Hamiltonův princip - Hamiltons principle - Wikipedia

Část série na
Klasická mechanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Poměr tlumení Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

v fyzika, Hamiltonův princip je William Rowan Hamilton formulace princip stacionární činnosti. Uvádí se v něm, že dynamika fyzického systému jsou určeny a variační problém pro funkční na základě jedné funkce je Lagrangian, který může obsahovat všechny fyzické informace týkající se systému a sil na něj působících. Variační problém je ekvivalentní a umožňuje odvození rozdíl pohybové rovnice fyzického systému. Ačkoli formulován původně pro klasická mechanika, Hamiltonův princip platí také pro klasiku pole tak jako elektromagnetické a gravitační pole, a hraje důležitou roli v kvantová mechanika, kvantová teorie pole a teorie kritičnosti.

Jak se systém vyvíjí, q sleduje cestu konfigurační prostor (jsou zobrazeny pouze některé). Dráha systému (červená) má stacionární akci (δS = 0) při malých změnách v konfiguraci systému (δq).^[1]

Matematická formulace

Hamiltonův princip uvádí, že skutečný vývoj q(t) systému popsaného v N zobecněné souřadnice q = (q₁, q₂, ..., q_N) mezi dvěma zadanými stavy q₁ = q(t₁) a q₂ = q(t₂) ve dvou specifikovaných časech t₁ a t₂ je stacionární bod (bod, kde variace je nula) z akce funkční

${ displaystyle { mathcal {S}} [ mathbf {q}] { stackrel { mathrm {def}} {=}} int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L ( mathbf {q} (t), { dot { mathbf {q}}} (t), t) , dt}$

kde ${ displaystyle L ( mathbf {q}, { dot { mathbf {q}}}, t)}$ je Lagrangian funkce pro systém. Jinými slovy, jakékoli první objednávka narušení skutečné evoluce vede k (maximálně) druhá objednávka změny v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$. Akce ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ je funkční, tj. něco, co bere jako svůj vstup a funkce a vrátí jedno číslo, a skalární. Ve smyslu funkční analýza, Hamiltonův princip uvádí, že skutečný vývoj fyzického systému je řešením funkční rovnice

To znamená, že systém se vydá cestou v konfiguračním prostoru, pro který je akce nehybná, s pevnými okrajovými podmínkami na začátku a na konci cesty.

Euler-Lagrangeovy rovnice odvozené z akčního integrálu

Vyžadující skutečnou trajektorii q(t) být a stacionární bod akce funkční ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ je ekvivalentní množině diferenciálních rovnic pro q(t) (dále jen Euler-Lagrangeovy rovnice), které lze odvodit následovně.

Nechat q(t) představují skutečný vývoj systému mezi dvěma specifikovanými stavy q₁ = q(t₁) a q₂ = q(t₂) ve dvou specifikovaných časech t₁ a t₂a nechte ε(t) být malá odchylka, která je nulová v koncových bodech trajektorie

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {1}) = { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {2}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} 0}$

K první objednávce v rozrušení ε(t), změna akce funkční ${ displaystyle delta { mathcal {S}}}$ bylo by

${ displaystyle delta { mathcal {S}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; left [L ( mathbf {q} + { boldsymbol { varepsilon}} , { dot { mathbf {q}}} + { dot { boldsymbol { varepsilon}}}) - L ( mathbf {q}, { dot { mathbf {q}}}) right] dt = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; left ({ boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac { částečné L} { částečné mathbf {q}} } + { dot { boldsymbol { varepsilon}}} cdot { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {q}}}}} vpravo) , dt}$

kde jsme rozšířili Lagrangian L k první objednávce v rozrušení ε(t).

Přihlašování integrace po částech k poslednímu termínu má za následek

${ displaystyle delta { mathcal {S}} = left [{ boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {q}}}}} right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; left ({ boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac { částečné L} { částečné mathbf {q}}} - { boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {q}}}}} vpravo) , dt}$

Okrajové podmínky ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {1}) = { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {2}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} 0}$ způsobí, že první člen zmizí

${ displaystyle delta { mathcal {S}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; { boldsymbol { varepsilon}} cdot left ({ frac { částečné L} { částečné mathbf {q}}} - { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { dot { mathbf {q}}}}} vpravo) , dt}$

Hamiltonův princip vyžaduje, aby se tato změna prvního řádu změnila ${ displaystyle delta { mathcal {S}}}$ je nula pro všechny možné poruchy ε(t), tj. skutečná cesta je a stacionární bod akce funkční ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ (buď minimální, maximální nebo sedlový bod). Tento požadavek může být splněn právě tehdy

Tyto rovnice se nazývají Euler-Lagrangeovy rovnice pro variační problém.

Kanonický moment a konstanty pohybu

The konjugovaná hybnost p_k pro zobecněnou souřadnici q_k je definována rovnicí

${ displaystyle p_ {k} { přesahující { mathrm {def}} {=}} { frac { částečné L} { částečné { dot {q}} _ {k}}}}$.

Důležitý speciální případ Euler-Lagrangeovy rovnice nastane, když L neobsahuje zobecněnou souřadnici q_k výslovně,

${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné q_ {k}}} = 0 quad Rightarrow quad { frac {d} {dt}} { frac { částečné L} { částečné { dot {q}} _ {k}}} = 0 quad Rightarrow quad { frac {dp_ {k}} {dt}} = 0 ,,}$

to znamená, že konjugovaná hybnost je a konstanta pohybu.

V takových případech souřadnice q_k se nazývá a cyklická souřadnice. Například pokud použijeme polární souřadnice t, r, θ popsat rovinný pohyb částice, a pokud L nezávisí na θ, konjugovaná hybnost je zachovaná momentová hybnost.

Příklad: Volná částice v polárních souřadnicích

Triviální příklady pomáhají ocenit použití akčního principu pomocí Euler-Lagrangeových rovnic. Volná částice (hmotnost m a rychlost proti) v euklidovském prostoru se pohybuje po přímce. Pomocí Euler-Lagrangeových rovnic to lze ukázat v polární souřadnice jak následuje. Při absenci potenciálu je Lagrangeova jednoduše rovná kinetické energii

${ displaystyle L = { frac {1} {2}} mv ^ {2} = { frac {1} {2}} m left ({ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2} vpravo)}$

v orthonormal (X,y) souřadnice, kde tečka představuje rozlišení vzhledem k parametru křivky (obvykle čas, t). Proto, po aplikaci Euler-Lagrangeových rovnic,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečné L} { částečné { tečka {x}}}} vpravo) - { frac { částečné L} { částečné x}} = 0 qquad Rightarrow qquad m { ddot {x}} = 0}$

A podobně pro y. Euler-Lagrangeovu formulaci lze tedy použít k odvození Newtonových zákonů.

V polárních souřadnicích (r, φ) kinetická energie a tudíž Lagrangeova se stává

${ displaystyle L = { frac {1} {2}} m vlevo ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { varphi}} ^ {2} vpravo ).}$

Radiální r a φ komponenty Euler-Lagrangeových rovnic se stávají příslušně

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečné L} { částečné { tečka {r}}}} vpravo) - { frac { částečné L} { částečný r}} = 0 qquad Rightarrow qquad { ddot {r}} - r { dot { varphi}} ^ {2} = 0}$

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo ({ frac { částečné L} { částečné { dot { varphi}}}} pravé) - { frac { částečné L} { partial varphi}} = 0 qquad Rightarrow qquad { ddot { varphi}} + { frac {2} {r}} { dot {r}} { dot { varphi}} = 0 .}$

Řešení těchto dvou rovnic je dáno vztahem

${ displaystyle r = { sqrt {(at + b) ^ {2} + c ^ {2}}}}$

${ displaystyle varphi = tan ^ {- 1} left ({ frac {at + b} {c}} right) + d}$

pro sadu konstant abeceda určeno počátečními podmínkami. řešením je přímka uveden v polárních souřadnicích: A je rychlost, C je vzdálenost nejbližšího přiblížení k počátku a d je úhel pohybu.

Aplikováno na deformovatelná tělesa

Hamiltonův princip je důležitým variačním principem elastodynamika. Na rozdíl od systému složeného z tuhých těles mají deformovatelná tělesa nekonečný počet stupňů volnosti a zabírají souvislé oblasti vesmíru; následně je popsán stav systému pomocí spojitých funkcí prostoru a času. Rozšířený Hamiltonův princip pro tato těla je dán vztahem

${ displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} vlevo [ delta W_ {e} + delta T- delta U right] dt = 0}$

kde T je kinetická energie, U je pružná energie, Ž_E je práce vykonaná vnějším zatížením těla a t₁, t₂ počáteční a poslední časy. Pokud je systém konzervativní, může být práce vykonaná vnějšími silami odvozena od skalárního potenciálu PROTI. V tomto případě,

${ displaystyle delta int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} vlevo [T- (U + V) vpravo] dt = 0.}$

Toto se nazývá Hamiltonův princip a při transformacích souřadnic je neměnný.

