Froude číslo - Froude number

v mechanika kontinua, Froude číslo (Fr.) je bezrozměrné číslo je definován jako poměr setrvačnosti toku k vnějšímu poli (druhé v mnoha aplikacích jednoduše kvůli gravitace ). Pojmenoval podle William Froude (/ˈFruːd/;^[1]), číslo Froude je založeno na poměr rychlosti a délky kterou definoval jako:^[2][3]

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {u} { sqrt {gL}}}}$

kde u je místní rychlost proudění, G je místní vnější pole, a L je charakteristická délka. Číslo Froude má nějakou analogii s Machovo číslo. Teoreticky dynamika tekutin číslo Froude není často zvažováno, protože rovnice jsou obvykle uvažovány ve vysokém Froudeově limitu zanedbatelného vnějšího pole, což vede k homogenním rovnicím, které zachovávají matematické aspekty. Například homogenní Eulerovy rovnice jsou konzervační rovnice.

Nicméně v námořní architektura číslo Froude je významné číslo používané k určení odporu částečně ponořeného předmětu pohybujícího se vodou.

Počátky

V tokech otevřeného kanálu Belanger 1828 představil nejprve poměr rychlosti toku k druhé odmocnině gravitačního zrychlení krát hloubku toku. Když byl poměr menší než jednota, tok se choval jako fluviální pohyb (tj. Podkritický tok) a jako pohyb přívalového proudu, když byl poměr větší než jednota.^[4]

Trupy labuť (výše) a Havran (níže). Froude zkonstruoval sekvenci modelů v měřítku 3, 6 a 12 (zobrazených na obrázku), které byly použity při pokusech s vlečením za účelem stanovení zákonů odporu a měřítka.

Kvantifikace odporu plovoucích objektů se obecně připisuje William Froude, kteří pomocí řady zmenšených modelů změřili odpor, který každý model nabízel při tažení při dané rychlosti. Námořní konstruktér Ferdinand Reech představil koncept v roce 1852 pro testování lodí a vrtulí. Poměr rychlosti a délky původně definoval Froude ve svém Zákon srovnání v roce 1868 v rozměrovém vyjádření jako:

${ displaystyle { text {poměr rychlosti a délky}} = { frac {u} { sqrt { text {LWL}}}}}$

kde:

u = rychlost proudění

LWL = délka ponoru

Termín byl přeměněn na bezrozměrné termíny a dostal jméno Froude jako uznání jeho práce. Ve Francii se tomu někdy říká Číslo Reech – Froude po Ferdinandovi Reechovi.^[5]

Definice a hlavní použití

Ukázat, jak je číslo Froude spojeno s obecnou mechanikou kontinua, nejen s ní hydrodynamika vycházíme z nedimenzionalizace Cauchyho rovnice hybnosti.

Cauchyho rovnice hybnosti

Aby rovnice byly bezrozměrné, je charakteristická délka r₀a charakteristická rychlost u₀, je třeba definovat. Ty by měly být vybrány tak, aby bezrozměrné proměnné byly všechny řádu jedna. Takto se získají následující bezrozměrné proměnné:

${ displaystyle rho ^ {*} equiv { frac { rho} { rho _ {0}}}, quad u ^ {*} equiv { frac {u} {u_ {0}}} , quad r ^ {*} equiv { frac {r} {r_ {0}}}, quad t ^ {*} equiv { frac {u_ {0}} {r_ {0}}} t , quad nabla ^ {*} equiv r_ {0} nabla, quad mathbf {g} ^ {*} equiv { frac { mathbf {g}} {g_ {0}}}, quad { boldsymbol { sigma}} ^ {*} equiv { frac { boldsymbol { sigma}} {p_ {0}}},}$

Substituce těchto inverzních vztahů v Eulerových hybných rovnicích a definice Froudeova čísla:

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {u_ {0}} { sqrt {g_ {0} r_ {0}}}},}$

a Eulerovo číslo:

