Cofree uhlígebra - Cofree coalgebra
v algebra, cofree uhlígebra a vektorový prostor nebo modul je uhlígebra obdoba bezplatná algebra vektorového prostoru. Cofree Coalgebra libovolného vektorového prostoru nad a pole existuje, i když je to složitější, než by se dalo očekávat analogií s volnou algebrou.
Definice
Li PROTI je vektorový prostor nad polem F, pak cofree uhlígebra C (PROTI), ze dne PROTI, je uhlígebra společně s lineární mapa C (PROTI) → PROTI, tedy jakoukoli lineární mapu z uhlíkové uhlí X na PROTI faktory prostřednictvím uhlíkomorového homomorfismu z X na C (PROTI). Jinými slovy funktor C je pravý adjoint do zapomnětlivý funktor od uhlíků k vektorovým prostorům.
Cofree Coalgebra vektorového prostoru vždy existuje a je jedinečná až kanonický izomorfismus.
Cofree kooperativní uhlígebry jsou definovány podobným způsobem a mohou být konstruovány jako největší kooperativní uhlígebra ve společné uhlígebře.
Konstrukce
C (PROTI) může být konstruován jako a dokončení z tenzorová uhlígebra T(PROTI) z PROTI. Pro k ∈ N = {0, 1, 2, ...}, let TkPROTI označit k-složit tenzorový výkon z PROTI:
s T0PROTI = F, a T1PROTI = PROTI. Pak T(PROTI) je přímý součet ze všech TkPROTI:
Navíc k odstupňovaná algebra struktura daná izomorfismem tenzorového součinu TjPROTI ⊗ TkPROTI → Tj+kPROTI pro j, k ∈ N, T(PROTI) má odstupňovanou strukturu uhlígebra Δ: T(PROTI) → T(PROTI) ⊠ T(PROTI) definovaný rozšířením
linearitou na všechny T(PROTI).
Zde se symbol tenzorového součinu ⊠ používá k označení tenzorového součinu použitého k definování uhlíkory; nesmí být zaměňována s tenzorovým součinem ⊗, který se používá k definování bilineárního operátoru násobení tenzorové algebry. Ti dva jednají v různých prostorech, na různých objektech. Další diskusi o tomto bodě lze nalézt v dokumentu tenzorová algebra článek.
Výše uvedený součet využívá definitivní trik z krátké ruky být jednotkou v terénu . Například tento trik z krátké ruky dává pro případ ve výše uvedeném součtu výsledek, který
pro . Podobně pro a , jeden dostane
Všimněte si, že už nemusíte psát protože toto je jen obyčejné skalární násobení v algebře; to znamená, že jeden to má triviálně
S obvyklým produktem to koprodukt nedělá T(PROTI) do bialgebra, ale místo toho je dvojí na strukturu algebry T(PROTI∗), kde PROTI∗ označuje duální vektorový prostor lineárních map PROTI → F. S produktem se dá změnit na bialgebru kde (i, j) označuje binomický koeficient . Tato bialgebra je známá jako dělená moc Hopfova algebra. Produkt je dvojí vůči struktuře uhlíkové uhlí T(PROTI∗) což z tenzorové algebry dělá bialgebru.
Tady prvek T(PROTI) definuje lineární tvar na T(PROTI∗) za použití nedgenerované párování
vyvolané hodnocením a dualita mezi koproduktem T(PROTI) a produkt na T(PROTI∗) znamená, že
Tato dualita se vztahuje i na nedgenerované párování
kde
je přímý produkt tenzorových sil PROTI. (Přímý součet T(PROTI) je podprostor přímého produktu, pro který je pouze konečně mnoho komponent nenulových.) Koprodukt Δ na T(PROTI) se vztahuje pouze na lineární mapu
s hodnotami v hotový tenzorový produkt, což v tomto případě je
a obsahuje tenzorový produkt jako správný podprostor:
Dokončená tenzorová uhlígebra C (PROTI) je největší podprostor C uspokojující
který existuje, protože pokud C1 a C2 splňuje tyto podmínky, pak činí i jejich součet C1 + C2.
Ukázalo se[1] že C (PROTI) je podprostorem všech reprezentativní prvky:
Navíc podle principu konečnosti pro uhlígebry, jakékoli F ∈ C (PROTI) musí patřit do konečněrozměrné podkoalgebry C (PROTI). Použití duality spárování s T(PROTI∗), z toho vyplývá, že F ∈ C (PROTI) právě tehdy, pokud jádro F na T(PROTI∗) obsahuje a oboustranný ideál konečné dimenze. Ekvivalentně
je svazkem anihilátorů Já 0 konečných kodimenzionálních ideálů Já v T(PROTI∗), které jsou izomorfní s duály konečných rozměrů algebry T(PROTI∗)/Já.
Příklad
Když PROTI = F, T(PROTI∗) je polynomiální algebra F[t] v jedné proměnné ta přímý produkt
může být identifikován vektorovým prostorem F[[τ]] formální mocenské řady
v neurčitém τ. Koprodukt Δ v podprostoru F[τ] je určeno
a C (PROTI) je největší podprostor v F[[τ]], na které se to vztahuje na strukturu uhlígebry.
Dualita F[[τ]] × F[t] → F je určeno τj(tk) = δjk aby
Uvedení t=τ−1, toto je konstantní člen v součinu dvou formální série Laurent. Daný polynom p(t) s vedoucím termínem tN, formální série Laurent
je formální mocenská řada pro všechny j ∈ N, a ničí ideál Já(p) generované p pro j < N. Od té doby F[t]/Já(p) má rozměr N, tyto formální výkonové řady pokrývají anihilátor Já(p). Navíc všichni patří do lokalizace z F[τ] v ideálu generovaném τ, tj. mají formu F(τ)/G(τ) kde F a G jsou polynomy a G má nenulový konstantní člen. Toto je prostor racionální funkce v τ což jsou pravidelný na nule. Naopak, jakákoli správná racionální funkce ničí ideál formy Já(p).
Jakýkoli nenulový ideál F[t] je ředitel školy, s konečně-dimenzionálním kvocientem. Tím pádem C (PROTI) je součet anihilátorů z hlavní ideály Já(p), tj. prostor racionálních funkcí pravidelný na nule.
Reference
- ^ Hazewinkel 2003
- Block, Richard E .; Leroux, Pierre (1985), „Zobecněné duální uhelné algebry s aplikacemi na cofree uhelné dříví“, Journal of Pure and Applied Algebra, 36 (1): 15–21, doi:10.1016 / 0022-4049 (85) 90060-X, ISSN 0022-4049, PAN 0782637
- Hazewinkel, Michiel (2003), „Cofree uhelné uhlí a rekurzivita s více proměnnými“, Journal of Pure and Applied Algebra, 183 (1): 61–103, doi:10.1016 / S0022-4049 (03) 00013-6, ISSN 0022-4049, PAN 1992043
- cofree uhlígebra v nLab