Srovnání s Maupertuisovým principem

Hamiltonův princip a Maupertuisův princip jsou občas zmatení a oba byli nazváni (nesprávně) zásada nejmenší akce. Liší se třemi důležitými způsoby:

• jejich definice akce...

Maupertuisův princip využívá integrál nad zobecněné souřadnice známý jako zkrácená akce nebo omezená akce

${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0} { stackrel { mathrm {def}} {=}} int mathbf {p} cdot d mathbf {q}}$

kde p = (p₁, p₂, ..., p_N) jsou konjugované hybnosti definované výše. Naopak Hamiltonův princip využívá ${ displaystyle { mathcal {S}}}$, integrál Lagrangian přes čas.

• řešení, které určují ...

Hamiltonův princip určuje trajektorii q(t) jako funkce času, zatímco Maupertuisův princip určuje pouze tvar trajektorie ve zobecněných souřadnicích. Například Maupertuisův princip určuje tvar elipsy, na které se částice pohybuje pod vlivem střední síly s inverzním čtvercem, jako je gravitace, ale nepopisuje per se jak se částice pohybuje po této trajektorii. (Tuto časovou parametrizaci však lze určit ze samotné trajektorie v následných výpočtech pomocí uchování energie ). Naproti tomu Hamiltonův princip přímo určuje pohyb podél elipsy jako funkci času.

• ... a omezení týkající se variace.

Maupertuisův princip vyžaduje, aby tyto dva sledované stavy byly uvedeny q₁ a q₂ být poskytnuta a tato energie zachována podél každé trajektorie (stejná energie pro každou trajektorii). To vynutí také změnu časů koncového bodu. Naproti tomu Hamiltonův princip nevyžaduje zachování energie, vyžaduje však časy koncových bodů t₁ a t₂ být specifikovány stejně jako stavy koncových bodů q₁ a q₂.

Princip činnosti pro pole

Teorie klasického pole

The princip akce lze rozšířit o získání pohybové rovnice pro pole, tak jako elektromagnetické pole nebo gravitace.

The Einsteinova rovnice využívá Akce Einstein – Hilbert jak je omezeno a variační princip.

Dráhu tělesa v gravitačním poli (tj. Volný pád v časoprostoru, tzv. Geodetiku) lze najít pomocí akčního principu.

Kvantová mechanika a kvantová teorie pole

v kvantová mechanika, systém nenásleduje jedinou cestu, jejíž akce je stacionární, ale chování systému závisí na všech představitelných cestách a hodnotě jejich akce. K výpočtu se použije akce odpovídající různým cestám cesta integrální, což dává amplitudy pravděpodobnosti různých výsledků.

Ačkoli ekvivalent v klasické mechanice s Newtonovy zákony, princip akce je vhodnější pro zobecnění a hraje důležitou roli v moderní fyzice. Tento princip je ve skutečnosti jednou z velkých zobecnění ve fyzice. Zejména je plně oceněn a nejlépe pochopen uvnitř kvantová mechanika. Richard Feynman je cesta integrální formulace kvantové mechaniky je založeno na principu stacionární akce s využitím cestových integrálů Maxwellovy rovnice lze odvodit jako podmínky stacionárního působení.

Viz také

• Analytická mechanika
• Konfigurační prostor
• Hamilton-Jacobiho rovnice
• Fázový prostor
• Geodetika jako Hamiltonovské toky

Reference

• W.R. Hamilton, „O obecné metodě v dynamice.“, Filozofické transakce královské společnosti Část II (1834), str. 247–308; Část I (1835), str. 95–144. (Ze sbírky Sir William Rowan Hamilton (1805–1865): Mathematical Papers editoval David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Irsko. (2000); také přezkoumáno jako O obecné metodě v dynamice )
• Goldstein H. (1980) Klasická mechanika, 2. vyd., Addison Wesley, str. 35–69.
• Landau LD a Lifshitz EM (1976) Mechanika, 3. místo. vyd., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (vázaná kniha) a ISBN  0-08-029141-4 (měkká vazba), s. 2–4.
• Arnold VI. (1989) Matematické metody klasické mechaniky, 2. vyd., Springer Verlag, str. 59–61.
• Cassel, Kevin W .: Variační metody s aplikacemi ve vědě a inženýrství, Cambridge University Press, 2013.