${ displaystyle mathrm {Eu} = { frac {p_ {0}} { rho _ {0} u_ {0} ^ {2}}},}$

rovnice jsou nakonec vyjádřeny (pomocí materiálový derivát a nyní vynecháme indexy):

Rovnice Cauchyho typu ve vysokém Froudeově limitu Pá → ∞ (odpovídající zanedbatelnému externímu poli) jsou pojmenovány volné rovnice. Na druhou stranu v nízkém Eulerově limitu Eu → 0 (odpovídá zanedbatelnému napětí) obecná Cauchyho rovnice hybnosti se stává nehomogenní Burgersova rovnice (zde výslovně uvádíme materiálový derivát ):

To je nehomogenní čistota advekční rovnice, stejně jako Stokesova rovnice je čistý difúzní rovnice.

Eulerova rovnice hybnosti

Eulerova rovnice hybnosti je Cauchyho rovnice hybnosti s Pascalův zákon je konstitutivní vztah napětí:

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = p mathbf {I}}$

v nedimenzionální Lagrangeově formě je:

${ displaystyle { frac {D mathbf {u}} {Dt}} + mathrm {Eu} { frac { nabla p} { rho}} = { frac {1} { mathrm {Fr} ^ {2}}} { hat {g}}}$

Zdarma Eulerovy rovnice jsou konzervativní. Limita vysokých čísel Froude (nízké vnější pole) je tedy pozoruhodná a lze ji studovat teorie poruch.

Nestlačitelná rovnice hybnosti Navier – Stokes

Nestlačitelná rovnice hybnosti Navier – Stokes je Cauchyho rovnice hybnosti s Pascalův zákon a Stokesův zákon jsou vztahy konstitutivního napětí:

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = p mathbf {I} + mu left ( nabla mathbf {u} + ( nabla mathbf {u}) ^ { mathsf {T}} že jo)}$

v nedimenzionální konvektivní formě je to:^[6]

${ displaystyle { frac {D mathbf {u}} {Dt}} + mathrm {Eu} { frac { nabla p} { rho}} = { frac {1} { mathrm {Re} }} nabla ^ {2} u + { frac {1} { mathrm {Fr} ^ {2}}} { hat {g}}}$

kde Re je Reynoldsovo číslo. Zdarma rovnice Navier-Stokes jsou disipativní (nekonzervativní).

Další aplikace

Hydrodynamika lodi

Vlny proti rychlosti, ilustrující různá čísla Froude.

V námořních hydrodynamických aplikacích je číslo Froude obvykle odkazováno se zápisem Fn a je definována jako:^[7]

${ displaystyle mathrm {Fn} _ {L} = { frac {u} { sqrt {gL}}},}$

kde u je relativní rychlost proudění mezi mořem a lodí, G je zejména gravitační zrychlení, a L je délka lodi na úrovni vodovodního potrubí, nebo L_wl v některých notacích. Je to důležitý parametr vzhledem k lodi táhnout nebo odpor, zejména pokud jde o odolnost proti vlnění.

V případě hoblovacích řemesel, kde je délka vodorysky příliš závislá na rychlosti, aby to mělo smysl, je číslo Froude nejlépe definováno jako číslo Froudeho posunutí a referenční délka se bere jako kubická odmocnina objemového posunutí trupu:

${ displaystyle mathrm {Fn} _ {V} = { frac {u} { sqrt {g { sqrt [{3}] {V}}}}}.}$

Mělké vodní vlny

Pro mělké vodní vlny, jako např tsunami a hydraulické skoky charakteristická rychlost U je průměrný rychlost proudění, zprůměrovaná v průřezu kolmém ke směru proudění. Rychlost vlny, C, se rovná druhé odmocnině gravitačního zrychlení G, krát plocha průřezu A, děleno šířkou volného povrchu B:

${ displaystyle c = { sqrt {g { frac {A} {B}}}},}$

takže číslo Froude v mělké vodě je:

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {U} { sqrt {g { dfrac {A} {B}}}}}.$

Pro obdélníkové průřezy s jednotnou hloubkou dlze číslo Froude zjednodušit na:

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {U} { sqrt {gd}}}.}$

Pro Pá <1 tok se nazývá a podkritický tok, dále pro Pá> 1 tok je charakterizován jako superkritický tok. Když Pá ≈ 1 tok je označen jako kritický tok.

