (Graf teoreticky ) A poset je (tranzitivní, acyklický, směrovaný, reflexivní) graf. Vložení objednávky A → B je izomorfismus grafu z A do indukovaný podgraf z B.
- (Kategorie teoreticky ) Poset je (malý, tenký a kosterní) kategorie takové, že každý homset má nejvýše jeden prvek. Vložení objednávky A → B je plný a věrný funktor z A na B který je injektivní na objektech, nebo ekvivalentně izomorfismus z A do a celá podkategorie z B.
Viz také
Reference
- ^ A b C Davey, B. A .; Priestley, H. A. (2002), „Mapy mezi uspořádanými soubory“, Úvod do mřížek a řádu (2. vyd.), New York: Cambridge University Press, s. 23–24, ISBN 0-521-78451-4, PAN 1902334.
- ^ Jen, Winfried; Weese, Martin (1996), Objevování moderní teorie množin: Základy Monografie Fields Institute, 8, American Mathematical Society, str. 21, ISBN 9780821872475
- ^ Duffus, Dwight; Laflamme, Claude; Pouzet, Maurice (2008), „Stahování posetů: vlastnost řetězové mezery a vlastnost výběru jsou nezávislé“, Algebra Universalis, 59 (1–2): 243–255, arXiv:matematika / 0612458, doi:10.1007 / s00012-008-2125-6, PAN 2453498.