Větrné inženýrství

Při zvažování účinky větru na dynamicky citlivých konstrukcích, jako jsou závěsné mosty, je někdy nutné simulovat kombinovaný účinek vibrační hmoty konstrukce s kolísavou silou větru. V takových případech by mělo být respektováno číslo Froude. Podobně při simulaci oblaků horkého kouře v kombinaci s přirozeným větrem je pro udržení správné rovnováhy mezi vztlakovými silami a hybností větru nutné měnit velikost Froudeova čísla.

Rozšířené číslo Froude

Geofyzikální hmotnostní toky jako např laviny a toky trosek probíhají na šikmých svazích, které se poté spojují do mírných a plochých výběhových zón.^[8]

Tyto toky jsou tedy spojeny s výškou topografických sklonů, které indukují gravitační potenciální energii společně s tlakovou potenciální energií během toku. Klasické číslo Froude by proto mělo zahrnovat tento další efekt. V takové situaci je třeba znovu definovat číslo Froude. Rozšířené číslo Froude je definováno jako poměr mezi kinetickou a potenciální energií:

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {u} { sqrt { beta h + s_ {g} left (x_ {d} -x right)}}}}}$

kde u je střední rychlost proudění, β = gK cos ζ, (K. je koeficient zemního tlaku, ζ je sklon), s_G = G hřích ζ, X je sestupná poloha kanálu a ${ displaystyle x_ {d}}$ je vzdálenost od bodu uvolnění hmoty podél kanálu k bodu, kde tok narazí na vodorovný referenční vztažný bod; E^str
_hrnec = βh a E^G
_hrnec = s_G(X_d − X) jsou tlakový potenciál a energie gravitačního potenciálu. V klasické definici Froudeova čísla mělké vody nebo granulovaného toku je potenciální energie spojená s výškou povrchu, E^G
_hrnec, není považován. Rozšířené číslo Froude se podstatně liší od klasického čísla Froude pro vyšší povrchové výšky. Termín βh vyplývá ze změny geometrie pohybující se hmoty podél svahu. Dimenzionální analýza naznačuje, že pro mělké toky βh ≪ 1, zatímco u a s_G(X_d − X) jsou oba řádové jednoty. Pokud je hmota mělká s téměř paralelním volným povrchem, pak βh lze ignorovat. V této situaci, pokud není zohledněn gravitační potenciál, pak Fr. je neomezený, i když je kinetická energie omezená. Takže formálně vzhledem k dalšímu příspěvku v důsledku gravitační potenciální energie je singularita ve Fr odstraněna.

Míchané tanky

Při studiu míchaných nádrží určuje počet povrchových vírů číslo Froude. Protože rychlost špičky oběžného kola je ωr (kruhový pohyb ), kde ω je frekvence oběžného kola (obvykle v ot / min ) a r je poloměr oběžného kola (ve strojírenství se průměr používá mnohem častěji), číslo Froude pak má následující podobu:

${ displaystyle mathrm {Fr} = omega { sqrt { frac {r} {g}}}.}$

Číslo Froude najde podobné uplatnění i v práškových míchačkách. Skutečně se použije k určení, ve kterém režimu míchání mixér pracuje. Pokud je Fr <1, ​​jsou částice pouze míchány, ale pokud Fr> 1, odstředivé síly aplikované na prášek překonávají gravitaci a lože částic se fluidizuje, alespoň v určité části mixéru, což podporuje míchání^[9]

Densimetric Froude number

Při použití v kontextu Boussinesqova aproximace the denzimetrické číslo skupiny je definován jako

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {u} { sqrt {g'h}}}}$

kde G′ je snížená gravitace:

${ displaystyle g '= g { frac { rho _ {1} - rho _ {2}} { rho _ {1}}}}$

Denzimetrické číslo Froude je obvykle preferováno modeláři, kteří si přejí nedimenzionalizovat rychlostní preferenci Richardsonovo číslo s čím se častěji setkáváme při zvažování vrstevnatých smykových vrstev. Například náběžná hrana a gravitační proud pohybuje se s předním Froude číslo o jednotě.

Chůze číslo Froude

Číslo Froude lze použít ke studiu trendů ve vzorcích chůze zvířat. V analýzách dynamiky pohybů nohou je chodící končetina často modelována jako obrácená kyvadlo, kde střed hmoty prochází kruhovým obloukem se středem u nohy.^[10] Froudeovo číslo je poměr dostředivé síly kolem středu pohybu, chodidla a hmotnosti kráčícího zvířete:

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac { text {dostředivá síla}} { text {gravitační síla}}} = { frac {; { frac {mv ^ {2}} {l}} ;} {mg}} = { frac {v ^ {2}} {gl}}}$

kde m je hmota, l je charakteristická délka, G je gravitační zrychlení a proti je rychlost. Charakteristická délka l mohou být vybrány tak, aby vyhovovaly dané studii. Některé studie například využívaly vertikální vzdálenost kyčelního kloubu od země,^[11] zatímco jiní použili celkovou délku nohy.^[10][12]

Číslo Froude lze také vypočítat z frekvence kroku F jak následuje:^[11]

${ displaystyle mathrm {Fr} = { frac {v ^ {2}} {gl}} = { frac {(lf) ^ {2}} {gl}} = { frac {lf ^ {2} }{G}}.}$

Pokud se jako charakteristická délka použije celková délka nohy, pak teoretická maximální rychlost chůze má číslo Froude 1,0, protože jakákoli vyšší hodnota by měla za následek vzlet a noha by postrádala zem. Typická rychlost přechodu z bipedální chůze do běh nastává s Pá ≈ 0,5.^[13] R. M. Alexander zjistil, že zvířata různých velikostí a hmot cestující různými rychlostmi, ale se stejným Froudeho číslem, trvale vykazují podobné chody. Tato studie zjistila, že zvířata obvykle přecházejí z amble na symetrický běh (např. Klus nebo tempo) kolem Froudeho čísla 1,0. Preference pro asymetrické chody (např. Cval, příčný cval, rotační cval, vázaný nebo pronk) byla pozorována u Froudeho čísel mezi 2,0 a 3,0.^[11]

Používání

Číslo Froude se používá k porovnání odolnost proti vlnění mezi těly různých velikostí a tvarů.

U toku na volném povrchu je charakter toku (superkritický nebo podkritické) závisí na tom, zda je číslo Froude větší než nebo menší než jednota.

Lze snadno vidět linii „kritického“ toku v dřezu v kuchyni nebo v koupelně. Nechte jej odpojený a nechejte běžet faucet. V blízkosti místa, kde proud vody narazí na umyvadlo, je tok superkritický. „Objímá“ povrch a rychle se pohybuje. Na vnějším okraji vzoru toku je tok podkritický. Tento tok je silnější a pohybuje se pomaleji. Hranice mezi těmito dvěma oblastmi se nazývá „hydraulický skok“. Skok začíná tam, kde je tok jen kritický a číslo Froude se rovná 1,0.

Froudeovo číslo bylo použito ke studiu trendů v pohybu zvířat, aby lépe pochopilo, proč zvířata používají různé vzorce chůze ^[11] a také vytvářet hypotézy o chodu vyhynulých druhů.^[12]

Viz také

• Rychlost proudění
• Síla těla
• Cauchyho rovnice hybnosti
• Burgersova rovnice
• Eulerovy rovnice (dynamika tekutin)

Poznámky

Reference

externí odkazy

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf